1、*大學(xué)*專業(yè)數(shù)學(xué)史論文函數(shù)概念的發(fā)展 姓名：* 學(xué)號：* 專業(yè)：* 班級：* 老師：*函數(shù)概念的發(fā)展姓名：*學(xué)號：*（*大學(xué) *學(xué)院 *專業(yè)*級*班 ）摘要：函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)最重要的概念之一，它幾乎滲透到每一個數(shù)學(xué)分支，因此考察函數(shù)概念的發(fā)展歷史及其演變過程，無疑有助于我們更深刻、更全面地理解函數(shù)的本質(zhì)，并且從中得到有益的方法論啟示。本文主要論述了函數(shù)的三種定義：變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說，以及函數(shù)的演變歷史，說明函數(shù)概念的歷史映射了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史。關(guān)鍵詞：函數(shù)概念；變量說；對應(yīng)說；關(guān)系說；發(fā)展史一、早期的函數(shù)概念變量說馬克思曾認(rèn)為，函數(shù)概念是源于代數(shù)中自羅馬時代就已經(jīng)開始的不定方程的研究，那

2、時，偉大的數(shù)學(xué)家丟番圖對不定方程的研究已有相當(dāng)程度，據(jù)此，可以認(rèn)為函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽。實際上作為變量和函數(shù)的樸素概念，幾乎和數(shù)學(xué)源于同一時期，因為數(shù)學(xué)家在研究物體的大小及位置關(guān)系時，自然會導(dǎo)致通常稱為函數(shù)關(guān)系的那種從屬關(guān)系。但是，真正導(dǎo)致函數(shù)概念得以迅速發(fā)展則是在16世紀(jì)以后，特別是由于微積分的建立，伴隨這一學(xué)科的產(chǎn)生、發(fā)展和完善，函數(shù)概念也經(jīng)歷了產(chǎn)生、發(fā)展和完善的演變過程。十七世紀(jì)伽俐略(ggalileo，意，15641642)在兩門新科學(xué)一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(descartes，法，15961

3、650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念。到了17 世紀(jì)，牛頓在創(chuàng)立微積分的過程中一直用“流量”一詞來表示變量之間的依賴關(guān)系，并且從運動的角度，把曲線看成是動點的軌跡。他在求曲邊形的面積中說：“我認(rèn)為這里的數(shù)學(xué)量，不是由小塊合成的，而是由連續(xù)運動描出的，線(曲線)是描畫出來的，因而它的產(chǎn)生不是由于湊零為整，而是由于點的連續(xù)運動”格雷果里在他的論文論圓和雙曲線的求積中，給出函數(shù)這一模式的素樸描述，他定義函數(shù)是從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運算而得到的量，或者是經(jīng)過任何其它可以想象到的運算而得到的。據(jù)他自己解釋，這里的“可以想

4、象到的運算，除了加、減、乘、除和開方外，還有極限運算。格雷果里給出的是函數(shù)的解析定義，由于此后不久就證明這一定義太狹窄，也就逐漸被人們遺忘。"函數(shù)"作為數(shù)學(xué)術(shù)語是由微積分的另一位創(chuàng)立者萊布尼茲于1673年引進(jìn)的,他用"函數(shù)"一詞表示任一個隨著曲線上的點變動的量,并指出:"象曲線上點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等,所有與曲線上的點有關(guān)的量稱為函數(shù)."除此以外,他還引進(jìn)了“常量”、“變量”和“參變量”等概念,一直沿用到現(xiàn)在,這個定義僅是在幾何范圍內(nèi)揭示某些量之問所存在的依賴關(guān)系,并無給出函數(shù)的解析定義,因此,萊布尼茲所給出的函

5、數(shù)的定義可看成是“函數(shù)概念的幾何起源"?？傊?，到了17 世紀(jì)末，人們還沒有從普遍意義上對函數(shù)這一概念的本質(zhì)認(rèn)識清楚。二、函數(shù)概念的發(fā)展階段對應(yīng)說正如所知,微積分是一門研究變量和函數(shù)的學(xué)科。盡管牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但由于他們對包括函數(shù)在內(nèi)的一些基本概念，特別是對微積分賴以建立的基礎(chǔ)一無窮小量的認(rèn)識含混不清，出現(xiàn)了運算過程中的邏輯矛盾，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)發(fā)展史上所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從而促使了數(shù)學(xué)家進(jìn)一步尋找微積分可靠的基礎(chǔ)，在這艱苦的探索過程中，函數(shù)自然也就成為數(shù)學(xué)家必須研究的對象。第一個在萊布尼茲工作的基礎(chǔ)上作出函數(shù)概念推廣的是約翰·貝努里。1718年約翰·貝努利

6、(bernoullijohann，瑞，16671748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。18世紀(jì)中葉歐拉(leuler，瑞，17071783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理

7、數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。除此之外，歐拉還規(guī)定一個給定的函數(shù)在它的整個“定義域”內(nèi)是由同樣一個“解析表達(dá)式"來描述的，這種觀點在數(shù)學(xué)家拉格朗日的著作中也有所體現(xiàn),如在他的名著解析函數(shù)論中,他把函數(shù)定義為在其中可以按任何形式出現(xiàn)并對計算有用的表達(dá)式。他在函數(shù)計算教程中說：“函數(shù)代表著要得到未知量的值而對已知量要完成的那些不同運算，未知量的值本質(zhì)上只是計算的最終結(jié)果。也就是說，函數(shù)是運算的一個組合。”盡管后來由于歐拉、達(dá)朗貝爾和丹尼爾·貝努里在偏微分方程的

