1、非線性物理3-2講解 同步（同步（Syncronazation）與鎖模（）與鎖模（Mode-locking）是指兩個或數(shù)）是指兩個或數(shù)個振子間的同步振動現(xiàn)象。早在個振子間的同步振動現(xiàn)象。早在17世紀，荷蘭物理學家惠更斯就發(fā)現(xiàn)世紀，荷蘭物理學家惠更斯就發(fā)現(xiàn)兩個懸掛在木板墻上的掛鐘當靠得較近時會發(fā)生同步擺動現(xiàn)象。后來兩個懸掛在木板墻上的掛鐘當靠得較近時會發(fā)生同步擺動現(xiàn)象。后來瑞利也發(fā)現(xiàn)當兩根風琴管在靠得較近時發(fā)出的音調趨于一致，離得較瑞利也發(fā)現(xiàn)當兩根風琴管在靠得較近時發(fā)出的音調趨于一致，離得較遠時則發(fā)生差拍現(xiàn)象。遠時則發(fā)生差拍現(xiàn)象。 線性振子線性振子 振動方程：振動方程： 三個特征量：振幅三個特征

2、量：振幅A、頻率、頻率與相位與相位，頻率是固有的，振幅與，頻率是固有的，振幅與相位決定于初始條件。相位決定于初始條件。 非線性振子非線性振子，如范德玻耳振子，杜芬振子等，如范德玻耳振子，杜芬振子等. . 三個特征量：振幅、頻率與相位都三個特征量：振幅、頻率與相位都與系統(tǒng)緊密相關與系統(tǒng)緊密相關的，并且最終達的，并且最終達到的振動狀態(tài)到的振動狀態(tài)與初始條件與初始條件無關。無關。 )+tsin(Ax 同步與鎖模的概念同步與鎖模的概念 1. 同步與鎖模同步與鎖模 如果兩個非線性振子間發(fā)如果兩個非線性振子間發(fā)生耦合，就會發(fā)生：生耦合，就會發(fā)生： 一個振子的狀態(tài)依賴于另一一個振子的狀態(tài)依賴于另一個振子的振

3、幅個振子的振幅； 或者或者 一個振子的振動頻率鎖定在一個振子的振動頻率鎖定在另一個振子的振動頻率另一個振子的振動頻率上上； 或者或者 兩個振子同步地以一個共同兩個振子同步地以一個共同的頻率振動的頻率振動。 同步與鎖模的概念同步與鎖模的概念 1. 同步與鎖模同步與鎖模 設設1 1與與2 2為兩個振子固有頻率，為兩個振子固有頻率，P與與Q互為質整數(shù)，當改變系統(tǒng)參數(shù)使：互為質整數(shù)，當改變系統(tǒng)參數(shù)使： 或或說明一個振子與另一振子出現(xiàn)了同步，稱為鎖模，也稱鎖相說明一個振子與另一振子出現(xiàn)了同步，稱為鎖模，也稱鎖相(Phase-locking)或鎖頻或鎖頻(Frequency-locking)。 同步與鎖模

4、是存在同步與鎖模是存在耦合的多個耦合的多個非線性振動系統(tǒng)的固有特性。因此非線性振動系統(tǒng)的固有特性。因此鎖模有一鎖模有一定的范圍，范圍大小與兩個振子間的耦合強度有關定的范圍，范圍大小與兩個振子間的耦合強度有關。 如果耦合很弱，鎖模范圍很小，兩個振子基本上在獨立振動，大多數(shù)振如果耦合很弱，鎖模范圍很小，兩個振子基本上在獨立振動，大多數(shù)振動頻率運動是非鎖模的，它們處于動頻率運動是非鎖模的，它們處于準周期準周期（Qusi-priodicity，或稱擬周期），或稱擬周期）運動狀態(tài)。運動狀態(tài)。 隨著耦合的增強，鎖模范圍增大，兩振子的振動便密切相關，發(fā)生鎖模，隨著耦合的增強，鎖模范圍增大，兩振子的振動便密切

