1、高等數(shù)學(xué)教案第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的：1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點：1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求

2、導(dǎo)法則；3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4、高階導(dǎo)數(shù)；6、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§2.1導(dǎo)數(shù)概念一、引例1 .直線運(yùn)動的速度設(shè)一質(zhì)點在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動時刻t質(zhì)點的坐標(biāo)為ss是t的函數(shù)sf(t)求動點在時刻to的速度考慮比值ssof(t)f(to)ttotto這個比值可認(rèn)為是動點在時間間隔tto內(nèi)的平均速度如果時間間隔選較短這個比值在實踐中也可用來說明動點在時刻to的速度但這樣做是不精確的更確地應(yīng)當(dāng)這樣令ttoo取高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組比值f的極限如果這個極限存在設(shè)為v即t

3、tolimt t0f(t) f&)t to這時就把這個極限值v稱為動點在時刻t0的速度2 .切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M在點M外另取C上一點N作割線MN當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT直線MT就稱為曲線C有點M處的切線設(shè)曲線C就是函數(shù)yf(x)的圖形現(xiàn)在要確定曲線在點M(xo,yo)(yof(xo)處的切線只要定出切線的斜率就行了為此在點M外另取C上一點N(x,y)于是割線MN的斜率為yVof(x)f(xo)tanxxoxxo其中為割線MN的傾角當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時xxo如果當(dāng)xo時上式的極限存在設(shè)為k即.f(x)f(xo)klimXXoxxo存

4、在則此極限k是割線斜率的極限也就是切線的斜率這里ktan其中是切線MT的傾角于是通過點M(xo,f(xo)且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個問題看出非勻速直線運(yùn)動的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極1fX xoxf(xo) xo一 日f (x) f (xo) o 于是 lim x xox xo令xxxo則yf(xox)f(xo)f(x)f(xo)xxo相當(dāng)于x成為._yf(xox)f(xo)lim一或lim-xoxxox定義設(shè)函數(shù)yf(x)在點xo的某個鄰域內(nèi)有定義當(dāng)自變量x在xo處取得增量x(點xox仍在該鄰域內(nèi))時相應(yīng)地函

5、數(shù)y取得增量yf(xox)f(xo)如果y與x之比當(dāng)xo時的極限存在則稱函數(shù)yf(x)在點xo處可導(dǎo)并稱這個極限為函數(shù)yf(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)記為ylx為即yf(xox)f(xo)f(%)limlim0-xoxxox也可記為y|x x0dydx x xo或 df (x)dxx Xo函數(shù)f(x)在點xo處可導(dǎo)有時也說成f(x)在點xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式常見的有f(xh)f(x)f(xo)lim-(x0)一(-0)hohf(x)f(xo)f(xo)lim0-xxoxxo在實際中需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問題導(dǎo)數(shù)概念就是

6、函數(shù)變化率這一概念的精確描述如果極限lim上0-x)f(xo)不存在就說函數(shù)yf(x)在點xo處不可導(dǎo)xox如果不可導(dǎo)的原因是由于lxmof(xox) f(xo)也往往說函數(shù)yf(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)為無窮大如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導(dǎo)就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)這時對于任一xI都對應(yīng)著f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)記作yf(x)dy或df®dxdx導(dǎo)函數(shù)的定義式.f(xx)f(x).f(xh)f(x)ylim-lim-xoxhohf(xo)與f(x)之間的關(guān)系函數(shù)f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)f(x)就是導(dǎo)函數(shù)

7、f(x)在點xxo處的函數(shù)值即f(xo)f(x)xx。導(dǎo)函數(shù)f (x)簡稱導(dǎo)數(shù)而f(xo)是f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f(x)在xo處的值左右導(dǎo)數(shù)所列極限存在則定義f(x)在xo的左導(dǎo)數(shù)f(xo)f(xoh)f(xo)f(x)在xo的右導(dǎo)數(shù)f(xoh)f(xo)f(xo)hlimo-如果極限hlim0f(xoh)f(xo)存在則稱此極限值為函數(shù)在xo的左導(dǎo)數(shù)xo的右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系f (xo)A f (xo) f (xo) A如果極限hlim0f(xohhf(xo)存在則稱此極限值為函數(shù)在2.求導(dǎo)數(shù)舉例例1.求函數(shù)f(x)CC為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(xh)f(x).CC解f(x)lim-li

