1、第2章信號(hào)與噪聲分析知識(shí)點(diǎn)及層次1.確知信號(hào)時(shí)-頻域分析(1)現(xiàn)代通信系統(tǒng)周期信號(hào)的傅氏級(jí)數(shù)表示和非周期信號(hào)的傅氏積分。(2)幾個(gè)簡(jiǎn)單且常用的傅氏變換對(duì)及其互易性。(3)信號(hào)與系統(tǒng)特征卷積相關(guān)維鈉辛欽定理。2 .隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特征(1)二維隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征。(2)廣義平穩(wěn)特征、自相關(guān)函數(shù)與功率譜特點(diǎn)。(3)高斯過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。3 .高斯型白噪聲統(tǒng)計(jì)特征(1)理想白噪聲及限帶高斯白噪聲特征。(2)窄帶高斯白噪聲主要統(tǒng)計(jì)特征。以上三個(gè)層次是一個(gè)層層深入的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，最終旨在解決信號(hào)、系統(tǒng)及噪聲性能分析，是全書各章的基本理論基礎(chǔ)，也是系統(tǒng)分析的最主要的數(shù)學(xué)方法。2.1 信號(hào)與系統(tǒng)表示法2.1.1 通信系

2、統(tǒng)常用信號(hào)類型通信系統(tǒng)所指的信號(hào)在不加聲明時(shí)，一般指隨時(shí)間變化的信號(hào)。通常主要涉及以下幾種不同類型的信號(hào)：1 .周期與非周期信號(hào)周期信號(hào)處滿足下列條件：)全部時(shí)域(2-1)T的周期，是滿足(2-1)式條件的最小時(shí)段。因此，該/口)也可表示為：(2-2)是/（j）在一個(gè)周期T內(nèi)的波形（形狀）若對(duì)于某一信號(hào),不存在能滿足式（2-1）的任何大小的7值，則不為周期信號(hào)（如隨機(jī)信號(hào)）。從確知信號(hào)的角度出發(fā)，非周期信號(hào)一般多為有限持續(xù)時(shí)間的特定時(shí)間波形。2 .確知和隨機(jī)信號(hào)確知信號(hào)的特征是：無(wú)論是過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)的任何時(shí)間,其取值總是唯一確定的。如一個(gè)正弦波形，當(dāng)幅度、角頻和初相均為確定值時(shí)，它就屬于確知

3、信號(hào)，因此它是一個(gè)完全確定的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)信號(hào)是指其全部或一個(gè)參量具有隨機(jī)性的時(shí)間信號(hào)，亦即信號(hào)的某一個(gè)或更多參量具有不確定取值，因此在它未發(fā)生之前或未對(duì)它具體測(cè)量之前，這種取值是不可預(yù)測(cè)的。如上述正弦波中某一參量（比如相位）在其可能取值范圍內(nèi)沒(méi)有固定值的情況，可將其表示為：(2-3)其中4和叫為確定值，®可能是在（0,2n）內(nèi)的隨機(jī)取值3 .能量與功率信號(hào)R上的瞬時(shí)在我們常用的電子通信系統(tǒng)中，信號(hào)以電壓或電流（變化）值表示，它在電阻功率為：尸（。=以9或尸0=|證）1(2-4)功率P（i）正比于信號(hào)幅度的平方。其歸一化瞬時(shí)功率或能量（K=1q）表示式為:(2-5)在K=1Q負(fù)載上的

4、電壓或者電流信號(hào)的（歸一化）能量為:(2-6)單位時(shí)段27內(nèi)的平均能量等于該被截短時(shí)段內(nèi)信號(hào)平均功率。而信號(hào)g（）的總平均功率則為:p=1n1-L(2-7)一般地，能量有限的信號(hào)稱為能量信號(hào)，即0<£<8；而平均功率有限的信號(hào)稱為功率信號(hào)，即0V,<能量信號(hào)與功率信號(hào)是不相容的一一能量信號(hào)的總平均功率（在全時(shí)軸上時(shí)間平均）等于0,而功率信號(hào)的能量等于無(wú)限大。通常，周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)是功率信號(hào)；確知而非周期信號(hào)為能量信號(hào)。從理論上，表示信號(hào)的方法很多，但實(shí)際上傅立葉分析在信號(hào)處理與通信中沿用至今，它將任何函數(shù)波形/（J）均正交分解為一系列正弦波之和表示，在應(yīng)用上具有很

