1、把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中去北京理工大學(xué) 葉其孝一.數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性二.為什么要把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程? 三.怎樣融入?A. 融入的幾個(gè)原則B. 具體做法: 兩個(gè)例子1. 復(fù)利和抵押貸款買房問題2. 易拉罐問題 一個(gè)想法改變了可口可樂易拉罐的形狀四. 幾個(gè)值得注意的問題五. 困難和可能的解決辦法一.數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性高技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù).戴維(E. David, 1972年曾任尼克松總統(tǒng)的科學(xué)顧問，1966年入選美國工程院院士在1984年說的一段話：“對(duì)數(shù)學(xué)研究的低水平的資助只能來自對(duì)于數(shù)學(xué)研究帶來的好處的完全不妥的評(píng)價(jià)，顯然，很少有人認(rèn)識(shí)到當(dāng)

2、今被如此稱頌的高技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)。”. the low levels of support for mathematics research can only flow from a totally inadequate preciation of the benefits it confers. Apparently, too few people recognize that the "high technology" that is so celebrated today is essentially mathematical technology.E. E. D

3、avid Jr., Notices of American Mathematical Society, v. 31(1984, no. 2, p. 142. 錢學(xué)森教授1989年在中國數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育與科研座談會(huì)上的講話中說: “但是他(指美國Brown大學(xué)教授、應(yīng)用數(shù)學(xué)家謝定裕的題目叫“數(shù)學(xué)科技”, 我想不叫“數(shù)學(xué)科技”, 這是數(shù)學(xué)技術(shù), 即怎樣給一個(gè)方法, 能使科學(xué)的理論通過電子計(jì)算機(jī)解答具體的科學(xué)技術(shù)問題. 這包括兩個(gè)方面, 第一就是要會(huì)用電子計(jì)算機(jī), 會(huì)指揮它去算. 第二是電子計(jì)算機(jī)給出的解答, 在熒光屏上顯示出來, 能夠理解它, 別讓它給唬住了. 我覺得后一個(gè)關(guān)于理解的問題, 就是要從

4、宏觀的整體角度去認(rèn)識(shí), 這也是數(shù)學(xué)問題.”錢學(xué)森, 發(fā)展我國的數(shù)學(xué)科學(xué), 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 1990, 19(2: 131-132.*21世紀(jì)是科學(xué)和工程數(shù)學(xué)化的世紀(jì).美國科學(xué)基金會(huì)數(shù)學(xué)部主任Eisenstein在評(píng)述該基金會(huì)把數(shù)學(xué)科學(xué)列為2002-2006該基金會(huì)五大創(chuàng)新項(xiàng)目(其他四個(gè)分別為: 環(huán)境中的生物復(fù)雜性,信息技術(shù)研究,納米科學(xué)和工程,以及21世紀(jì)的勞動(dòng)力之首時(shí)所說的,“該重大創(chuàng)新項(xiàng)目背后的推動(dòng)力就是一切科學(xué)和工程領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化(Mathematization.”"The driving force behind the initiative is the 'mathema

5、tization' of all areas of science and engineering." NSF Launches Major Initiative in Mathematics, Allyn Jackson, Notices of AMS, v. 48(2001, no. 2, 190 - 192.Eisenstein 說.“還有，數(shù)學(xué)帶給其他科學(xué)的附加值現(xiàn)在是比過去更加看得見了. 其他科學(xué)認(rèn)識(shí)到的這種附加值是該創(chuàng)新項(xiàng)目的主要推動(dòng)力量.”" Also, the 'value-added' that mathematics brings

6、 to other sciences is more visible today than it has been in the past. This 'value-added' that other sciences perceive is a major driver in this initiative." *把對(duì)外部世界各種現(xiàn)象或事件的研究化歸為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模的方法在各種研究方法, 特別是與電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)有關(guān)的研究方法中, 占有主導(dǎo)地位. 數(shù)學(xué)建模的方法能使人們?cè)诮鉀Q復(fù)雜的科學(xué)技術(shù)問題時(shí)設(shè)計(jì)出在最佳情勢(shì)下可行的新的技術(shù)手段, 并且能預(yù)測(cè)新的現(xiàn)象. A.

7、H. , Mathematical Model,Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 1995, Vol. 3, pp.784-785. 數(shù)學(xué)百科全書第三卷, p. 648. *一切科學(xué)和工程技術(shù)人員的教育必須包括數(shù)學(xué)和計(jì)算科學(xué)的更多的內(nèi)容. 數(shù)學(xué)建模和與之相伴的計(jì)算正在成為工程設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵工具. 科學(xué)家正日益依賴于計(jì)算方法，而且在選擇正確的數(shù)學(xué)和計(jì)算方法以及解釋結(jié)果的精度和可靠性方面必須具有足夠的經(jīng)驗(yàn). 對(duì)工程師和科學(xué)家的數(shù)學(xué)教育需要變革以反映這一新的現(xiàn)實(shí).Friedman A., J. Glimm, J. Lav

8、ery, The mathematical and computational sciences in emerging manufacturing technologies and management practices (新興的的制造技術(shù)和管理實(shí)踐中的數(shù)學(xué)和計(jì)算科學(xué) SIAM Report on Issues in the Mathematical Sciences, SIAM, 1992, p. 62-63. The education of technical personnel of all branches of science and engineering must incl

9、ude increased exposure to the mathematical and computational sciences. Mathematical modeling and associated computations are being critical tools in the engineering design process. Scientists rely increasingly on computational methods and must have sufficient experience in mathematical computational