8、m0h0hh0h即(C)0例2求f(x)1的導(dǎo)數(shù)x11lim h 0 (xh)x解f(x)limf(xh)f(x)lim至4lim匚h0hh0hh0h(xh)x例3求f(x)雙的導(dǎo)數(shù)f(xh)f(x).xh.x用牛f(x)limlimh0hh0hh11limlimh0h(、xhx)h0xhx2,x例2,求函數(shù)f(x)xn(n為正整數(shù))在xa處的導(dǎo)數(shù)解f(a)limf(x)flmUxaxaxaxa把以上結(jié)果中的a換成x得f(x)nxn1lim(xn1axn2xa即(xn)nxn1an1)nan©0e點(x)21x(x)更一般地有(x)x1其中為常數(shù)例3,求函數(shù)f(x)sinx的導(dǎo)數(shù)f(

9、x)hi”sin(xh)sinxlimh0h1lim一2cos(xh0h)sinlimcos(xh0sin-h_2h2cosx即(sinx)cosx用類似的方法可求得(cosx)sinx例4.求函數(shù)f(x)ax(a>0a解f(x)him°g；f1)的導(dǎo)數(shù)axhaxlimaah0haxlim-1令a 特殊地(lnx)：taxlimth0ht0loga(1t)1axaxlnalogae特別地有(ex)ex例5.求函數(shù)f(x)logax(a>0a1)的導(dǎo)數(shù)f(xh)f(x).loga(xh)logax角系f(x)lim-limh0hh0h1xh1xh1hxlimloga()li

10、mloga(1)limloga(1)hh0ha'x'xh0ha'x，xh0a'x，1logae1xxlnaloga(xh)logax1h、解f(x)limaalimloga(1)''h0hh0ha'x，x.-limloga(1h)h-logae1-xh0xxxlna(log a x)1xln a(logax)1xlna(lnx)3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)極限him°Tf(x)存在的充分必要條件是f(x h) f(x)hlim f(x h) f(x)h 0h.f(x h) f(x)lim -h 0f(xh)f(x)liml-儀limh0hh0都

11、存在且相等f(x)在處的左導(dǎo)數(shù)f(%)f(x)在處的右導(dǎo)數(shù)f(沏)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)在點x。處可導(dǎo)的充分國條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f(x0)和右導(dǎo)數(shù)f(x0)都存在且相等如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且右導(dǎo)數(shù)f(a)和左導(dǎo)數(shù)f(b)都存在就說f(x)有閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)例6.求函數(shù)f(x)x|在x0處的導(dǎo)數(shù)f(0h)f(0)|h|.解f(0)lim-lim1h0hh0hf(0h)f(0).Ihl.f(0)lim-lim1h0hh0h因為f(0)f(0)所以函數(shù)f(x)岡在x0處不可導(dǎo)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線yf(x)在點M(x

12、。,f(x。)處的切線的斜率即f(x0)tan其中是切線的傾角如果yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大這時曲線yf(x)的割線以垂直于x軸的直線xxO為極限位置即曲線yf(x)在點M(x0,f(x。)處具有垂直于x軸的切線xx0由直線的點斜式方程可知曲線yf(x)在點M(x0,y。)處的切線方程為yy0f(x0)(xx°)過切點M(x0,y0)且與切線垂直的直線叫做曲線yf(x)在點M處的法線如果f(x0)0法線的斜率為從而法線方程為f(x0)1yy0-7-(xx0)f(x0)并寫出在該點處的切線方程和法例8求等邊雙曲線y1在點(1,2)處的切線的斜率x2線方程解yW所求切線及法線的斜