5、大的廣泛性。在通信系統(tǒng)中，利用變換域，如頻域分析，可更方便地揭示信號(hào)本質(zhì)性特點(diǎn)。4 .基帶與頻帶信號(hào)從信源發(fā)出的信號(hào)，最初的表示方法，大都為基帶信號(hào)形式（模擬或數(shù)字、數(shù)據(jù)形式），它們的主要能量在低頻段，如語(yǔ)音、視頻等。它們均可以由低通濾波器取出或限定，因此又稱為低通信號(hào)。為了傳輸?shù)男枰貏e是長(zhǎng)途通信與無(wú)線通信，需將源信息基帶信號(hào)以特定調(diào)制方式“載荷”到某一指定的高頻載波，以載波的某一、二個(gè)參量變化受控于基帶信號(hào)或數(shù)字碼流，后者稱為調(diào)制信號(hào)，受控后的載波稱為已調(diào)信號(hào)或已調(diào)載波，屬于頻帶信號(hào)。它限制在以載頻為中心的一定帶寬范圍內(nèi)，因此又稱為帶通信號(hào)。2.1.2 系統(tǒng)表示法通信系統(tǒng)或信號(hào)系統(tǒng)涉及線

6、性時(shí)不變系統(tǒng)和非線性的、時(shí)變系統(tǒng)。在先行課信號(hào)與系統(tǒng)分析中已對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行過(guò)充分研究；一個(gè)復(fù)雜的通信系統(tǒng)，特別是無(wú)線通信系統(tǒng)（如短波信道），需以非線性時(shí)變系統(tǒng)分析方法來(lái)處理。根據(jù)傅立葉分析方法，一個(gè)正弦波輸入到系統(tǒng)，響應(yīng)結(jié)果等于相同頻率的另一正弦波的條件有兩個(gè)：1.系統(tǒng)是線性的一一遵循迭加原理和比例倍增。如系統(tǒng)輸入為了1（。和椒）,響應(yīng)各為&1©和&©,如果存在川）+擾）的響應(yīng)為工：.：（可迭加?。┘?amp;Jit）+&作為激勵(lì)，其響應(yīng)為：闞©+電g期（比例倍增）（2-8）其中ai、a2為任意常數(shù)。則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。2.系統(tǒng)是時(shí)不

7、變的一一如果系統(tǒng)激勵(lì)為/Q）,響應(yīng)為g（f）,當(dāng)輸入信號(hào)/（z）延時(shí)§,即/Q-本），而響應(yīng)gg）也產(chǎn)生同樣延時(shí)"，即g'-4），則該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。2.1.3通信系統(tǒng)中的統(tǒng)計(jì)分析方法從通信系統(tǒng)的通信過(guò)程而言，是具有基于概率統(tǒng)計(jì)特征的。從信源到信號(hào)表示，有噪信道傳輸和接收，各個(gè)環(huán)節(jié)均需利用統(tǒng)計(jì)分析方法來(lái)處理通信信號(hào)及通信系統(tǒng)問(wèn)題。對(duì)于接收者來(lái)說(shuō)，關(guān)于信源隨機(jī)發(fā)送的信息序列是不確定的，不可預(yù)測(cè)的，因此屬于一定特征的隨機(jī)信號(hào)。在傳輸過(guò)程中，由于信道介入各種干擾、噪聲，受到污染的信號(hào)到達(dá)接收端，使接收者更增大了不確定程度。因此，基于統(tǒng)計(jì)理論的隨機(jī)過(guò)程和信息論是分析與解決

8、信息傳輸和最佳接收問(wèn)題的重要理論基礎(chǔ)，這正是本章第4節(jié)開始重點(diǎn)討論的問(wèn)題。2.2信號(hào)頻譜分析概述為了知識(shí)的連續(xù)性，同時(shí)作為隨機(jī)信號(hào)分析的基礎(chǔ)，茲概要回顧確知信號(hào)傅立葉分析方法。2.2.1 傅立葉級(jí)數(shù)任何一個(gè)周期為7的周期信號(hào)，同=，只要滿足狄里赫利條件,就可以展開為正交序列之和一一傅立葉級(jí)數(shù):cqs(nm/)+8#sin(用研(以(2-9)式中系數(shù)2T/y加明出4=33（力何回油(2-10)?/（2）的均值，即直流分量。式（2-9）中，由&cos4球+%sin£=%cos（附婚一內(nèi)）則得:cacos(«ffi0/-qJ(2-11)式中：J=亞+j%=麗-】/場(chǎng)二場(chǎng)&