10、 methods and reliability of the results. The mathematical education of engineers and scientists needs to change to reflect this new reality.*鑒于數(shù)學(xué)研究的范圍無限廣闊，這門科學(xué)，即使是現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也還處于嬰兒時(shí)期。如果文明繼續(xù)進(jìn)步, 在今后兩千年內(nèi)，在人類思想領(lǐng)域里具有壓倒性的新情況，將是數(shù)學(xué)地理解問題占統(tǒng)治地位."Having regard to the immensity of its subject- matter mathematics,

11、 even modern mathematics, is a science in its babyhood. If civilization continues to advance, in the next two thousand years the overwhelming novelty in human thought will be the dominance of mathematical understanding." Alfred North Whitehead (阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德,1861, 2, 15 1947, 12, 30 1

12、939年12月15日在哈佛大學(xué)的講演: "Mathematics and the Good " in P. A. Schilpp ed., 1951. The Philosophy of Alfred North Whitehead, 2nd. ed. New York, Tudor Publishing Company: 666-81.胡世華，信息時(shí)代的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)進(jìn)展，1988, 17(1: 12-20. 錢學(xué)森, 發(fā)展我國的數(shù)學(xué)科學(xué), 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 1990, 19(2: 133.* 數(shù)學(xué)等于機(jī)會(huì)Mathematics Equals Opportunity“我今天給你們的

13、統(tǒng)計(jì)資料清楚地表明：“數(shù)學(xué)等于機(jī)會(huì)”。當(dāng)我們?yōu)榧磳砼R的世紀(jì)作準(zhǔn)備時(shí)，不可能再送給美國父母和學(xué)生別的更關(guān)鍵的信息了。”“As the statistics I have related to you today make clear, Mathematics Equals Opportunity. There could be no more crucial massage to send to the parents and students of America as we prepare for the coming century. ” Richard W. Riley (克林頓任總統(tǒng)

14、時(shí)的教育部長, The state of mathematics education: Building a strong foundation for the 21st century, a speech presented at the invitation of the AMS Committee on Science Policy and the AMS Committee on Education,Notices of the AMS, v. 45(1998, no. 4, 487- 491. Richard W. Riley, 數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀：為 21 世紀(jì)建立強(qiáng)大基礎(chǔ)，應(yīng)美國數(shù)學(xué)

15、會(huì) (AMS科學(xué)政策委員會(huì)和教育委員會(huì)的邀請(qǐng)于 1998 年 1 月 8 日在美國 Baltimore 舉行的美國數(shù)學(xué)會(huì)和美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)(MAA 聯(lián)合數(shù)學(xué)會(huì)議上發(fā)表的演說，Notices of the AMS, v. 45 (1998, no. 4, 487 - 491. 中譯文登在：數(shù)學(xué)譯林 國際數(shù)學(xué)進(jìn)展，v.17 (1998, no. 3, 252 - 256, 207. 數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模無處不在、日益重要, 作為數(shù)學(xué)教師我們有義務(wù)盡快讓學(xué)生學(xué)習(xí)初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法, 從而更積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 這樣做將使學(xué)生終生受益. 這不僅是我們數(shù)學(xué)教師的神圣使命, 也是我們樹立自己是一個(gè)負(fù)責(zé)任的

16、、受學(xué)生歡迎的數(shù)學(xué)教師形象的機(jī)會(huì). 我們一定要處處、事事、時(shí)時(shí)為我們的學(xué)生著想. 同時(shí)我們也要認(rèn)真思考:我們希望學(xué)生真正學(xué)到手的是什么?什么是“簡(jiǎn)單”和“不簡(jiǎn)單”, “深”和“淺”，有“理論深度”和“沒有理論深度”?我們需要什么樣的教師形象?二.為什么要把數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)的主干數(shù)學(xué)課程?1. 社會(huì)發(fā)展和科技進(jìn)步、提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和提高能力的需要. 盡早(通過一年級(jí)的高等數(shù)學(xué)課程等讓大學(xué)生了解: 良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ), 特別是對(duì)數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)去解決各種實(shí)際問題的橋梁, 了解數(shù)學(xué)建模三要點(diǎn): 合理假設(shè)、數(shù)學(xué)問題和解釋驗(yàn)證, 對(duì)于他們一生的事業(yè)都有好處的. 也是數(shù)學(xué)

17、教學(xué)改革、提高教學(xué)質(zhì)量的需要, 有利于講清重要的數(shù)學(xué)概念、方法的來龍去脈, 進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量. 當(dāng)然要做到這一點(diǎn), 應(yīng)該說, 途徑不是唯一的, 而是“條條大路通羅馬(All roads lead to Rome”. 但是在適當(dāng)?shù)牡胤?、運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模實(shí)例和合適的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)是有可能給學(xué)生留下深刻的印象, 提高他們的學(xué)習(xí)積極性, 從而達(dá)到上述目的. 我們千萬不要陷入什么方法好什么方法不好的無為爭(zhēng)論, 我們要做的是通過認(rèn)真的實(shí)踐來證明這樣的做法能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性, 并培養(yǎng)出許多優(yōu)秀學(xué)生. 2. 有助于提高數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)教研室、數(shù)學(xué)(院系在學(xué)校和社會(huì)上的地位和發(fā)言權(quán). 特別是為青年教師