13、率分別為x2ki1x2)x4k21k1所求切線方程為y24(x1)即4xy40所求法線方程為y24(x、)即2x8y150例9求曲線yx，；x的通過點(04)的切線方程解設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0則切線的斜率為33 1f (x0) (x2) 1x2x xg于是所求切線的方程可設(shè)為yXoXo2yx0(xXo)根據(jù)題目要求點(04)在切線上因此-34Xojxo24X0(。Xo)解之得Xo4于是所求切線的方程為y4<43J4(x4)即3xy40四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)yf(x)在點xo處可導(dǎo)即limyf(x0)存在則XoXlimylimxlimlimxf(x0)00x0x0xx0xx0這

14、就是說函數(shù)yf(x)在點xo處是連續(xù)的所以如果函數(shù)yf(x)在點x處可導(dǎo)則函數(shù)在該點必連續(xù)另一方面一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點處可導(dǎo)X 0處導(dǎo)數(shù)為無窮大例7.函數(shù)f(x)3x在區(qū)間(，)內(nèi)連續(xù)但在點x0處不可導(dǎo)這是因為函數(shù)在點limf(0h)f(0)limh0hh0h§22函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)uu(x)及vv(x)在點X具有導(dǎo)數(shù)那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點X具有導(dǎo)數(shù)并且u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)v2(x)u(xh)v(

15、xh)u(x)v(x)證明(1)u(x)v(x)limh0h高等數(shù)學(xué)教案第二章 導(dǎo)數(shù)與微分u (x) v (x)u(x)v(x h) u(x)v(x)limu(xh)u(x)v(xh)v(x)h0hh法則(1)可簡單地表示為(uv)uvu(xh)v(xh)u(x)v(x)(2) u(x)v(x)lim-h0h1limohu(xh)v(xh)u(x)v(xh)u(xh)u(x)v(xh)v(x)limv(xh)u(x)-h0hhu(xh)u(x)v(xh)v(x)lim-limv(xh)u(x)lim-h0hh0h0hu(x)v(x)u(x)v(x)其中l(wèi)him0v(xh)v(x)是由于v(x)

16、存在故v(x)在點x連續(xù)法則(2)可簡單地表示為(uv)uvuvu(xh)u(x)(3) u(x)limv(xh)v(x)limu(xh)v(x)u(x)v(xh)v(x)h0hh0v(xh)v(x)hlimu(xh)u(x)v(x)u(x)v(xh)v(x)h0v(xh)v(x)hu(xh)u(x)v(xh)v(x)-v(x)u(x)limhhh0v(xh)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)法則(3)可簡單地表示為小uvuv()2vv2(uv)uv(uv)uvuv(u)uv.uvvv2定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形例如設(shè)uu(x)、vv(x)、w

17、w(x)均可導(dǎo)則有(uvw)uvw(uvw)(uv)w(uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw即(uvw)uvwuvwuvw在法則(2)中如果vC(C為常數(shù))則有高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組(Cu)Cu例1.y2x35x23x7求y解y(2x35x23x7)(2x3)5x2)3x)7)2(x3)5x2)3x)23x252x36x210x3例2f(x)x34cosxsin求f(x)及f(”)f (x) (x3)(4 cos x)(sin 萬)3x2 4sin x3.y ex(sin x cos x)ex) (sin x cos x)ex(sin x cos x)求y e

18、x(sin xe x (cos xcos x) sin x)例4.2excosxy tan xy (tan x)(sin x)cosx7(sin x) cosx sin x(cosx)cos2xcos2 xsin2xcos2 x(tan x) sec2x5. y sec x 求 ycos2xsec2x1 y (secx)(cosx cosx 1 (cosx) sinxcos2xcos2 xsecx tan x即用類似方法(cot x)(csc x)(sec x)secx tan x還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 csc2xcsc x cot x二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)xf(y)