5、相關，發(fā)生鎖模，當耦合強度達到某個閾值之后便可能進入混沌狀態(tài)。這是與倍周期分岔或陣當耦合強度達到某個閾值之后便可能進入混沌狀態(tài)。這是與倍周期分岔或陣發(fā)性混沌不同的的進入混沌的道路，稱為發(fā)性混沌不同的的進入混沌的道路，稱為。 同步與鎖模的概念同步與鎖模的概念 21QP有理數(shù)12/QP1. 同步與鎖模同步與鎖模 討論一個簡單的雙振子耦合模型：水桶的滴水實驗，討論一個簡單的雙振子耦合模型：水桶的滴水實驗，以建立耦合振子進入混沌的數(shù)學模型：以建立耦合振子進入混沌的數(shù)學模型：標準映射標準映射。 一只水桶通過一根彈簧懸掛到天花板上，桶底有一一只水桶通過一根彈簧懸掛到天花板上，桶底有一小孔向下滴水。實驗中采

6、取措施不斷補充進水，以保小孔向下滴水。實驗中采取措施不斷補充進水，以保證總水量保持恒定不變。證總水量保持恒定不變。 受重力與表面張力共同作用，當水滴的質量達到表受重力與表面張力共同作用，當水滴的質量達到表面張力不能再支持的某個臨界值面張力不能再支持的某個臨界值 m*時，水滴便脫離時，水滴便脫離桶底滴落下來。接著在小孔處又形成新水滴，從零質桶底滴落下來。接著在小孔處又形成新水滴，從零質量開始隨時間線性增長直至脫落。量開始隨時間線性增長直至脫落。 當水桶不用彈簧而用繩子懸掛起來時，落下的每個當水桶不用彈簧而用繩子懸掛起來時，落下的每個水滴質量應相等。兩水滴之間的滴落時間間隔為一個水滴質量應相等。兩

7、水滴之間的滴落時間間隔為一個水滴的形成時間水滴的形成時間，即：，即：m*/C 水桶滴水實驗水桶滴水實驗 1. 同步與鎖模同步與鎖模 當當水桶用彈簧懸掛起來，是一個彈簧振子。水水桶用彈簧懸掛起來，是一個彈簧振子。水桶的振動周期桶的振動周期 T 由水桶質量與彈簧勁度決定。由水桶質量與彈簧勁度決定。 當水滴從桶底脫落時，對水桶有一反沖從而當水滴從桶底脫落時，對水桶有一反沖從而引起水桶上下振動，振動的水桶反過來又影響水引起水桶上下振動，振動的水桶反過來又影響水滴形成。小孔滴水與水桶振動是滴形成。小孔滴水與水桶振動是兩個相互耦合的兩個相互耦合的振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)。 振動的水桶對于水滴形成相當于在水滴重量振

8、動的水桶對于水滴形成相當于在水滴重量上附加了一個周期性的慣性力。因此每個落下的上附加了一個周期性的慣性力。因此每個落下的水滴有大有小，不再相等；兩水滴之間的間隔有水滴有大有小，不再相等；兩水滴之間的間隔有長有短，于是水滴的質量要改寫為：長有短，于是水滴的質量要改寫為：式中式中f (t/T)是周期是周期 T 的函數(shù)的函數(shù))/(1 *eqTtfmm水桶滴水實驗水桶滴水實驗 1. 同步與鎖模同步與鎖模 水桶滴水實驗水桶滴水實驗 水桶振動對于水滴水桶振動對于水滴形成相當于在水滴重形成相當于在水滴重量上附加一周期性的量上附加一周期性的慣性力。使落下的水慣性力。使落下的水滴有大有??；兩水滴滴有大有??；兩水

9、滴之間的間隔有長有短。之間的間隔有長有短。 水桶用繩子懸掛起水桶用繩子懸掛起來時，落下的每個水來時，落下的每個水滴質量應相等，兩水滴質量應相等，兩水滴之間的滴落時間間滴之間的滴落時間間隔相同。隔相同。1. 同步與鎖模同步與鎖模 通過通過約化變換約化變換，相繼兩，相繼兩次滴水時的相位關系由水次滴水時的相位關系由水滴脫落時間圖求得。滴脫落時間圖求得。 由時軸由時軸A點出發(fā)的點出發(fā)的45斜線代表水滴質量的線性斜線代表水滴質量的線性增長，紅色曲線代表有效增長，紅色曲線代表有效質量，兩線相交處質量，兩線相交處C點表點表示水滴滴落。此時在水平示水滴滴落。此時在水平軸上的位置為軸上的位置為B點。點。 將將