18、的提高創(chuàng)造條件, 特別是培養(yǎng)青年教師的個(gè)人教學(xué)風(fēng)格. 但是, 現(xiàn)實(shí)的情況是令人擔(dān)憂的. 3. 為了進(jìn)一步提高大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的質(zhì)量, 實(shí)現(xiàn)一種良性循環(huán). 也有利于將來組隊(duì)參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽.三. 怎樣融入? 2002 2005 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)曾經(jīng)組織執(zhí)行了由李大潛牽頭的教育部教改立項(xiàng)“將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)主干課程教學(xué)中的研究與試驗(yàn)”, 取得了一定的成果和經(jīng)驗(yàn). 又經(jīng)過幾年的實(shí)踐, 我們有可更多的體會(huì)和更加切實(shí)可行的做法. A. 融入的幾個(gè)原則:1. 實(shí)例要簡(jiǎn)明易懂結(jié)合日常生活感覺得到的與工程或現(xiàn)代技術(shù)有關(guān), 或者結(jié)合專業(yè)且簡(jiǎn)明易懂, 能引起學(xué)生的興趣; 2. 要

19、能夠結(jié)合課程(微積分的今后可能用到的主要概念、思想和方法, 能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性; 適當(dāng)?shù)墓噍斠彩潜匾?3. 不拘形式(不強(qiáng)求統(tǒng)一、因地制宜(不同學(xué)校、專業(yè)不同對(duì)待、因材施教(特別是要培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生, , 可以在習(xí)題(課外作業(yè)、小的研究課題等上做文章、追求實(shí)效. 在不增加學(xué)時(shí)或至多增加2學(xué)時(shí)的前提下八仙過海、各顯神通. 與時(shí)俱進(jìn), 逐步提高層次. 4. 要和教學(xué)研究相結(jié)合, 不斷發(fā)現(xiàn)問題, 不斷改進(jìn)教學(xué). 怎樣判定融入是有良好效果還是效果不大. 5重點(diǎn)放在一年級(jí)第一學(xué)期, 因?yàn)檫@時(shí)候的大學(xué)生易于接受教師的教育和引導(dǎo).結(jié)合容易懂的實(shí)際問題入手, 諄諄善誘、由淺入深與適當(dāng)灌輸相結(jié)合, 特

20、別強(qiáng)調(diào)加深理解微積分的重要概念、思想和方法,通過建模的逐步深入使學(xué)生明白為什么一定要認(rèn)真學(xué)好、掌握好數(shù)學(xué)的思想和方法.尤其對(duì)于青年教師來說, 這個(gè)學(xué)期的教學(xué)和教學(xué)研究對(duì)于自己的成長和教學(xué)風(fēng)格的確立是極其重要的. B. 具體做法: 動(dòng)員更多的教師編寫可以融入的教學(xué)單元, 特別是為高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)初步三門課程編寫可以融入的教學(xué)單元, 主要是提供可以融入各種課程的實(shí)際問題的建模教學(xué)的素材(問題的陳述、建模過程、求解和驗(yàn)證; 習(xí)題、小的研究課題和考題的建議等, 以供有心做的教師參考和鉆研, 從而能夠結(jié)合學(xué)生情況進(jìn)行富有成效的教學(xué), 特別是培養(yǎng)個(gè)人的教學(xué)風(fēng)格. 以下我們通過舉例說明, 我們將

21、結(jié)合國內(nèi)用得比較多的兩本教材:同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編, 微積分, 上冊(cè), 高等教育出版社, 1999; 王綿森、馬知恩主編, 工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ), 高等教育出版社, 1998. 我們按照相應(yīng)的頁碼提出建議.包括為什么要讓大學(xué)生盡早了解和使用計(jì)算器和數(shù)學(xué)軟件等. 對(duì)于學(xué)生要因材施教, 不一定人人都一樣要求, 要為優(yōu)秀學(xué)生創(chuàng)造更好的學(xué)習(xí)條件和環(huán)境. 兩個(gè)例子數(shù)學(xué)建模最關(guān)鍵的是：合理假設(shè)，數(shù)學(xué)問題，解釋驗(yàn)證1. 復(fù)利和抵押貸款買房問題復(fù)利應(yīng)用實(shí)例 一位使用工商銀行國際信用卡的張姓用戶, 2004年12月用工商銀行的信用卡, 刷卡消費(fèi)39771.52元，由于記錯(cuò)了還款額，他在還款日期(2005年1月25日

22、 到期之前, 分多次共計(jì)還款39771.28元, 少還了0.24元（事后才發(fā)現(xiàn)）. 但就是這區(qū)區(qū)0.24元, 工商銀行在他1月份的賬單里記賬兩筆共計(jì)853元的利息. 張先生從網(wǎng)上查到賬單后, 立即致電工商銀行95588, 得到的答復(fù)是最新的國際信用卡章程已將原來只對(duì)逾期沒有還的欠款部分收取利息改為對(duì)消費(fèi)款全部從消費(fèi)發(fā)生日起收取每日萬分之五的利息. 我們先不說張先生是否及時(shí)知道新的章程, 這種收費(fèi)是否合理. 這里, 我們只問一個(gè)問題: 工商銀行按多少天來收的利息? 解. 已知,由 (3.1 - 2中的, 代入計(jì)算得 天. 在pp.27-33“第二節(jié) 數(shù)列極限的定義”中強(qiáng)調(diào)等比數(shù)列，特別是在p.3

