1、第四章第四章 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖第二節(jié)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩梁的剪力與彎矩第三節(jié)第三節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 第四節(jié)第四節(jié) 彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖一一、彎曲的概念、彎曲的概念 1、彎曲、彎曲：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成：在垂直于桿軸線的平衡力系的作用下，桿的軸線在變形后成為曲線的變形形式。為曲線的變形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于軸線荷載的桿件

2、主要承受垂直于軸線荷載的桿件 軸線是直線的稱為軸線是直線的稱為直梁直梁，軸線是曲線的稱為，軸線是曲線的稱為曲梁曲梁。 有對(duì)稱平面的梁稱為有對(duì)稱平面的梁稱為對(duì)稱梁對(duì)稱梁，沒(méi)有對(duì)稱平面的梁稱為，沒(méi)有對(duì)稱平面的梁稱為非對(duì)稱梁非對(duì)稱梁 3、平面彎曲（對(duì)稱彎曲）、平面彎曲（對(duì)稱彎曲）：若梁上所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁：若梁上所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)的彎曲。變形后軸線形成的曲線也在該平面內(nèi)的彎曲。 4、非對(duì)稱彎曲、非對(duì)稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面上但外力：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面上但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。并不作用在縱

3、向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力FqFAFB縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面二二、 梁的荷載及計(jì)算簡(jiǎn)梁的荷載及計(jì)算簡(jiǎn)圖圖 研究對(duì)象研究對(duì)象：等截面的直梁，且外力作用在梁對(duì)稱面內(nèi)的平：等截面的直梁，且外力作用在梁對(duì)稱面內(nèi)的平面力系。面力系。 1.梁的梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算簡(jiǎn)圖：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸：梁軸線代替梁，將荷載和支座加到軸線上。線上。 2.梁的支座簡(jiǎn)化梁的支座簡(jiǎn)化(平面力系平面力系)：彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力a)滑動(dòng)鉸支座滑動(dòng)鉸支座b)固定鉸支座固定鉸支座c)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 3.靜定梁

4、靜定梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁(a)懸臂梁懸臂梁(b)簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁(c)外伸梁外伸梁 4.作用在梁上的荷載可分為作用在梁上的荷載可分為:(a)集中荷載集中荷載F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷載分布荷載q(x)任意分布荷載任意分布荷載q均布荷載均布荷載第二節(jié)第二節(jié) 梁的剪力與彎矩梁的剪力與彎矩彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力一一、截面法過(guò)程：、截面法過(guò)程：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0彎曲

5、內(nèi)力彎曲內(nèi)力 剪力剪力平行于橫截面的內(nèi)力，符號(hào)：，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使平行于橫截面的內(nèi)力，符號(hào)：，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)梁有左上右下錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)(左截面上的剪左截面上的剪力向上為正，右截面上的剪力向下為正力向上為正，右截面上的剪力向下為正)； MMMMFSFSFSFS 彎矩彎矩繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：繞截面轉(zhuǎn)動(dòng)的內(nèi)力，符號(hào)：M，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使，正負(fù)號(hào)規(guī)定：使梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)梁變形呈上凹下凸的彎矩為正，反之為負(fù)(梁上壓下拉的彎矩梁上壓下拉的彎矩為正為正)。剪力為正剪力為正剪力為負(fù)剪力為負(fù)彎矩為正彎矩為正彎矩為負(fù)彎矩為負(fù)二、平面彎曲梁橫

6、截面上的內(nèi)力：二、平面彎曲梁橫截面上的內(nèi)力：)0(kN29030kN1502335 .460y的正誤或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例一一 求下圖所示簡(jiǎn)支梁求下圖所示簡(jiǎn)支梁1 1與與2 2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、計(jì)算、計(jì)算1-1截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力3、計(jì)算、計(jì)算2-2截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力F

7、=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M)()(SSxMMxFF1.剪力、彎矩方程剪力、彎矩方程： 2.剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線：剪力、彎矩方程的圖形，橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。例例二二 作圖示懸臂梁作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。的剪力圖和彎矩圖。第三節(jié)第三節(jié) 剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖與彎矩圖 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力FxxMFxF)()(S剪力、彎矩方程：xFSFFlMFlMFFmaxmaxS|FlABFSM2qlFFBA由對(duì)稱性知：222)(2)(22A

8、ASqxqLxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例三例三 圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載q的作用，作該梁的剪的作用，作該梁的剪力圖和彎矩圖。力圖和彎矩圖。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力qlABx解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程2/ql2/ql8/2ql 例例四四 在圖示簡(jiǎn)支梁在圖示簡(jiǎn)支梁AB的的C點(diǎn)處作用一集中力點(diǎn)處作用一集中力F，作該梁的剪力圖和彎矩圖。作該梁的剪力圖和彎矩圖。 由剪力、彎矩圖知：由剪力、彎矩圖知：在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪在集中力作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，剪力圖發(fā)生突變，其突變值等于集

9、中力的大小，從左向右作圖，突力圖發(fā)生突變，其突變值等于集中力的大小，從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向變方向沿集中力作用的方向。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段ABS)()(:FSlFb/lFa/MlFab/彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 由剪力、彎矩圖知：由剪力、彎矩圖知：在集中力偶作用點(diǎn)，彎在集中力偶作用點(diǎn)，彎矩圖發(fā)生突變，其突變值為集中力偶的大小。矩圖發(fā)生突變，其突變值為集