10、無量綱化，用周期無量綱化，用周期 T 來約化時間來約化時間 t，用用CT來約化質量來約化質量m。于是于是質量的增長率為質量的增長率為 l ，等效臨界質量，等效臨界質量為：為： ， 相當于以相當于以2 2約化的相位。約化的相位。 )/(1 *eqTtfmmeq( /)1( )mTf圓周映射圓周映射1. 同步與鎖模同步與鎖模 t T由圖可給出以下關系：由圖可給出以下關系：其中其中代表代表/T的非整數(shù)部分。的非整數(shù)部分。由于由于ABBC，得歷次滴水時的，得歷次滴水時的相位推遞關系：相位推遞關系：由此可以倒解出：由此可以倒解出： 某整數(shù)1ii1=AB某整數(shù)+)(+=)(+/=BC1+i1+iffTi+

11、1ii+1 f () ii+1(, )圓周映射 這是前后水滴間的相位關系這是前后水滴間的相位關系, , i i 在在 0,1 區(qū)間循環(huán)變化，數(shù)學區(qū)間循環(huán)變化，數(shù)學上是映射，被稱為上是映射，被稱為圓周映射圓周映射(circle map)。1. 同步與鎖模同步與鎖模 2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 圓周映射圓周映射 的特征與迭代函數(shù)的特征與迭代函數(shù) f( ( ) )的細節(jié)關系不太大，可以取為正弦函數(shù)形式：的細節(jié)關系不太大，可以取為正弦函數(shù)形式：這映射叫做這映射叫做標準映射標準映射( (standard map) )，它含有，它含有K，兩個參量。兩個參量。K代表代表非線性耦合的強度，非線性耦合的強度，

12、則代表兩個振動的頻率之比。則代表兩個振動的頻率之比。（1 1）當不考慮標準圓映射中的非線性項時，）當不考慮標準圓映射中的非線性項時，K0，則，則標準圓映射標準圓映射簡簡化為化為線性映射線性映射：（2）由于正弦函數(shù)是非線性的，當由于正弦函數(shù)是非線性的，當K0就是存在非線性時的迭代情況就是存在非線性時的迭代情況ii1+i2sin)2/(Ki1+ii+1ii+1 f () 標準映射標準映射ii1+i2sin)2/(Kiii+1ii0.40.60.4 10.6當時當時標準映射迭代運算標準映射迭代運算i1+i2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 1. K0 線性情況線性情況 先取先取 =2/5=0.4 ，為有理數(shù)

13、，初始，為有理數(shù)，初始值值 0 00.30.3出發(fā)出發(fā), ,得經(jīng)過五次迭代，軌線得經(jīng)過五次迭代，軌線繞了兩圈后回到原處。這是周期解，繞了兩圈后回到原處。這是周期解，反映兩個系統(tǒng)處于同步狀態(tài)。反映兩個系統(tǒng)處于同步狀態(tài)。 再選無理數(shù)再選無理數(shù), ,0.404004，與與0.4很接很接近，但迭代總不能精確地回到原處，近，但迭代總不能精確地回到原處，軌線不會閉合，這是準周期運動。軌線不會閉合，這是準周期運動。 說明在線性情況下無理數(shù)參數(shù)說明在線性情況下無理數(shù)參數(shù) 不使不使兩個系統(tǒng)出現(xiàn)同步現(xiàn)象。兩個系統(tǒng)出現(xiàn)同步現(xiàn)象。 標準映射迭代運算標準映射迭代運算i1+i2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 2. 非線性情況非