23、1的例3中，加上最重要的幾何(等比級(jí)數(shù)部分和的求和公式的內(nèi)容, 然后提出下面的問題: 例1. 在“文曲星”電子詞典(或類似的電子詞典中，打開其目錄,在“計(jì)算”目錄下有一項(xiàng)“貸款計(jì)算”，打開后有下列顯示：貸款金額 200,000貸款年數(shù) 20年利率(% 6.39%=0.0639 (月利率=6.39/12=0.5325%如果是上述輸入，會(huì)見到如下“計(jì)算結(jié)果”每月應(yīng)付款數(shù)(記為x 1478.22總還款額 354,773.41總利息 154,773.41問題: 用數(shù)學(xué)建模的方法來回答: 這是怎么算出來的. 假設(shè): 月等額還款提示:借款模型是按月利率，按月計(jì)算的。用符號(hào)表示，設(shè)一開始的貸款金額記為，貸款

24、年數(shù)記為，年利率記為R = 0.0639，月利率記為r = R/12 = 0.005325確定變量以及變量之間的關(guān)系, 即數(shù)學(xué)模型的建立：這個(gè)月(記為第n個(gè)月尚欠銀行的款數(shù)記為, 上個(gè)月(記為第n - 1個(gè)月結(jié)余欠款記為加上利息記為，減去這個(gè)月的還款, 還欠.所以數(shù)學(xué)模型為: 這個(gè)月的欠款等于上個(gè)月欠款加上利息, 再減去這個(gè)月的(等額還款; 一開始的借(欠款已知; 20年必須還清. 用數(shù)學(xué)語言表示, 即數(shù)學(xué)模型為: 表示20年 = 240個(gè)月還清貸款. 求解這個(gè)數(shù)學(xué)模型只需要用到等比級(jí)數(shù)部分和的求和公式. 解: 容易觀察出規(guī)律, 并用數(shù)學(xué)歸納法證明, 對(duì)于任何n有由等比級(jí)數(shù)部分和的求和公式(于

25、是有由于, 所以驗(yàn)證“文曲星”電子詞典顯示的結(jié)果是否正確.不算出數(shù)值, 怎么讓人相信? 但是, 手算是不現(xiàn)實(shí)的, 這就涉及到在教學(xué)中要不要(允許不允許使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件這個(gè)不可回避的問題(實(shí)際上也是不應(yīng)該回避的問題. 我個(gè)人認(rèn)為, 做課外作業(yè)應(yīng)該允許, 考試不允許. 錢學(xué)森教授1989年在中國數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育與科研座談會(huì)上的講話中說: “ 今天的實(shí)踐要求教會(huì)學(xué)生兩條: 一是會(huì)用電子計(jì)算機(jī), 二是能理解電子計(jì)算機(jī)給出的答案.”錢學(xué)森, 發(fā)展我國的數(shù)學(xué)科學(xué), 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 1990, 19(2: 132.我們一定要積極應(yīng)對(duì), 深入研究應(yīng)用圖形計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件能否加深學(xué)生對(duì)概念的理解,

26、精心設(shè)計(jì)能夠達(dá)到這樣的目的的習(xí)題、思考題和研究課題, 來提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性. 到底應(yīng)該怎么做, 值得認(rèn)真研究, 但這不是今天在這里要討論的問題. 不過, 我們必須及時(shí)關(guān)注于2009年5月18日由Wolfram Research(沃爾弗拉姆研究公司正式推出(發(fā)行的一個(gè)基于Mathematica數(shù)學(xué)軟件和A New Kind of Science(一種新科學(xué), 厚達(dá)1280頁, 縮寫為NKS名為Wolfram|Alpha的新的計(jì)算型知識(shí)(搜索引擎(Computational knowledge engine 以及它將對(duì)科學(xué)研究和教育產(chǎn)生的影響. Wolfram|Alpha的作者Ste

27、phen Wolfram (1959 , 8, 29 , 1979年在加州理工學(xué)院(CIT獲理論物理學(xué)博士學(xué)位, 1988年他推出了強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)軟件Mathematica, 他最近撰文表示：“(Wolfram|Alpha的用戶所要做的就是用自然的語言問問題，而搜索引擎則能準(zhǔn)確進(jìn)行回答.我很高興地宣布，通過綜合使用多種啟發(fā)性的算法（algorithms and heuristics）和語法發(fā)現(xiàn)（linguistic discovery），我們很可能取得了一些重要的理論突破，并能實(shí)際上使其運(yùn)轉(zhuǎn). 我們將最終形成一個(gè)網(wǎng)站： 通過這個(gè)網(wǎng)站，只要簡(jiǎn)單輸入問題，我們就可以接入到一個(gè)巨大的系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)是擁

28、有極其龐大信息量的數(shù)據(jù)庫. ”關(guān)于它將對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生的影響, 例如, 可以看, 由Jeffrey R. Young寫的發(fā)表在2009年6月12日Chronicle of Higher Education(高等教育記事上的文章“A Calculating Web Site Could Ignite a New Campus Math War(計(jì)算搜索網(wǎng)站可能會(huì)點(diǎn)燃新一輪的數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”.回到原來的問題, 等額還款1478.22是怎么算出來的. 用Mathematica數(shù)學(xué)軟件的輸入和輸出輸入:Clearr, n, N, x 輸出: 1478.22更多的應(yīng)用可參考1:大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材(五第3