8、研究中發(fā)現(xiàn)：整條曲線并不能用一個方程來表示，這迫使數(shù)學(xué)家修正函數(shù)的概念，但到了18 世紀(jì)，甚至19 世紀(jì)初，函數(shù)由一個解析式給出的觀點仍然占統(tǒng)治地位，并認(rèn)為連續(xù)曲線給出的連續(xù)函數(shù)一定能由一個解析表達(dá)式表示，由不連續(xù)的曲線或折線所表示的函數(shù)不可能由一個解析式表示。由于受到多項式函數(shù)的影響，即若對于n+ 1個x的值多項式與都相等，則這兩個多項式相等。人們普遍認(rèn)為，對區(qū)間上的一切值，恒有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)是完全相同的，而對以外的x值，這兩個函數(shù)的值也相等。與此類似，由于受到三角函數(shù)特性的影響，許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，只有周期性的曲線才能用周期函數(shù)來表示。在這一時期，既沒有得到任何廣泛采用的定義，也沒有解決

9、什么樣的函數(shù)可用三角級數(shù)來表示，所有這些表明，函數(shù)的概念還有待于繼續(xù)發(fā)展。三、十九世紀(jì)的函數(shù)概念關(guān)系說1800年前后，數(shù)學(xué)家開始關(guān)心分析的嚴(yán)密化問題，函數(shù)概念自然也成為嚴(yán)密化的對象。具體地表現(xiàn)在兩個方面：一方面對原來有關(guān)函數(shù)的錯誤看法和片面的觀點進(jìn)行橙清糾正；另一方面繼續(xù)探討函數(shù)概念的本質(zhì)，建立含義更廣泛的函數(shù)概念第一個沖破用解析式給出函數(shù)的觀點是拉克魯瓦，他在1797 年給出的函數(shù)的定義是：每一個量，如果它依賴一個或幾個別的量，不管人們知道不知道用何種必要的運算可以得到前者，就稱前者為這個或這些量的函數(shù)。拉克魯瓦還以五次方程的根是系數(shù)的函數(shù)為例給出相應(yīng)的說明，這無疑對函數(shù)的概念又作出一次擴(kuò)展

10、。在這一時期，傅里葉對函數(shù)概念的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，盡管他也支持用解析式給出函數(shù)的觀點，但他更深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)。1822年傅里(fourier，法，17681830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識又推進(jìn)了一個新的層次。1823年柯西(cauchy，法，17891857)從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，指出“人們把依次取許多互不相同的值的量叫做變量。當(dāng)變量之網(wǎng)這樣聯(lián)系起來的時候，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表示的，這時這個量就

11、取名為自變量，而由這自變量表示的其它的量就叫做這個自變量的函數(shù)?！彼瑫r還指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式，不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。1837年，杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷(dirichlet，德，18051859)突破了這一限制，他給出函數(shù)數(shù)的定義是：若對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，不管建立起的這種對應(yīng)方式如何，都稱y是x的函數(shù)。由這個定義不難看出，狄利克雷是用對應(yīng)的觀點給出函數(shù)定義的，至于自變量之間的連接方式如何，即y是按照一種或多種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運算表示，這是無關(guān)緊要的。并

12、且他還構(gòu)造一個以他自己名字命名的著名的狄利克雷函數(shù) a x為有理數(shù)f(x)= a、b為不同的常數(shù) bx為無理數(shù)上述對應(yīng)的思想是數(shù)學(xué)開始由過去研究的“算”到以后研究“觀念”性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變的標(biāo)志，具有重要的理論意義。隨后的斯鐸克斯、羅巴切夫斯基、黎曼等都分別給出了函數(shù)的定義。例如，黎曼于1851 年給出這樣一個定義：我們假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。若對它的每個值都有未定量w的唯一的一個值與之對應(yīng)，則w稱為y的函數(shù).黎曼指出，這個定義完全沒有規(guī)定在單個的函數(shù)值之間存在一種規(guī)律，此時，如果函數(shù)在某個區(qū)問已有定義，它在該區(qū)問外的延拓方式是完全任意的，人們所定義的量w對量z的依賴關(guān)系

13、是任意給定的或是由量的某種運算所確定并沒有什么差異。在分析嚴(yán)格化的過程中，集合論的思想逐漸形成。皮亞諾發(fā)展了無窮悖論標(biāo)志他第一個朝著建立集合的明確理論的方向邁出積極步伐的人。戴德金于1887 年給出了這樣一個定義：系統(tǒng)S上的一個映射蘊含了一種規(guī)則，按照這種規(guī)則，S 中的每一個確定的元素都對應(yīng)著一個確定的對象，它稱為S的映像,記作,我們可以說，中對應(yīng)于元素S，由映射中作用于s而產(chǎn)生或?qū)С觯瑂經(jīng)映射變換成。這里至于系統(tǒng)s的對象是什么，并無限制。這是函數(shù)概念的一次極大擴(kuò)充，最終給出完善的現(xiàn)代函數(shù)定義的是法國的布爾巴基學(xué)派，定義如下：設(shè)E 和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E 中的一個變元x和

14、F中的變元y 之問的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對每一個xE，都存在唯一的yF，,它滿足與x的給定關(guān)系。我們稱這樣的運算為函數(shù)，它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素yF 與每一個元素xE相聯(lián)系，我們稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)由給定的關(guān)系所確定，兩個等價的函數(shù)關(guān)系確定同一個函數(shù)。等到康托爾 (cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(veblen，美，18801960)用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。就這樣，函數(shù)概念從變量說發(fā)展到對應(yīng)說，又從對應(yīng)說進(jìn)一步完善到現(xiàn)在的關(guān)系說，這就是函數(shù)概念的整個歷史發(fā)展過程。結(jié)束語函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)最重要的概念之一。從函數(shù)的演變歷史，我們可以看到函數(shù)概