14、線性情況 設設K0.95，參數(shù)，參數(shù)為無理數(shù)頻率，為無理數(shù)頻率，0.404004，初始值，初始值00.4，在經(jīng)，在經(jīng)過了五次迭代繞了兩圈以后回到了過了五次迭代繞了兩圈以后回到了出發(fā)點。出發(fā)點。 可見在非線性的情況下，即使參可見在非線性的情況下，即使參數(shù)數(shù)為無理數(shù)頻率也可以實現(xiàn)軌線為無理數(shù)頻率也可以實現(xiàn)軌線閉合，出現(xiàn)了周期解，達到了同步閉合，出現(xiàn)了周期解，達到了同步狀態(tài)。狀態(tài)。 說明非線性可使兩個系統(tǒng)間的同說明非線性可使兩個系統(tǒng)間的同步范圍加寬。步范圍加寬。 iii+1ii0.40.60.4 10.6當時當時標準映射迭代運算ii1+i2sin)2/(K2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 0K阿諾德舌頭非

15、線性情況下出現(xiàn)非線性情況下出現(xiàn)的同步，其鎖定范的同步，其鎖定范圍與參數(shù)圍與參數(shù) K 有關。有關。在在K=0時，鎖模范圍時，鎖模范圍非常小，非常小，W為有理為有理數(shù)的幾率近乎零，數(shù)的幾率近乎零，無理數(shù)的幾率近乎無理數(shù)的幾率近乎1。隨隨K 增加，所有的鎖增加，所有的鎖模頻率范圍都增加。模頻率范圍都增加。2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 在鎖模范圍與在鎖模范圍與K K關系的平面相圖關系的平面相圖( (K K-)-)上，人們形象地稱上，人們形象地稱“鎖模范圍鎖模范圍隨隨K K值增加而增加值增加而增加”為為阿諾德舌頭阿諾德舌頭( (Arnold tongueArnold tongue) )。 引進每次迭代的平

16、均增量以具體地描述兩個不同頻率系統(tǒng)引進每次迭代的平均增量以具體地描述兩個不同頻率系統(tǒng)間的同步：間的同步： 稱稱卷繞數(shù)卷繞數(shù)。在線性情況下，。在線性情況下，W ，兩者同為有理數(shù)或無理數(shù)。，兩者同為有理數(shù)或無理數(shù)。在非線性情況下，若在非線性情況下，若 為無理數(shù)，為無理數(shù)，W可鎖定在與可鎖定在與 接近的有理接近的有理數(shù)。數(shù)。阿諾德舌頭)(1lim=W0nnn2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 在不同頻率比在不同頻率比下，同步范圍寬度不同。大體上，兩個系統(tǒng)的有理下，同步范圍寬度不同。大體上，兩個系統(tǒng)的有理數(shù)頻率之比數(shù)頻率之比=P/Q的分母的分母Q越小，鎖定范圍越寬。在給定越小，鎖定范圍越寬。在給定 K 值下，

17、在值下，在 W - 平面上，以平面上，以全部頻率比相應的同步范圍全部頻率比相應的同步范圍構成一座特殊的樓梯構成一座特殊的樓梯魔梯魔梯(devils staircase) 。魔梯魔梯在全部分式中，除在全部分式中，除1 1以外，分母最小為以外，分母最小為2 2，即即P/Q=1/2P/Q=1/2，同步區(qū)，同步區(qū)域較大；分母次小的域較大；分母次小的為為3 3，因此，因此P/Q=1/3P/Q=1/3、2/32/3的同步范圍雖比的同步范圍雖比1/21/2的要小，但要比的要小，但要比其他頻率比值的同步其他頻率比值的同步范圍要大，依次可以范圍要大，依次可以類推。類推。 2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 如果對圖上某

18、個局部適當放大如果對圖上某個局部適當放大( (計算更細計算更細) )，這個局部與整座樓梯相象；，這個局部與整座樓梯相象；如果再對這局部圖選一小塊進行放大，仍能獲得與整體相象，以致可如果再對這局部圖選一小塊進行放大，仍能獲得與整體相象，以致可以不斷操作下去，即：以不斷操作下去，即：魔梯具有自相似性魔梯具有自相似性。魔梯魔梯2. 魔梯與混沌魔梯與混沌 不同的臺階代表不同的臺階代表不同的鎖模頻率不同的鎖模頻率W W，平臺寬度代表鎖模平臺寬度代表鎖模范圍的大小。由于范圍的大小。由于在一個給定數(shù)值區(qū)在一個給定數(shù)值區(qū)間內有無窮多個無間內有無窮多個無理數(shù)，樓梯就有無理數(shù)，樓梯就有無數(shù)個臺階與平臺。數(shù)個臺階與