9、#39;A,則可表示為指數(shù)形式:/+又由.'.'J上2-49(2-12)仃ip%門叫，V_=、產(chǎn)式中：'|-1'I.,_,，二以上三種級(jí)數(shù)表示方式實(shí)質(zhì)相同。各項(xiàng)之間均為正交，這樣當(dāng)有限項(xiàng)來(lái)逼近,（D時(shí)，在同樣項(xiàng)數(shù)時(shí)，以正交項(xiàng)之和精度最高。2.2.2 傅立葉變換非周期信號(hào)，即能量信號(hào)，其時(shí)域表示式通過(guò)傅立葉（積分）變換，映射到頻域也可表示信號(hào)的全部信息特征一一頻譜函數(shù)，更便于信號(hào)和系統(tǒng)的分析。信號(hào)的傅立葉變換對(duì)為頻譜函數(shù)：=f/（£）/殷也可反演式:（2-13）表示該傅立葉變換對(duì)的縮寫符號(hào)為:變換對(duì)的存在，具有數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的充要條件，這里不再列出。2.2.

10、3 卷積與相關(guān)1.卷積卷積是當(dāng)系統(tǒng)沖激響應(yīng)晡確定后，已知系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)/（£）而求響應(yīng)的運(yùn)算過(guò)程。g«）=f%-）旗）心=加）咖）這一運(yùn)算模式也可推廣到任何兩個(gè)時(shí)間函數(shù)?。┡c加）或這兩個(gè)頻域函數(shù).：，與月的卷積:時(shí)域函數(shù)卷積:成©*/|©=卻F融）加=1（交換律）一口(2-14)頻域函數(shù)卷積:耳喇:樂(lè)山一第2也工衿加（工燭=用冏勸（2-15）關(guān)系式：.二二：；一"（卷積定理）（2-16）工ON©引朗竄居（調(diào)制定理）（2-17）2.相關(guān)一個(gè)函數(shù)/（£）可求其自相關(guān)函數(shù)與o兩個(gè)函數(shù)工（，）與其,可求它們之間的互相關(guān)函數(shù)&

11、&）及&（T）:自相關(guān)函數(shù):與=1：/人廠工）也(2-18)互相關(guān)函數(shù):，心加C）也喝-©(2-19)R期二口用利工或工/#-必o也(2-20)則有：&©=&(-7)或&1(7)=%(/)(偶對(duì)稱性)(2-21)1T/若期及/曲、力Q)為周期信號(hào)，上列各式利用財(cái)=亍%1也格式運(yùn)算。1.1 .4能量譜、功率譜及帕氏定理1 .能量譜密度若存在傅立葉變換對(duì)®6F能量信號(hào)/(£)的能量譜與其自相關(guān)函數(shù)也是一對(duì)傅立葉變換，即：與=匚/+D也e雙回F(r)=尸f*(山)=|f簡(jiǎn)明表示為：(2-22)這里''|：

12、能量譜函數(shù)，或稱能量譜密度。2 .功率譜密度若存在傅立葉變換對(duì)鄭妗/曲，且了(力為功率信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)與其功率譜也是一對(duì)傅立葉變換，即：=呢,J專7W5）山妗蚣J耳；）1=當(dāng)（2-23）上式可表示周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)兩種情況。周期為T的信號(hào)在一個(gè)周期的時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)，隨機(jī)信號(hào)截短信號(hào)的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，兩者都對(duì)應(yīng)著單位時(shí)段能量譜，當(dāng)時(shí)間無(wú)限擴(kuò)展時(shí)的時(shí)間平均能量譜，等于它們的功率譜，只是當(dāng)周期信號(hào)時(shí)，式（2-23）不必用極限運(yùn)算。因?yàn)?Q）為隨機(jī)信號(hào)時(shí)不存在周期，以I耳F表示該/口）的截短段為T的能量譜，用I為此段時(shí)間平均功率譜，取時(shí)間極限后才為該信號(hào)準(zhǔn)確功率譜。這一計(jì)算方式，T到后面隨機(jī)信號(hào)

