1、 在第一、二章中已研討過(guò)方程個(gè)數(shù)在第一、二章中已研討過(guò)方程個(gè)數(shù)= =未知數(shù)個(gè)數(shù)且系數(shù)行列未知數(shù)個(gè)數(shù)且系數(shù)行列式不等于零的情形的方程組：式不等于零的情形的方程組：11 11221121 1222221 122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb在本章將研討普通的線性方程組：在本章將研討普通的線性方程組： 11 11221121 1222221 122,nnnnmnmnnma xa xa xba xa xa xbaxa xaxb需研討：需研討：無(wú)解無(wú)解有解有解獨(dú)一解獨(dú)一解無(wú)窮解無(wú)窮解解的構(gòu)造解的構(gòu)造 在在本本節(jié)節(jié)中中我我們們將將學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)如如何何通通過(guò)過(guò)

2、初初等等行行變變換換解解線線性性方方程程組組的的方方法法 設(shè)設(shè)有有n元元線線性性方方程程組組 ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa (4.1) 其其系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣A和和增增廣廣矩矩陣陣B分分別別為為： 令令12nxxxx，12mbbbb，則線性方程組，則線性方程組(4.1)可寫(xiě)為：可寫(xiě)為： Axb (4.2) 稱(chēng)稱(chēng)(4.2)為為方方程程組組(4.1)的的矩矩陣陣形形式式 如如果果nncxcxcx,2211可可以以使使(4.1)中中的的m個(gè)個(gè)等等式式都都成成立立，則則稱(chēng)稱(chēng)有有序序數(shù)數(shù)組組),(21nccc為為方方程程組組(4.

3、1)的的一一個(gè)個(gè)解解 方方程程組組(4.1)的的解解的的全全體體稱(chēng)稱(chēng)為為方方程程組組的的解解集集合合 對(duì)對(duì)(4.1)(4.1)需研討：需研討：無(wú)解無(wú)解有解有解獨(dú)一解獨(dú)一解無(wú)窮解無(wú)窮解稱(chēng)方程組不相容稱(chēng)方程組不相容方程組相容方程組相容解的構(gòu)造解的構(gòu)造 解解 為為觀觀察察消消元元過(guò)過(guò)程程，將將消消元元過(guò)過(guò)程程中中每每個(gè)個(gè)步步驟驟的的方方程程組組及及其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的增增廣廣矩矩陣陣一一并并列列出出： 這里先引見(jiàn)線性方程組的解法：加減消元法這里先引見(jiàn)線性方程組的解法：加減消元法 對(duì)線性方程組用消元法對(duì)線性方程組用消元法對(duì)應(yīng)方程組的增廣矩陣對(duì)應(yīng)方程組的增廣矩陣11 1211 3B12122(1)3(2)x

4、xxx消去消去1,x(1)-(2)(1)-(2)得：得：21221(3)3(4)xxx 1(3)2得：得：2121(5)23(6)xxx 202111 3B31012113B 對(duì)線性方程組用消元法對(duì)線性方程組用消元法對(duì)應(yīng)方程組的增廣矩陣對(duì)應(yīng)方程組的增廣矩陣(5)(6)得：得：122312xxx41131012B7（ ）（8）得方程組的解為：得方程組的解為：125212xx 比較發(fā)現(xiàn)：比較發(fā)現(xiàn)：增廣矩陣增廣矩陣B上階梯形矩陣上階梯形矩陣初等初等 行變換行變換原方程組原方程組同解方程組同解方程組 其其中中ricii, 2 , 1, 0 111211122222100000000Brnrnrrrnr

5、rccccdcccdccdd 不不妨妨設(shè)設(shè) .0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc4.34.3討論：討論：1 1假設(shè)假設(shè)01rd( )( )rR AR B，即，即 無(wú)解無(wú)解 2 2假設(shè)假設(shè)10rd( )( )rR AR B，即，即 有解有解 自下而上可依次求出自下而上可依次求出11,xxxnn的值，從而方程組有的值，從而方程組有惟一解；惟一解； .,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc ( )( )rR AR Bn2 2、當(dāng)、當(dāng) 1 1、當(dāng)、當(dāng) ( )( )rR AR Bn 其中其中

6、nrxx,1為自由未知量為自由未知量 當(dāng)自由未知量任意取一組值時(shí)，可惟一確定當(dāng)自由未知量任意取一組值時(shí)，可惟一確定rxxx,21的值，從而得到方程組的一個(gè)解的值，從而得到方程組的一個(gè)解 因此因此方程組有無(wú)窮多組解方程組有無(wú)窮多組解 ( (rn個(gè)個(gè)) ) 總總結(jié)結(jié)： 無(wú)解無(wú)解有解有解獨(dú)一解獨(dú)一解無(wú)窮解無(wú)窮解4.14.1( )( )R AR B( )( )R ArR Brnrn有有nr個(gè)自在未知量個(gè)自在未知量r 1r B上階梯形矩陣上階梯形矩陣增廣矩陣增廣矩陣求解求解4.14.1的步驟的步驟行變換行變換判別判別( )( )rR AR B？獨(dú)一解獨(dú)一解無(wú)窮解無(wú)窮解rnrn不成立，即無(wú)解不成立，即無(wú)解

7、成立，即有解成立，即有解同解方程組同解方程組確定出確定出nr個(gè)自在未知量個(gè)自在未知量寫(xiě)出通解寫(xiě)出通解 121301121127B 例例 3 解解線線性性方方程程組組： . 72, 2, 3232132321xxxxxxxx 解解 對(duì)增廣矩陣作初等行變換：對(duì)增廣矩陣作初等行變換： 例例 4 解解線線性性方方程程組組： .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx 因因 ( )( )2ABRR，故方程組有無(wú)窮多組解，故方程組有無(wú)窮多組解 其其同同解解方方程程組組為為： . 142, 0434321xxxxxx 取取42,xx作作為為自自由由未未知知量量，將將自自由由未未

8、知知量量移移到到等等式式右右端端，得得 . 142,434231xxxxxx 21121kkx，23221kx 因此方程組的一般解為：因此方程組的一般解為： ,221,21242312211kxkxkxkkx 其中其中21,kk為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 142,434231xxxxxx 令令2412,kxkx， 得得 解解 對(duì)增廣矩陣作初等行變換：對(duì)增廣矩陣作初等行變換： 22112121112B 例例 5 問(wèn)問(wèn)取何值時(shí)，取何值時(shí)，下列下列線性方程組線性方程組有解，并求其解有解，并求其解 .22222321321321xxxxxxxxx， 當(dāng)當(dāng)1或或2時(shí)時(shí)，( )( )2ABRR，方方程程組組有有無(wú)無(wú)窮窮多多組組解解 當(dāng)當(dāng)1時(shí)時(shí)，原原方方程程組組的的同同解解方方程程組組為為 . 0, 1232321xxxxx 當(dāng)當(dāng)1且且2時(shí)時(shí)，( )( )ABRR，方方程程組組無(wú)無(wú)解解； .)2)(1(000132110121）（ 取取3x為為自自由由未未知知量量，得得其其解解為為,2,2321kxkxkx k