29、章，葉其孝主編，湖南教育出版社，2008. 模型的變形: 1 p. 33, (3.1-4 (3.1-9, 4個(gè)變量中知道任何3個(gè)就可以求出另一個(gè). (3.1 - 4 (3.1 - 6 (3.1 - 7 或 (3.1 - 7* (3.1 - 8為求的, 需要求解下面的代數(shù)方程式 (3.1- 9 例2. 根據(jù)報(bào)道, 喬先生向銀行貸了22萬元, 貸款期限是2003年9月 - 2013年9月共120期, 采用等額本息還款法, 月供2338元. 目前, 已還16期, 還剩104期，貸款余額為198155元, 喬先生手頭正好有5萬元可用, 因此提出申請(qǐng)?zhí)崆斑€款5萬元. 如果提前還款5萬元. 得到批準(zhǔn), 喬

30、先生又想保持貸款期限不變, 即再繼續(xù)105期, 那么按照新的利率6.12%他的月還款是多少?解: 該報(bào)道中沒有說月利率r為多少, 因此我們首先要求r. 因?yàn)? 220000, = 120, = 2338. 解方程(3.1 - 9, 即解我們可以利用 Mathematica 數(shù)學(xué)軟件來求解. 首先定義(3.1 - 9 右端的函數(shù)如下Cleara0,f,n,r,xfa0_,n_,x_,r_:=a0 (1+r(n+1-(a0+x(1+rn+x也可以單擊“File”菜單，把光標(biāo)移到“Palettes”選項(xiàng)，在彈出的子菜單中再單擊 “BasicCalculation”項(xiàng)，按屏幕上出現(xiàn)的基本命令選擇窗口，

31、可以直接輸入以下數(shù)學(xué)公式的形式fa0,n,x,r然后給已知的a0, n, x 賦值, 并畫圖. 根據(jù)我們對(duì)利息的了解, r 的變化范圍為一定大于0,小于0.2.a0=220000;n=120;x=2338;Plotfa0,n,x,r,r,0,0.02,AxesLabel r,f可見 f 的零點(diǎn)大約在0.005附近。我們可以再精細(xì)一點(diǎn)畫圖看得更清楚一點(diǎn), r 的變化范圍為 0.004,0.005，畫圖如下Plotfa0,n,x,r,r,0.004,0.005, AxesLabe l->r,f因此, 我們可以用0.0042作為初值, 求 f 的零點(diǎn)FindRootfa0,n,x,r=0,r,

32、0.0042r 0.00420197注意，利用FindRoot 語句，初值確定的好壞是很重要的, 所以上述做法的步驟是很有效的. 思考題: 能否用 Solvefa0, n, r, x = 0, r 或 NSolvefa0, n, r, x = 0, r 來求 r. 進(jìn)行比較, 哪個(gè)更好些，或者說它們各自的優(yōu)點(diǎn)是什么？r 0.00420197, 或者 r 0.004202, 年利率為 0.050424. 再由(3.1- 4, 分別令k = 16 和 k = 15 計(jì)算之, 分別計(jì)算 和 得到的結(jié)果分別為: 196656和198161. 如果報(bào)道中的198155沒有錯(cuò)誤, 那么198161非常接近

33、198155. 這就說明報(bào)道有誤. 實(shí)際上, 喬先生只還了15期, 還有105期要還. 現(xiàn)在的= 148, 155, = 105, 利用(3.1 - 6按照新的月利率r = 0.0051計(jì)算, 他的月還款是1825.86. 如果他不還5萬元, 繼續(xù)還105期的話, 他的月還款是 2442.06. 對(duì)Mathematica 有興趣的讀者可以做下面的思考題。綜上所述, 如果我們能應(yīng)用模型(3.1-3到(3.1 - 9的話, 我們可以解決許多相關(guān)的問題. 習(xí)題1. 如果不是等額還款, 例如, 每月先還利息再加還等分的本金 , 數(shù)學(xué)模型將會(huì)怎樣?2. 你當(dāng)前的信用卡欠款余額為12,000美元, 而當(dāng)前

34、的利率為19.9%/年. 利息是按月計(jì)算的. 確定什么樣的月還款p美元才能在a. 2年, 假定不會(huì)有新的信用卡支付. b. 4年, 假定不會(huì)有新的信用卡支付.還清欠款. 現(xiàn)在假定你每月用信用卡支付105美元. 確定什么樣的月還款p美元才能在a. 2年b. 4年 還清欠款. 考試題某人想貸款買房, 他在10年里每月的還款能力x = 3000沒有問題, 已知貸款年利率r = 6%, 貸款年數(shù)N = 10 15年. 請(qǐng)通過數(shù)學(xué)建模的方法回答: 如果N = 10, 請(qǐng)你估算一下他應(yīng)該借(貸款多少? (提示: 如果N = 15, 請(qǐng)你估算一下他應(yīng)該借(貸款多少? (提示: 答案分別約為270220(估算

35、可以是264000 270000, 10年, 355511 (估算可以是36000, 15年, 怎么估算? 用手算做估算是應(yīng)該要求的, 因?yàn)榫_借款為270220, 月還款為3000元; 現(xiàn)在借270000月還款為2997.55元, 少借少還!對(duì)于15年而言, 因?yàn)?.45409 2.5, 1.5/2.5=0.6, 所以0.6600000 = 360000. 精確借款為355511, 月還款為3000元; 現(xiàn)在借360000, 月還款為3037.88元, 多借多還!研究課題1. 甲從一個(gè)借貸公司貸款60000美元, 年利率為1.2%, 25年還清. 假設(shè)是月等額還款(即一月為一期, 問他每月要