19、平臺。在在K-相圖上，相圖上，K1是條臨界線。是條臨界線。 K1.048 隨著驅動力矩逐漸增加，發(fā)生倍周期分岔。分岔從隨著驅動力矩逐漸增加，發(fā)生倍周期分岔。分岔從F=1.04873開始，開始，F(xiàn)=1.04873，1.0645，1.0672，1.0678等處是各級倍周期分岔的分岔等處是各級倍周期分岔的分岔點，最后進入無限長周期的運動狀態(tài)。點，最后進入無限長周期的運動狀態(tài)。4. 受驅單擺的混沌道路受驅單擺的混沌道路F=1.072F=1.072與與F=1.093F=1.093時的混沌吸引子及其龐加萊截面時的混沌吸引子及其龐加萊截面4. 受驅單擺的混沌道路受驅單擺的混沌道路 F=1.18 F=1.18

20、 時的相軌線與龐加萊截面時的相軌線與龐加萊截面4. 受驅單擺的混沌道路受驅單擺的混沌道路(1) F 1.25(1.25后后單擺再次從混沌區(qū)轉入規(guī)則運動。進入兩種不同角速度之單擺再次從混沌區(qū)轉入規(guī)則運動。進入兩種不同角速度之一的鎖模狀態(tài)。且不同初始角速度進入不同鎖模狀態(tài)。從相圖可以發(fā)現(xiàn)，這一的鎖模狀態(tài)。且不同初始角速度進入不同鎖模狀態(tài)。從相圖可以發(fā)現(xiàn)，這時單擺處于單方向的旋轉運動狀態(tài)。兩種鎖模狀態(tài)分別對應單擺的左旋或右時單擺處于單方向的旋轉運動狀態(tài)。兩種鎖模狀態(tài)分別對應單擺的左旋或右旋的運動，對應的平均角速度為旋的運動，對應的平均角速度為: :2. F = 1.251.52間的運動狀態(tài)間的運動狀

21、態(tài)ndtd/514. 1492. 1F(2) F 1.44 在在F1.44F1.493 處有一個鞍結分岔處有一個鞍結分岔. 鞍結分岔可以產(chǎn)生陣發(fā)性混沌鞍結分岔可以產(chǎn)生陣發(fā)性混沌.493. 1F4. 受驅單擺的混沌道路受驅單擺的混沌道路(5) F 1.493 在在 為周期運動，此后又通過倍周期分為周期運動，此后又通過倍周期分岔進入混沌，岔進入混沌， 時的相圖及三個不同截面上的龐加萊圖如下。時的相圖及三個不同截面上的龐加萊圖如下。508. 149275. 1F514. 1F第第4 4節(jié)節(jié) 湍流道路湍流道路1. 1. 湍流是什么？湍流是什么？ 2. 2. 湍流道路湍流道路 3. 3. 貝納德對流與庫

22、埃特流實驗貝納德對流與庫埃特流實驗 液體流動有層流與湍流之分。液體流動有層流與湍流之分。層流與湍流層流與湍流1. 湍流是什么？湍流是什么？例例2 2 我們注視一支點燃的香煙，一縷青煙從我們注視一支點燃的香煙，一縷青煙從煙頭處冉冉升起，上升過程中流速越來越快，煙頭處冉冉升起，上升過程中流速越來越快，突然在某個高度上飄忽開來，青煙從層流轉突然在某個高度上飄忽開來，青煙從層流轉變成了湍流。變成了湍流。例例1 1 當某種透明的液體沿著一個玻璃管道流當某種透明的液體沿著一個玻璃管道流動，并注入一滴墨水。當管內流速很慢，則動，并注入一滴墨水。當管內流速很慢，則墨水沿著管道絲絲延伸的，液體被分成許多墨水沿著