19、在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f(y)0那么它的反函數(shù)yf1(x)在對應(yīng)區(qū)間Ixx|xf(y)yIy內(nèi)也可導(dǎo)并且f1(x),或亞工f(x)f(y)dxdxdy簡要證明由于xf(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù))所以xf(y)的反函數(shù)yf1(x)存在且f'x)在Ix內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)任取xIx給x以增量x(x0xxIx)由yf%x)的單調(diào)性可知yf1(xx)f1(x)0于是y1x_xy因為yf111（x）連續(xù)故limy0x0從而f 1(x)limylim1x0xy0xf(y)y上述結(jié)論可簡單地說成反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)例6 .設(shè)x sin y y , y為直接函數(shù)則y arcsin

20、x是它的反函數(shù) 函數(shù)x sin y在尹區(qū)間（W，萬）內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且（siny）cosy0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則1(arcsinx)(siny)類似地有（arccosx）在對應(yīng)區(qū)間Ix(11)內(nèi)有111cosy1sin(tan y)sec2 y 1 tan2 y 1 x2y1x211x2例 7 .設(shè) x tan y y (,萬）為直接函數(shù)則yarctanx是它的反函數(shù)函數(shù)xtany在區(qū)間（"2"，）內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(tany)sec2y0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對應(yīng)區(qū)間Ix（）內(nèi)有(arctanx)類似地有(arccotx)11x2ay(a0a1）為直接函數(shù)則ylogax是它的反

21、函數(shù)函數(shù)xay在區(qū)間Iy（）內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且（ay）aylna0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對應(yīng)區(qū)間Ix(0)內(nèi)有(logax)1(ay)11ayInaxlna那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)到目前為止所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來了高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第二章 導(dǎo)數(shù)與微分lntan x、ex3、的導(dǎo)數(shù)怎樣求?則復(fù)合函數(shù)y fg(x)在點x結(jié)論自然成雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3如果ug(x)在點x可導(dǎo)函數(shù)yf(u)在點ug(x)可導(dǎo)可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)為dyf(u)g(x)或半dydudxdxdudx證明當(dāng)ug(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時y=f(x)也是常數(shù)此時導(dǎo)數(shù)為

22、零立當(dāng)ug(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時u0此時有yfg(xx)fg(x)fg(xx)fg(x)g(xx)g(x)xxg(xx)g(x)xf(uu)f(u)g(xx)g(x)uxdyyf(uu)f(u)g(xx)g(x)limlimlim-)=f(u)g(x)dxx0xu0ux0x簡要證明dy.y.yu.y.ulimlim-lim-limf(u)g(x)dxx0xx0uxu0ux0x例9yex3求dydx解函數(shù)yex3可看作是由yeuux3復(fù)合而成的因此出業(yè)業(yè)eu3x23x2ex3dxdudx例10ysin-2x7求dy1x2dx解函數(shù)ysin2x2是由ysinuu_2x2復(fù)合而成的1 x2

23、1x2因此dydYducosu2(1X2)(2x)2Tco金dxdudx(1x2)2(1x2)21x2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后就不必再寫出中間變量例11.lnsinx求dydx丘力dy1.、1,斛(lnsinx)(sinx)cosxcotxdxsinxsinx例12.y312x2求生dx,1/2,解dy(12x2)31(12x2)3(12x2)4xdx3V''33(12x2)2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個中間變量的情形例如設(shè)yf(u)u(v)v(x)則dydydUdydudvdxdudxdudvdx例13.yIncos(ex)求dydxdydx1.,、r

24、1cos(ex).1 sin 一14. y e xsin(ex) (ex)extan(ex)1 :x2 edy dx.1sin_1 x ,sin1(e x)1 cos- x例15設(shè)x求曳dxsin11e x (sin) x.1)sin1e x cos一x(1)x0證明募函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(x )解因為x(x ) (ex 1 (e 1n x),1n x)ln xln x所以(In x) eIn xMcOsex)許msg四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1 .基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(C)0(2)(x)x1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)se(2x(6)(cotx)cscx(7

