1、第四章第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 一般方法:已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度,求的概率密度. 記 , , . 下面給出二維連續(xù)型隨機(jī)變量的幾個(gè)具體的函數(shù)的分布的求解方法.一、 Z=X+Y的分布 實(shí)例:一電路中,兩電阻和串聯(lián)聯(lián)接,則總電阻.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為. 對(duì)任意實(shí)數(shù),記 , , 上式表明: Z=X+Y 的分布是連續(xù)分布,概率密度 . 此積分的計(jì)算方法:有向直線:,沿直線,增加方向;即參數(shù)方程,. 第二類曲線積分;所以 . (第二類曲線積分及計(jì)算方法: 曲線的方程, )如果X與Y獨(dú)立,此時(shí),右端的積分稱為函數(shù)與的卷積,記為,即.二、的分布實(shí)際例題

2、:一電子器件由兩個(gè)部件并聯(lián)組成,兩個(gè)部件的壽命分別為X和Y,則器件的壽命為. 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,分布函數(shù)為.對(duì)任意實(shí)數(shù),由于所以的分布函數(shù) ,(求有兩種算法 , )的概率密度 .如果X與Y獨(dú)立,此時(shí), .上述結(jié)果不難推廣到個(gè)隨機(jī)變量的情形.設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,的概率密度為,分布函數(shù)為, .則的分布函數(shù)為 ;特別地, 當(dāng)相互獨(dú)立,且具有相同的概率分布(概率密度為,分布函數(shù)為, )時(shí), .三、的分布實(shí)際例題:一個(gè)系統(tǒng)由兩個(gè)部件串聯(lián)組成,兩個(gè)部件的壽命分別為X和Y,則系統(tǒng)的壽命為 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,分布函數(shù)為.求隨機(jī)變量分布函數(shù)和概率密度. , ;(有

3、兩種計(jì)算方法)如果X與Y獨(dú)立,此時(shí) .上述結(jié)果不難推廣到個(gè)隨機(jī)變量的情形.設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,的概率密度為,分布函數(shù)為, .則的分布函數(shù)為;特別地, 當(dāng)相互獨(dú)立,且具有相同的概率分布(概率密度為,分布函數(shù)為, )時(shí), .計(jì)算題舉例例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,試求Z=X+Y 的概率密度. 解(I)首先畫(huà)出使的區(qū)域D,(II)公式 , ,(1) 當(dāng)或時(shí),直線AB與D不相交,在直線AB上, ,所以;(2)當(dāng)時(shí), ;(3)當(dāng)時(shí), ;(4) 當(dāng)時(shí), ;即得Z=X+Y 的概率密度 .例2 設(shè),且與相互獨(dú)立,求的概率密度.解 根據(jù)題設(shè)條件知, 的概率密度為, ,的概率密度為 ,的概率密度

4、為 ,即 .我們已有結(jié)果:設(shè),則,;結(jié)合前面的結(jié)果,我們得到設(shè),且與相互獨(dú)立,則,; .這個(gè)結(jié)論可推廣到一般正態(tài)分布的線性函數(shù).可以證明如下定理 定理 設(shè) ,且相互獨(dú)立,為不全為零的常數(shù),為常數(shù). (這個(gè)結(jié)果要求記著,并會(huì)用)例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,(1) 求分布函數(shù),邊沿分布函數(shù);(2) 求的概率密度;(3) 求的概率密度.解 (1) , (畫(huà)出各種情形的積分區(qū)域,結(jié)合被積函數(shù)不為零的范圍,定出有效積分限). () 當(dāng)或時(shí), () 當(dāng),時(shí), , ()當(dāng), 時(shí), ,()當(dāng), 時(shí), ,()當(dāng)時(shí), ,所以; ;(2) , (注意取值,僅取直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)上的值,直線不經(jīng)過(guò)的點(diǎn)取不到)

5、故 (3) , , ,故.(2),(3)的另一種解法(2) (注意有效積分區(qū)域及變化) (i)當(dāng)時(shí), ; (ii)當(dāng)時(shí), ,(iii) 當(dāng)時(shí), (iv) 當(dāng)時(shí), ,即得 ,故 (3) ,(I) 當(dāng)時(shí), ,(II) 當(dāng)時(shí), ,(III) 當(dāng)時(shí),即 ,故.例5 P125，習(xí)題28設(shè)某系統(tǒng)LK由三個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)組成，子系統(tǒng)的壽命的概率密度為 , ，試求系統(tǒng)LK的壽命X的概率密度（注：子系統(tǒng)3為備用，即當(dāng)子系統(tǒng)1，2均失效時(shí)，子系統(tǒng)3將自動(dòng)接通繼續(xù)工作）。解 根據(jù)題意，相互獨(dú)立.令 , 則系統(tǒng)LK的壽命， 子系統(tǒng)的壽命的分布函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為，的概率密度為 ，的概率密度為 ，與相互獨(dú)立，的概率密度為，的概率密度，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，故. 例6