23、管道絲絲延伸的，液體被分成許多層，各層間彼此不相混雜，這是層，各層間彼此不相混雜，這是層流層流。當流。當流速逐漸增大，流體將出現(xiàn)由弱到強的擾動，速逐漸增大，流體將出現(xiàn)由弱到強的擾動，這時進入湍流狀態(tài)。這時進入湍流狀態(tài)。 卡爾曼渦街卡爾曼渦街1. 湍流是什么？湍流是什么？不同流速下流體繞過圓柱的情況不同流速下流體繞過圓柱的情況 若圓柱半徑為若圓柱半徑為L，流速為，流速為v，粘滯系數(shù)為，粘滯系數(shù)為h h，定義一個無量綱參數(shù)，定義一個無量綱參數(shù) Re (雷諾數(shù)雷諾數(shù))： 當當Re很小很小(Re1)時，流線緊貼圓柱，經(jīng)圓柱后運動是定常的；時，流線緊貼圓柱，經(jīng)圓柱后運動是定常的； 當當Re超過某一臨界值

24、后，運動變成周期的；超過某一臨界值后，運動變成周期的； 當當Re達到達到1030時，流線在圓柱后的某處脫離，并在此附近出現(xiàn)一時，流線在圓柱后的某處脫離，并在此附近出現(xiàn)一對旋渦；對旋渦； 當當Re 40左右時，圓柱體后的一個旋渦被拉長并脫離柱體，飄向左右時，圓柱體后的一個旋渦被拉長并脫離柱體，飄向下游；另一側的流體彎轉過去形成新的旋渦。兩側旋渦交替脫離柱體下游；另一側的流體彎轉過去形成新的旋渦。兩側旋渦交替脫離柱體向下游飄去，形成一種渦街結構，稱為卡爾曼（向下游飄去，形成一種渦街結構，稱為卡爾曼（Karman）渦街。）渦街。 當雷諾數(shù)當雷諾數(shù)Re 進一步增加時發(fā)展成為湍流，其中流動就完全是無規(guī)進

25、一步增加時發(fā)展成為湍流，其中流動就完全是無規(guī)的了。的了。卡爾曼渦街卡爾曼渦街eRvLh1. 湍流是什么？湍流是什么？ 1942年霍夫年霍夫(Hopf)提出著名的分岔理論提出著名的分岔理論(霍夫分岔霍夫分岔)，1944年著名物理年著名物理學家朗道學家朗道(Landau)第一個提出湍流理論：在流動系統(tǒng)中，隨著雷諾數(shù)第一個提出湍流理論：在流動系統(tǒng)中，隨著雷諾數(shù)Re (即流速即流速)的增加，系統(tǒng)發(fā)生連續(xù)失穩(wěn)而產(chǎn)生出一系列新振蕩模式。的增加，系統(tǒng)發(fā)生連續(xù)失穩(wěn)而產(chǎn)生出一系列新振蕩模式。 起初代表層流運動的不動點失穩(wěn)，產(chǎn)生頻率起初代表層流運動的不動點失穩(wěn)，產(chǎn)生頻率1的周期振蕩，當流速的周期振蕩，當流速增加時

26、，又冒出頻率增加時，又冒出頻率2新振蕩，當流速繼續(xù)增加相繼出現(xiàn)不可比頻率新振蕩，當流速繼續(xù)增加相繼出現(xiàn)不可比頻率3、4振蕩。振蕩。當各種周期運動的數(shù)目積累到無窮多個時，流體運動當各種周期運動的數(shù)目積累到無窮多個時，流體運動進入湍流狀態(tài)。進入湍流狀態(tài)。朗道朗道霍夫道路霍夫道路2. 湍流道路湍流道路湍流是怎樣一種運動呢？它的產(chǎn)湍流是怎樣一種運動呢？它的產(chǎn)生機理是怎樣的生機理是怎樣的？2. 湍流道路湍流道路 朗道朗道霍夫道路的主要特點是將流體系統(tǒng)的周期運動和不規(guī)則的湍流聯(lián)霍夫道路的主要特點是將流體系統(tǒng)的周期運動和不規(guī)則的湍流聯(lián)系了起來，因此對尋找湍流的動力學機理起了重大的影響作用。系了起來，因此對尋