25、)(secx)secxtanx(8)(cscx)cscxcotx(9)(ajaxlna(10)(ex)ex(11) (logax)1xln a(12)(lnx)1x(13)(arcsinx)12.1x2(14)1(arccosx)1x2(15)(arctanx)11x2(16)(arccotx)21x22.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)uu(x)vv(x)都可導(dǎo)則(uv)uv(2)(Cu)Cu(3)(uv)uvuv(4) (u)u v uvv23 .反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)x f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y) 0則它的反函數(shù)y f 1(x)在Ixf(Iy)內(nèi)也可導(dǎo)并f 1(x)或 dy

26、；f (y) dx dxdy4 .復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y f(x)而u g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo)則復(fù)合函數(shù)y fg(x)的導(dǎo)數(shù)為乎乎乎或y (x) f (u) g(x)dx du dx例16求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù).解因為sh x 1(ex e x)所以11(sh x) 2 (ex e x) (ex e x) ch x即 (sh x) ch x類似地有(ch x) sh x例17求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù)解因為th x等所以 ch x(th x)ch2x sh2xch2x1ch2x例18求反雙曲正弦arshx的導(dǎo)數(shù)解因為arshxln(xv1x2)所以(arshx)22(1fx).12

27、1x2 111 x2x1x21x21x2由archxln(xvx21)可得(archx),11x_>_1由arthx51nm可彳#(arthx)寧類似地可得(archx)1(arthx)x21例19.ysinnxsinnx(n為常數(shù))求y解y(sinnx)sinnx+sinnx(sinnx)ncosnxsinnx+sinnxnsinn1x(sinx)ncosnxsinnx+nsinn1xcosxnsinn1xsin(n+1)x§2.3高階導(dǎo)數(shù)一般地函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)yf(x)仍然是x的函數(shù)我們把yf(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù)記作y、f(x)或咤dx2即y(y)f

28、(x)f(x)普包(如)dx2dxdx相應(yīng)地把yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)叫做函數(shù)yf(x)的一階導(dǎo)數(shù)類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)一般地(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)分別記作y(n)或吆d4ydx3dx4dnydxn如果函數(shù)f(x)在點x處具有n階階的導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù)也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)那么函數(shù)f(x)在點x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)y稱為一階導(dǎo)數(shù)(4)yyyy都稱為高階導(dǎo)數(shù)例1.解y例2.解saxysincos2.，sint例3.證明函數(shù)y2xx2滿足關(guān)系式y(tǒng)3y10證明因為y2.2x2x:x21x一2x

29、x2、2xx2(1x)22x22xx22xx2(1x)22xx2(2xx2).(2xx2)11_.3y3(2xx2)2y所以y3y例4.解般地10求函數(shù)exyyexex可得y(n)ex(ex嚴(yán)ex的n階導(dǎo)數(shù)exy(4)ex例5.求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)sinxcosxsin(x-2)y(4)cos(x3)sin(x4)cos(x y) sin(x - -2)sin(x 2 )cos(x 2 ) sin(x 2 -2) sin(x 3 -)般地可得y(n)sin(xn)即(sinx)(n)sin(xn)用類似方法可得(cosx)cos(xn)例6.求對函數(shù)ln(1x)的n階導(dǎo)數(shù)yln(1x

30、)y(1x)1y(1x)2般地y(1)(可得2)(1x)3y(1)(2)(3)(1x)4y(1)(2)(n1)(1x)n(1)n1(n1)!(1x)nln(1x)(n)(1)n1(n1)!(1x)n例6.求哥函數(shù)yx(是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式般地yy(4)可得y(n)(x嚴(yán)n時得到(xn)(xn)(n1)1)x21)(1)(2)x2)(1)(:(1)(2)(1)(02)2)3)x41)xnn1)xn21n!如果函數(shù)uu(x)及vv(x)都在點具有n階導(dǎo)數(shù)且(uv)(n)u(n)v(n)(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuv用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n(uv)(n)Cku