36、還多少美元? (答案: 約632美元. 總利息為189600美元.這時(shí)有另一個(gè)借貸公司出來說, 條件沒有變化, 就可以幫你提前2年還清, 只要: 1. 每半個(gè)月交一次還款 = 原來還款的一半, 并沒有增加你的負(fù)擔(dān); 2. 因?yàn)槊堪雮€(gè)月就要給你開一張收據(jù), 文書工作多了, 要求你預(yù)付3個(gè)月的還款.(即 6323 = 1896美元, 而2年的還款總額為15168美元, 1896只是15168的八分之一. 會(huì)有顧客認(rèn)為是合算的! 試問這另一個(gè)借貸公司會(huì)賠錢(慈善機(jī)構(gòu)!還是仍然可以賺錢?把原來的一期(一個(gè)月拆分為相等的兩期, 從而x替換成 x/2, r替換成 r/2 確實(shí)能夠提前還清嗎? 如果是, 能

37、提前多少時(shí)間還清? 把原來的一期(一個(gè)月拆分為相等的m期, 從而x替換成 x/m, r替換成 r/m 還能提前還清嗎? m趨于 時(shí)將會(huì)怎樣? pp 149 155, 洛必大(LHospital 或LHôpital法則, · 型極限.2. 為什么同樣的借貸利率，總還款(總利息有不同呢?請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的1998年12月30日金陵晚報(bào)的報(bào)道: “一筆總額為 13. 5 萬元的個(gè)人住房組合貸款, 在兩家銀行算出了兩種還款結(jié)果,而差額高達(dá)萬元以上, 這讓首次向銀行借款的江蘇某進(jìn)出口公司程姓夫婦傷透了腦筋. 據(jù)介紹, 小程打算貸8萬元公積金貸款和5.5萬元商業(yè)性貸款, 他分別前往省建行

38、直屬支行和市建行房地產(chǎn)信貸部咨詢, 其結(jié)果是, 這 13. 5 萬元貸款, 分 15 年還清, 在利率相同的情況下省建行每月要求還本付息1175. 46元（其中公積金貸款660. 88元, 商業(yè)性貸款514. 58元）, 而市建行每月要求還1116. 415元（其中公積金貸款634. 56元，商業(yè)性貸款481. 855元）. 按貸款 180 個(gè)月一算, 省建行的貸款比在市建行貸款要多10628. 1元. 但兩家銀行均稱, 結(jié)果不一樣純屬正常. 有關(guān)行家向記者解釋說, 省建行雖然也是等額還款, 但實(shí)行的是先還息后還本原則, 用行話說就是按月結(jié)息, 每月還本還息不等, 但每月總額一樣. 舉個(gè)簡(jiǎn)單的

39、例子, 若每月等額還款1,000元, 第一個(gè)月還本息分別為100元、900元，而第二個(gè)月還本息分別變?yōu)?00元、800元, 依此類推. 而市建行實(shí)行的是較便于市民理解的等本、等息、等額還款法. 為不讓市民首期還款時(shí)面對(duì)巨額利息為難, 該行取了一個(gè)利息平均值, 平攤到每個(gè)月中. 上述兩種算法都是人民銀行許可的. 值得一提的是, 小程夫婦的麻煩已引起了央行的重視, 為規(guī)范個(gè)人住房貸款計(jì)息辦法, 央行重新明確了個(gè)人住房貸款的利息計(jì)算方法. 從1999年1月1日起, 除保留每月等額本息償還法外, 又推出了利隨本清的等本不等息遞減還款法公式是：每月還款額=(貸款本金÷貸款期月數(shù)(本金 已還本金

40、累計(jì)額×月利率. 同一筆貸款按這兩種方法計(jì)算還款, 償還總金額相同.”請(qǐng)回答下面的問題: 1.省建行的“每月等額本息償還法（先還息后還本原則）”中的每月還款額是怎樣算出來的? 2.央行推出的“利隨本清等本不等息償還法”的每月還款額是怎樣算出來的? 并用市建行的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算. 3.市建行的“等本、等息、等額還款法”是怎樣得到的?4.試分析這三種算法的不同之處及利弊.在養(yǎng)老保險(xiǎn)、理財(cái)?shù)葐栴}中有許多類似的問題. 在 pp 291 295 “第三節(jié) 一階線性微分方程”插入以下例子再論抵押貸款 連續(xù)模型(微分方程模型和離散模型的關(guān)系我們還是以房貸為例來說明問題, 假設(shè)一開始的投資(或借款本金總

41、額記為, 單位時(shí)間的利率記為r%, 只不過這時(shí)假設(shè)時(shí)間是連續(xù)的, 也就是說, 要把 n個(gè)單位時(shí)間后所欠金額記為改為t > 0 時(shí)刻所欠金額. 我們來建立模型, 先不考慮等額還款. 在時(shí)間區(qū)間 上, 時(shí)刻所欠金額為, 時(shí)刻所欠金額為, 因此在區(qū)間 里所欠金額的增加為 , 應(yīng)該有或如果的長度越來越小, 并趨于零時(shí), 即時(shí), 就得到下列連續(xù)模型(微分方程模型它的解為 如果設(shè)單位時(shí)間的長度為1, 等于個(gè)單位時(shí)間, 即 , 從而有如果 比較小, 則可以認(rèn)為有一次近似式或由 pp.141149 “第六節(jié) 泰勒(Taylor公式”, 特別是 p.142的 (5在和之間.若,則有如果 比較小, 則可以認(rèn)