27、找湍流的動力學機理起了重大的影響作用。 20世紀世紀70年代，年代，朗道朗道霍夫理論霍夫理論受到懷疑。受到懷疑。 根據(jù)同步鎖模理論，若兩個振動間沒有耦合，不可約頻率比根據(jù)同步鎖模理論，若兩個振動間沒有耦合，不可約頻率比1 1/ /2 2= P/Q為為有理數(shù)時，運動仍為周期運動；有理數(shù)時，運動仍為周期運動；1 1/ /2 2為無理數(shù)時為準周期運動。為無理數(shù)時為準周期運動。 在準周期下，系統(tǒng)稍有擾動在準周期下，系統(tǒng)稍有擾動( (兩振動間的耦合兩振動間的耦合)就會過渡到與無理數(shù)相接就會過渡到與無理數(shù)相接近的有理數(shù)上，出現(xiàn)鎖?，F(xiàn)象，運動又成為周期運動，不會發(fā)生一系列的不近的有理數(shù)上，出現(xiàn)鎖?，F(xiàn)象，運動

28、又成為周期運動，不會發(fā)生一系列的不可約頻率可約頻率1 1、2 2 新振蕩。新振蕩。茹厄勒與塔肯斯茹厄勒與塔肯斯理論上證明，進入湍流不必出理論上證明，進入湍流不必出現(xiàn)無窮多個不可約頻率分量，只需四次分岔就行了。后來又進一步證明只要現(xiàn)無窮多個不可約頻率分量，只需四次分岔就行了。后來又進一步證明只要經(jīng)過三次分岔，由二維環(huán)面上準周期運動可直接失穩(wěn)成奇怪吸引子。經(jīng)過三次分岔，由二維環(huán)面上準周期運動可直接失穩(wěn)成奇怪吸引子。這種這種進入湍流的方式稱為進入湍流的方式稱為茹厄勒茹厄勒- -塔肯斯道路塔肯斯道路，即進入混沌的準周期道路。，即進入混沌的準周期道路。 茹厄勒茹厄勒- -塔肯斯道路塔肯斯道路 茹厄勒和塔

29、肯斯思想的實質是把湍流看作為流體中的混沌，對探茹厄勒和塔肯斯思想的實質是把湍流看作為流體中的混沌，對探索湍流的發(fā)生機制注入了一些新的思想。索湍流的發(fā)生機制注入了一些新的思想。 當湍流看作為流體中的混沌，因此進入混沌的各種道路也就是流當湍流看作為流體中的混沌，因此進入混沌的各種道路也就是流體進入湍流的道路。進入湍流多種多樣體進入湍流的道路。進入湍流多種多樣, ,如：如： 1.1.費根鮑姆道路：費根鮑姆道路：液氦中的貝納德對流實驗證明，液氦對流通過倍液氦中的貝納德對流實驗證明，液氦對流通過倍周期分岔進入了湍流。由于倍周期分岔點以費根鮑姆常數(shù)為速率趨向周期分岔進入了湍流。由于倍周期分岔點以費根鮑姆常數(shù)為速率趨向臨界值，所以倍周期分岔道路也稱為費根鮑姆道路；臨界值，所以倍周期分岔道路也稱為費根鮑姆道路； 2.2.茹厄勒茹厄勒塔肯斯道路塔肯斯道路，這，這是流體由層流方式進入湍流的道路，從是流體由層流方式進入湍流的道路，從分岔觀點來看這是系統(tǒng)通向混沌的分岔觀點來看這是系統(tǒng)通向混沌的準周期道路；準周期道路； 3.3.玻木玻木- -曼維爾湍流道路，曼維爾湍流道路，這是本章第二節(jié)的陣發(fā)性混沌也是流體這是本章第二節(jié)的陣發(fā)性混沌也是流體進入湍流。進入湍流。條條道路通湍流條條道路通湍流2. 湍流道路湍流道路實驗裝置實驗裝置：