31、(nk)v(k)k0這一公式稱為萊布尼茨公式例8.yx2e2x求y(20)解設(shè)ue2xvx2則(u)(k)2ke2x(k1,2,20)v2xv2(v)(k)0(k3,4,x處具有n階導(dǎo)數(shù)那么顯然函數(shù)u(x)v(x)也在點,20)代入萊布尼茨公式得y(20)(uv)(20)u(20)vC201u(19)vC202u(18)v220e2xx220219e2x2x2019218e2x22!220e2x(x220x95)24隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)形如yf(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)例如ysinxylnx+ex隱函數(shù)由方程F(xy)0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)例如

32、方程xy310確定的隱函數(shù)為yy3T-x如果在方程F(xy)0中當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y值存在那么就說方程F(xy)0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù)把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)叫做隱函數(shù)的顯化數(shù)函數(shù)的顯化有時是有困難的甚至是不可能的但在實際問題中有時需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此我們希望有一種方法不管隱函數(shù)能否顯化都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來例1.求由方程eyxye0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)解把方程兩邊的每一項對x求導(dǎo)數(shù)得(ey)(xy)(e)(0)即eyyyxy0從而y'7(xey0)x 3x7 0所確定的隱函數(shù) y f(x)在x求導(dǎo)數(shù)得0xe例2.求由方程

33、y52yx0處的導(dǎo)數(shù)y|x0解把方程兩邊分別對5yy2y121x6由此得yy ln f(x) y y f(x) ln f(x)對數(shù)求導(dǎo)法適用于求哥指函數(shù)y u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)例5.求y x sin x(x>0)的導(dǎo)數(shù)解法一兩邊取對數(shù)得ln y sin x In x上式兩邊對x求導(dǎo)得1.121x6y5y42因為當(dāng)x0時從原方程得y0所以121x61y|x05y42|x0例3求橢圓支正1在(2,旦處的切線方程1692解把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo)得9yy從而y9x-116y當(dāng)x2時y343代入上式得所求切線的斜率2.3ky|x2-4所求的切線方程為y3<3y(

34、x2)即、3x4y830解把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo)得將x2y3V3代入上式得21,3于是 k y |x 24所求的切線方程為2)即 3Xx 4y 8-J3 03q3.y2"3T(x例4.求由方程xysiny0所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)解方程兩邊對x求導(dǎo)得idyicosydyodx2dx于是dy一1一y cosx In x sin x 一dx2cosy上式兩邊再對x求導(dǎo)得22sinyd2y'dx4sinydx2(2cosy)2(2cosy)yx于是 y y(cosx In x sin x -)xsinx(cosx In x sinx)x解法二這種哥指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方

35、法求y x sin x e sin x In x對數(shù)求導(dǎo)法這種方法是先在yf(x)的兩邊取對數(shù)然后再求出y的導(dǎo)數(shù)設(shè)yf(x)兩邊取對數(shù)得lnylnf(x)兩邊對x求導(dǎo)得x4)(x_1)(x_2).(3 x)(4 x)yesinx1nx門xmx)xsinx(cosxInxsinx)例6求函數(shù)y：(x1)(x2)的導(dǎo)數(shù)(x3)(x4)解先在兩邊取對數(shù)(假定x>4)得1ny11n(x1)1n(x2)1n(x3)1n(x上式兩邊對x求導(dǎo)得11/1111、y()y2x1x2x3x4于是yy(工1L)2x1x2x3x4當(dāng)x<1時ydH*x)當(dāng)2Vx<3時y用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果注

36、嚴(yán)格來說此題應(yīng)分x4x12x3三種情況討論但結(jié)果都是一樣的二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程x(t)確定的則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參y(t)數(shù)方程所確定的函數(shù)在實際問題中需要計算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)但從參數(shù)方程中消去參數(shù)有時會有困難因此我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)x(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t(x)且此反函數(shù)能與函數(shù)y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y(x)假設(shè)x和y都可導(dǎo)則dydydtdy1_(t)dxdtdxdtdx(t)dtdy即以_(U或也心dx(t)dxdxdt假設(shè)x和y(t)都可導(dǎo)則dy(t)dx(t)例7求橢圓xacost