42、為有一次近似式現(xiàn)在來考慮等額還款, 即單位時(shí)間里還固定的金額 , 于是模型變成令 , 就得到 (3.1 - 11由兩邊乘 , 即從 0 到 t 積分就得到當(dāng) 時(shí), 再利用 的一次近似就得到若，則連續(xù)模型中相應(yīng)的公式分別為, 為求的, 需要求解下面的代數(shù)方程式現(xiàn)在我們以1中例3的數(shù)據(jù)來計(jì)算之，即 = 220000, = 120, r = 0.0042, = 2338. 我們以計(jì)算r 為例Cleara0,n,r,xga0_,n_,r_,x_:=a0 r Expn r-x Expn r+xga0,n,r,xa0=220000;n=120;x=2338;Plotga0,n,r,x,r,0,0.01Fi

43、ndRootga0,n,r,x =0,r,0.0042r0.00423133.r 差約為 0.00003133.由 r = 0.00423133; 得到2338.其他留作習(xí)題. 所以, 在經(jīng)濟(jì)、管理類專業(yè)的課程中一定要學(xué)習(xí)這些連續(xù)模型(微分方程模型. 熟練掌握一階線性方程對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說也是很重要的. Banach空間中的抽象微分方程. 總結(jié)性習(xí)題和研究課題：從各種資料(圖書、雜志甚至網(wǎng)上的有關(guān)文章中尋找在一定簡(jiǎn)化層次上以 (*為數(shù)學(xué)模型的實(shí)際問題, 其中, 為實(shí)常數(shù),可正、可負(fù)、可零. 1. 分析其簡(jiǎn)化假設(shè)，模型的合理性，是否可以改進(jìn)。2. (* 可以有多少種解法？3. 如果, 是的函

44、數(shù)怎么求解？證明其解為2. 易拉罐問題 一個(gè)想法改變了可口可樂易拉罐的形狀在 pp. 166 176 “第九節(jié) 函數(shù)的極值與最大、最小值”中, 把“二、最大值與最小值問題”改為“二、最優(yōu)化問題”，并插入“例? 易拉罐問題”. 讓學(xué)生做一點(diǎn)測(cè)量.簡(jiǎn)化假設(shè):易拉罐用材的體積與其表面積成正比簡(jiǎn)化模型 1分析和假設(shè)：首先把飲料罐近似看成一個(gè)直圓柱體是有一定合理性的. 要求飲料罐內(nèi)體積一定時(shí), 求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比. 實(shí)際上, 用幾何語言來表述就是: 體積給定的直圓柱體, 其表面積最小的尺寸 (半徑和高為多少? 表面積用 S 表示, 體積用 V 表示, 則有于

45、是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：其中 S 是目標(biāo)函數(shù),是約束條件. V 是已知的(即罐內(nèi)體積一定, 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h.如果考慮材料厚度的話, 并假設(shè)所用材料與罐的表面積成正比, 那么其中心斷面的圖形如下:F=AbsoluteThickness1,Line-3.2,12.4,-3.2,0,3.2,0,3.2,12.4,-3.2,12.4,-3,12.2,-3,0.2,3,0.2,3,12.2,-3,12.2mygrapg = ShowGraphicsF,AxesLabel->x,y,AspectRatio->Automatic, PlotRange-

46、>-1,12.9F=AbsoluteThickness1,Line-3,0.2,-3,0,3,0,3,0.2,3.2,0.2,3.2,12.2,3,12.2,3,12.4,-3,12.4,-3,12.2,-3.2,12.2,-3.2,0.2,-3,0.2,-3,0,3,0,3,0.2,3,12.2,-3,12.2,-3,0.2,3,0.2mygrapg = ShowGraphicsF,AxesLabel->x,y,AspectRatio->Automatic, PlotRange->-1,12.9 把 代入 , 得到求駐點(diǎn)(臨界點(diǎn),critical point又由于,

47、.所以再次由 pp.141149 “第六節(jié) 泰勒(Taylor公式”, 特別是 p.142的 (5知道是一個(gè)局部極小值點(diǎn). 實(shí)際上,它也是全局最小值點(diǎn), 因?yàn)榕R界點(diǎn)是唯一的. 最小面積為有沒有直徑等于高的易拉罐嗎？沒有!簡(jiǎn)化模型 2分析和假設(shè)：用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因?yàn)橐箘爬? 假設(shè)除易拉罐的頂、底蓋外, 罐的厚度相同, 記作, 頂、底蓋的厚度相同為 . 想象一下, 硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上(前面的. 因此, 我們可以進(jìn)行如下的數(shù)學(xué)建模. 這時(shí)必須考慮所用材料的體積. F=AbsoluteThickness1,Line-3.2,0,3.2,0,3.2,1

48、2.8,-3.2,12.8,-3.2,0,3.2,0,3,0.4,3,12.4,-3,12.4,-3,0.4,3,0.4mygrapg = ShowGraphicsF,AxesLabel->x,y, AspectRatio->Automatic, PlotRange->-1,12.9 明確變量和參數(shù)：設(shè)飲料罐的半徑為 r（因此，直徑為 d = 2r）, 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂、底蓋外(即側(cè)面體積的材料的厚度. 其中 r, h 是自變量, 所用材料的體積 SV 是因變量, 而 b 和 V 是固定參數(shù), 是待定參數(shù). 飲料罐側(cè)面所用材料的體積為飲料罐頂蓋所用