10、中力偶的大小。 例例五五 在圖示簡(jiǎn)支梁在圖示簡(jiǎn)支梁AB的的C點(diǎn)處作用一集中力偶點(diǎn)處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和彎矩方程、建立剪力方程和彎矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段BBS)()(:FSlM /MlMa/lMb/一一、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系、剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系 1.假設(shè)：規(guī)定假設(shè)：規(guī)定q(x)向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)為其向上為正，向下為負(fù)；任取微段，認(rèn)

11、為其上上q(x)為常數(shù)，無(wú)集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。為常數(shù)，無(wú)集中力、集中力偶；內(nèi)力作正向假設(shè)。 2.微分關(guān)系推導(dǎo)：微分關(guān)系推導(dǎo)：第四節(jié)第四節(jié) 彎矩、剪力與分布荷載集度間彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用的關(guān)系及其應(yīng)用彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFdxxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：)(d)(d22xqxxM1.微分關(guān)系的幾何意義：微分關(guān)系的幾何意義： 剪力圖上

12、某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大?。粡澗貓D上某點(diǎn)剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大??；彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。處的切線斜率等于該點(diǎn)剪力的大小。 2.各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)各種荷載下剪力圖與彎矩圖的形態(tài)：二二、討論微分關(guān)系的幾何意義、討論微分關(guān)系的幾何意義彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力外力情況外力情況q0(向下向下)無(wú)荷載段無(wú)荷載段集中力集中力F作用作用處：處：集中力偶集中力偶M作作用處：用處：剪力圖上的特剪力圖上的特征征(向下斜直線向下斜直線)水平線水平線突變突變，突變值突變值為為F不變不變彎矩圖上的特彎矩圖上的特征征(下凸拋物線下凸拋物線)斜直線斜直線有有尖點(diǎn)

13、尖點(diǎn)有有突變突變，突變突變值為值為M最大彎矩可最大彎矩可 能的截面位置能的截面位置剪力為零的截剪力為零的截面面剪力突變的截剪力突變的截面面彎矩突變的某彎矩突變的某一側(cè)一側(cè)3.其它規(guī)律其它規(guī)律： |M|max可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處；可能發(fā)生在剪力為零處、集中力作用處、集中力偶作用處； q突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)；突變反向，剪力圖有尖點(diǎn)，彎矩圖有凸凹性反轉(zhuǎn)拐點(diǎn)； 荷載圖關(guān)于梁左右對(duì)稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，彎矩圖左右對(duì)稱；荷載圖關(guān)于梁左右對(duì)稱，則剪力圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，彎矩圖左右對(duì)稱；荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，則剪力圖左右對(duì)稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反

14、對(duì)稱。荷載圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱，則剪力圖左右對(duì)稱，彎矩圖關(guān)于梁中點(diǎn)反對(duì)稱。1.先利用計(jì)算法則計(jì)算分段點(diǎn)先利用計(jì)算法則計(jì)算分段點(diǎn)FS、M值；值；2.利用微分關(guān)系判斷并畫出分段點(diǎn)之間的利用微分關(guān)系判斷并畫出分段點(diǎn)之間的FS、M圖。圖。 三三、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖、利用微分關(guān)系作剪力彎矩圖例例六六 外伸梁外伸梁AB承受荷載如圖所示，作該梁的承受荷載如圖所示，作該梁的FS-M圖。圖。彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判斷各段、判斷各段FS、M圖形狀：圖形狀：CA和和DB段：段：q=0，F(xiàn)S圖為水平線，圖為水平線， M圖為斜直線。圖為斜直線。AD段

15、：段：q0， FS 圖為向下斜直線，圖為向下斜直線， M圖為上凸拋物線圖為上凸拋物線。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先確定各分段點(diǎn)的先確定各分段點(diǎn)的FS 、M值，用相應(yīng)形狀的線條連接。值，用相應(yīng)形狀的線條連接。FS+_3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kNm)3.81.4132.2_+FAFB當(dāng)變形為微小時(shí)，可采用變當(dāng)變形為微小時(shí)，可采用變形前尺寸進(jìn)行計(jì)算。形前尺寸進(jìn)行計(jì)算。1、疊加原理疊加原理：當(dāng)梁在各項(xiàng)：當(dāng)梁在各項(xiàng)荷載作用下某一橫截面上荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨(dú)作的彎矩等于各荷載單獨(dú)作用下同一橫截面上的彎矩用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。的代數(shù)和。2

16、、區(qū)段疊加法作彎矩圖區(qū)段疊加法作彎矩圖： 設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷載載q與端部力矩與端部力矩MA、MB的作用的作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即：圖疊加得到。即：第五節(jié)第五節(jié) 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖+MAMBM0+MAMBM0彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 xMxMxM0BMAAqMBlB 注意注意：這里所說(shuō)的彎矩疊加，是縱坐標(biāo)的疊加這里所說(shuō)的彎矩疊加，是縱坐標(biāo)的疊加而不是指圖形的拚合。而不是指圖形的拚合。d圖中的縱坐標(biāo)如同圖中的縱坐標(biāo)如同M圖的縱圖的縱坐標(biāo)一樣，也是垂直于桿軸線坐標(biāo)一樣，也是垂直于桿軸線AB。（1）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)）選定外力的不連續(xù)點(diǎn)(如如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，集中力、集中力偶的作用點(diǎn)，分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等分布力的起點(diǎn)和終點(diǎn)等)為控為控制截面，求出控制截面的彎