37、在相應(yīng)于t一點處的切線方程ybsint4解dy(bsint)bcostbc0ttdx(acost)asinta所求切線的斜率為dytbdxt4a切點的坐標(biāo)為x0acosa2y0bsinb4242切線方程為yb辛b(xa-)即bxay2ab0xVit例8.拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為19yv2t-gt2求拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小和方向yV2tgt2解先求速度的大小速度的水平分量與鉛直分量分別為x(t)v1y(t)V2gt所以拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小為V,x(t)2y(t)2,V12(v2gt)2再求速度的方向* dy tan dx已知x (t), y設(shè)是切線的傾角則軌道的切線方向為y(

38、t)V2gtx(t)M(t)如何求二階導(dǎo)數(shù)y?d2y且(dy)d(t)dtdx2dx'dx，dt'(t)ax(t)(t)(t)(t)12(t)(t)(t)(t)3(t)例9.計算由擺線的參數(shù)方程xa(tsint)所確定ya(1cost)的函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù)解dyyjt)a(1cost)asintdxx(t)a(tsint)a(1cost)sintcot1(t2nn為整數(shù))1cost2震oxen叫吃1112sin21a（1cost）a（1cost）22（t2nn為整數(shù)）三、相關(guān)變化率設(shè)xx（t）及yy（t）都是可導(dǎo)函數(shù)而變量x與y間存在某種關(guān)系從而變化率dx與業(yè)間也dtdt

39、存在一定關(guān)系這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關(guān)系以便從其中一個變化率求出另一個變化率例10一氣球從離開觀察員500f處離地面鉛直上升其速度為140m/min（分）當(dāng)氣球高度為500m時觀察員視線的仰角增加率是多少？解設(shè)氣球上升t（秒）后其高度為h觀察員視線的仰角為tanh500其中及h都是時間t的函數(shù)上式兩邊對t求導(dǎo)得sec2d 1 dh-dT 500 d?已知140（米/秒）又當(dāng)h500（米）時tan1sec22代入上式得dtd dt1500140所以d里0.14（弧度/秒）dt500即觀察員視線的仰角增加率是每秒014弧度25函數(shù)的微分一、微分的

40、定義引例函數(shù)增量的計算及增量的構(gòu)成一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響其邊長由X0變到X0x問此薄片的面積改變了多少？設(shè)此正方形的邊長為x面積為A則A是x的函數(shù)Ax2金屬薄片的面積改變量為A（x0x）2（x0）22x0x（x）2幾何意義2x0x表示兩個長為x°寬為x的長方形面積（x）2表示邊長為x的正方形的面數(shù)學(xué)意義當(dāng)x0時（x）2是比x高階的無窮小即（x）2o（x）2x0x是x的線性函數(shù)是A的主要部分可以近似地代替A定義設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義xo及xox在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量yf(xox)f(xo)可表不為yAxo(x)其中A是不依賴于x的常數(shù)那么稱函數(shù)yf(x)在點xo

41、是可微的而Ax叫做函數(shù)yf(x)在點x0相應(yīng)于自變量增量x的微分記作dy即dyAx函數(shù)可微的條件函數(shù)f(x)在點xo可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點xo可導(dǎo)且當(dāng)函數(shù)f(x)在點xo可微時其微分一一定是dyf(xo)x證明設(shè)函數(shù)f(x)在點xo可微則按定義有yAxo(x)上式兩邊除以x得Ao(_2)xx于是當(dāng)xo時由上式就得到Alimyf(xo)Xox因此如果函數(shù)f(x)在點xo可微則f(x)在點xo也一定可導(dǎo)且Af(xo)反之如果f(x)在點xo可導(dǎo)即limf(xo)xox存在根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系上式可寫成f(xo)x其中o(當(dāng)xo)且Af(xo)是常數(shù)xo(x)由此又有yf(xo)xx