49、材料的體積為 飲料罐底部所用材料的體積為 所以, SV 和 V 分別為, 因?yàn)?b << r, 所以帶 的項(xiàng)可以忽略(極其重要的合理假設(shè)或簡(jiǎn)化, 為什么?. 因此記 . 于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件, V 是已知的(即罐內(nèi)體積一定, 即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的 r, h 和 使得 r, h 和測(cè)量結(jié)果吻合. 這是一個(gè)求條件極值的問題. 模型的求解：一種解法(從約束中解出一個(gè)變量，化約束(條件極值問題為求一元函數(shù)的無約束(無條件極值問題從 解出 ,代入 S, 使原問題化為：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使最小. 求臨

50、界點(diǎn): 令其導(dǎo)數(shù)為零得解得臨界點(diǎn)為 , 因此測(cè)量數(shù)據(jù)大致為h/r=2, 即相當(dāng)于, 即頂、底蓋的厚度是其他材料厚度的2倍. 為驗(yàn)證這個(gè) r 確實(shí)使 S 達(dá)到極小。計(jì)算 S 的二階導(dǎo)數(shù)所以, 這個(gè) r 確實(shí)使 S 達(dá)到局部極小, 因?yàn)榕R界點(diǎn)只有一個(gè), 因此也是全局極小. 習(xí)題(或思考題: 如果不忽略高級(jí)無窮小量，結(jié)果將會(huì)怎樣?代入 h 的表達(dá)式, (死算得到解得同樣的結(jié)果！在求區(qū)間上分段光滑函數(shù)的最大值問題時(shí)，有的教材, 例如Frederick R. Adler (Department of Mathematics and Department of Biology, University of

51、 UtahModeling the Dynamics of Life Calculus and Probability for life scientists, Brooks/Cole Publishing Company, 1998. (該書2005年出了第2版提出了連續(xù)函數(shù)求最大、最小的如下算法：p. 200, Algorithm 3.1(Finding global maxima and minima1. Compute the value of the function at the endpoints and anywhere the function is not differen

52、tiable. 計(jì)算函數(shù)在端點(diǎn)和不可微點(diǎn)處的值.2. Find all critical points. 求全部臨界點(diǎn).3. Compute the value of the function at all critical points. 計(jì)算所有臨界點(diǎn)處的值.4. The largest of the numbers found in step 1 and 3 is the global maximum. The smallest of the numbers found in step 1 and 3 is the global minimum. 第1、3步求得的最大(小值就是該連續(xù)函數(shù)

53、的整體(全局 最大(小值.p. 202, Algorithm 3.2(Finding local maxima and minima with the second derivative1. Find all critical points.2. Compute the sign of the secong derivative at all critical points.3. Critical points where the second derivative is positive correspond to local minima, and critical points wher

54、e the second derivative is negative correspond to local maxima. 這就可能引起我們對(duì)如下問題的思考:什么是算法? 算法為什么重要? 上述算法在實(shí)際中都是可行的嗎? 值得向同學(xué)介紹. 算法(algorithm 定義計(jì)算過程的一組詳細(xì)指令(從而這個(gè)過程也稱為算法(algorithmic過程, 它開始于(給定的算法的一定數(shù)量的可能輸入中的一個(gè)任意輸入(input, 而且其目的在于得到一個(gè)完全由輸入和指令決定的結(jié)果(result(或輸出(output. 數(shù)學(xué)百科全書, 卷1, 科學(xué)出版社1994, pp. 119 121.簡(jiǎn)化模型 3易拉罐

55、可以簡(jiǎn)化為圓臺(tái)加圓柱形罐(黏接長度短一些, 就降低成本了! 我們假設(shè)圓臺(tái)部分是個(gè)直圓臺(tái), 實(shí)際上, 它也可能是某個(gè)曲線段(例如, 雙曲線的一段繞中軸線旋轉(zhuǎn)而得的圓臺(tái).假設(shè)所用材料與罐內(nèi)的表面積成正比,即,各部分的材料體積與該部分的面積成正比來近似制罐材料的體積，見下圖(該圖比較夸張!由普通的數(shù)學(xué)手冊(cè)可以查得：直角梯形繞其垂直底邊的腰旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體稱為圓臺(tái).對(duì)于上為圓臺(tái)下為圓柱體的立體.設(shè)圓臺(tái)上底半徑為 r, 下底半徑為 R, 高為 b, 圓柱體部分的高為 h, 則有圓臺(tái)的體積 = 圓臺(tái)的側(cè)面積 = 上為圓臺(tái)下為圓柱體的立體(簡(jiǎn)稱圓臺(tái)加圓柱體的體積 = 實(shí)際上, 在 pp 242 257“第三章 第八節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例”中可以加一個(gè)習(xí)題：求圓臺(tái)的體積和側(cè)面積, 因?yàn)?pp 250 255 “三、平面曲線的弧長”已經(jīng)有.圓臺(tái)加圓柱體的表面積 = 底半徑為 R, 高為 H 的圓柱體的體積 = 用定積分可以計(jì)算平面曲線 y = y(x 繞 x 旋轉(zhuǎn)所得立體的體積和表面積也可以得到上述公式. 底半徑為 R, 高為 H 的圓柱體的表面積 = 圓柱體的上底往里縮小一點(diǎn),如果表面積比同體積的圓柱體小,那么黏結(jié)費(fèi)用就可能省一點(diǎn),就提高了效益! 是這樣嗎? 算一下!現(xiàn)在 過點(diǎn)的直線方程為所以圓臺(tái)的體積為圓臺(tái)加圓柱體的體積 = 由圓臺(tái)加圓柱體