42、因且f(xo)不依賴于x故上式相當(dāng)于yAxo(x)所以f(x)在點xo也是可導(dǎo)的簡要證明一方面yAxo(x)A0(x)limf(xo)Axxx°x別一方面limnf(xo)f(xo)yf(xo)xxXoxx以微分dy近似代替函數(shù)增量y的合理性當(dāng)f(xo)o時有l(wèi)im-ylimylimy1x0dyx0f(x0)xf(x0)x0dxydyo(dy)結(jié)論在f(xo)0的條件下以微分dyf(xo)x近似代替增量yf(xox)f(xo)時其誤差為o(dy)因此在|x|很小時有近似等式y(tǒng)dy函數(shù)yf(x)在任意點x的微分稱為函數(shù)的微分記彳dy或df(x)即dyf(x)x例如dcosx(cosx)

43、xsinxxdex(ex)xexx例1求函數(shù)yx2在x1和x3處的微分解函數(shù)yx2在x1處的微分為dy(x2)|x1x2x函數(shù)yx2在x3處的微分為dy(x2)|x3x6x例2.求函數(shù)yx3當(dāng)x2x0.02時的微分解先求函數(shù)在任意點x的微分dy(x3)x3x2x再求函數(shù)當(dāng)x2x0.02時的微分dy|x2x3x2|x2,x322自變量的微分因為當(dāng)yx時dydx(x)xx所以通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分記作dx即dxx于是函數(shù)yf(x)的微分又可記作dyf(x)dx從而有dyf(x)dx這就是說函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”二、微分的幾何意義當(dāng)

44、y是曲線yf(x)上的點的縱坐標(biāo)的增量時dy就是曲線的切線上點縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量當(dāng)|x|很小時|ydy|比|x|小得多因此在點M的鄰近我們可以用切線段來近似代替曲線段三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式dyf(x)dx可以看出要計算函數(shù)的微分只要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再乘以自變量的微分因此可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則1基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公m微分公式(x)x1d(x)x1dx(sinx)cosxd(sinx)cosxdx(cosx)sinxd(cosx)sinxdx(tanx)sec2xd(tanx)sec2xdx(cotx)csc2xd(cotx)csc2xdx(s

45、ecx)secxtanxd(secx)secxtanxdx(cscx)cscxcotxd(cscx)cscxcotxdx(ax)axlnad(ax)aixlnadx(ex)exd(ex)e：xdx(logax)1d(loga1x)dxxlnaxlna(lnx)1xd(lnx)dxx(arcsinx)1d (arcsin x)外x2- 1 x21d(arccosx)1 2 dx、1 x2.1 x211 x2d(arctanx)2 dx1 x211 x2d(arccotx)-J- dx 1 x2(arccosx)(arctan x)(arccotx)2函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)法則(uv)u

46、v(Cu)Cu(uv)uvuv(u)UVV(v0)vv2證明乘積的微分法則根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式有d(uv)(uv)dx再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則有(uv)uvuv于是d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx由于udxduvdxdv所以d(uv)vduudv微分法則d(u v) du dv d(Cu) Cdu d(u v) vdu udv d(u)嗎udvdx(v 0)vv23復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)yf(u)及u(x)都可導(dǎo)則復(fù)合函數(shù)yf(x)的微分為dyyxdxf(u)(x)dx于由(x)dxdu所以復(fù)合函數(shù)yf(x)的微分公式也可以寫成dyf(u)du或dyyudu由此可見無論u是自變量還是另一個

47、變量的可微函數(shù)微分形式dyf(u)du保持不變性質(zhì)稱為微分形式不變性這性質(zhì)表示當(dāng)變換自變量時微分形式dyf(u)du并不改變例3.ysin(2x1)求dy解把2x1看成中間變量u則dyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時可以不寫出中間變量例4yln(1ex2)求dy解dydln(1ex2)1d(1ex2)1exex2d(x2)ex22xdx2xe二dx1ex21ex21ex2例5.ye13xcosx求dy解應(yīng)用積的微分法則得dyd(e13xcosx)cosxd(e13x)e13xd(cosx)(cosx)e13x(3dx)e13x(sinxdx)e13x(3cosxsinx)dx例6.在括號中填入適當(dāng)