13、分析將要用到。3 .帕氏定理（Parseval）信號(hào)能量與功率的計(jì)算帕氏定理：能量譜或功率譜在其頻率范圍內(nèi)，對(duì)頻率的積分等于信號(hào)的能量或功率，并且在時(shí)域、頻域積分，以及自相關(guān)函數(shù)=0時(shí)，三者計(jì)算結(jié)果是一致的。2.3 希爾伯特變換2.3.1希氏變換希氏變換是完全在時(shí)域中進(jìn)行的一種特殊的正交變換。也可以看成它是由一種特殊的濾波器完成的。為了便于理解變換特點(diǎn)，我們首先討論這種變換在頻域中的規(guī)律（規(guī)則），然后再返回到時(shí)域來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)它，并且變換后信號(hào)以?©表示，相應(yīng)頻譜以京®表示。1 .希氏（頻域）變換定義若信號(hào)存在傅立葉變換對(duì)£）6網(wǎng)助，則其希氏變換的頻譜等于該信號(hào)頻譜

14、的負(fù)頻域全部頻率成分相移+兀/2,而正頻域相移一兀/2完成這種變換的傳遞函數(shù)稱為希氏濾波器傳遞函數(shù)，即有：為®）=-j汨1（卬）(2-25)則希氏變換頻譜為尸乜=網(wǎng)砌-jSgn=£(由)2.希氏(時(shí)域)變換定義為了得出時(shí)域中進(jìn)行希氏變換的規(guī)則，可以很簡(jiǎn)單地由上述希氏濾波器傳遞函數(shù)求出其沖激響應(yīng)4式,0»-3)=-jSgn3)利用傅立葉變換的互易定理，可由為反演出,：&©6-,-即兀£(2-26)(2-27a)(2-27b)因此希氏變換的時(shí)域表示式為：八1A®11*W/陽(yáng)加)卜")=加一d-山dr定J-vnrirJf&

15、#163;-T(2-28)由希式變換的定義：(D余弦信號(hào)的希式變換等于正弦信號(hào)；(2)正弦信號(hào)的希式變換等于余弦信號(hào)。希氏變換在本章最后窄帶噪聲統(tǒng)計(jì)特征分析中，以及線性調(diào)制單邊帶生成過(guò)程中，均有非常重要的作用。2.3.2希氏變換的主要性質(zhì)1 .信號(hào)與其希氏變換的幅度頻譜、功率（能量）譜以及自相關(guān)函數(shù)和功率（能量）均相等。這是由于功率譜、能量譜不反映信號(hào)相位特征。相應(yīng)的，自相關(guān)函數(shù)也不反映信號(hào)的時(shí)間位置。2 ./（j）希氏變換,（0再進(jìn)行希氏變換表示為訕。則有:/©=*)=-7)（2-29）3%）與九）互為正交。為證明最后一個(gè)性質(zhì)的正確性，可通過(guò)互相關(guān)與能量譜進(jìn)行計(jì)算：用，加=F（）城

16、段式中右邊：F#（-/W=£即產(chǎn)SF射。JrJ-e（2-30）由上式最后一個(gè)積分式可以看出，被積函數(shù)為奇函數(shù)與偶函數(shù)之乘積，因此該項(xiàng)積分等于0于是，可得正交關(guān)系，即：OA饗拉）也二0（能量信號(hào)）,1-0(2-31)limrmT17A亍自我）網(wǎng)也=0（功率信號(hào)2.4隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征在數(shù)學(xué)課中，已經(jīng)涉及到基于概率論的隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)平均的計(jì)算，隨機(jī)變量是建立隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)信號(hào)分析方法的基礎(chǔ)。這里從公理化概率概念出發(fā)，闡明隨機(jī)變量的形成及主要統(tǒng)計(jì)平均的運(yùn)算方法。2.4.1 概率的公理概念關(guān)于概率概念，在工科數(shù)學(xué)中曾從古典概率、幾何概率等，對(duì)隨機(jī)事件做了描述性說(shuō)明。這里擬從概率空間角度，對(duì)隨

17、機(jī)事件及其概率建立數(shù)學(xué)模型。一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)主要應(yīng)滿足下列三個(gè)基本特點(diǎn)：11）實(shí)驗(yàn)（Experiment）在相同條件下是可重復(fù)的；（2）每次重復(fù)稱作試驗(yàn)（Trial）,其可能結(jié)果（Outcomes）是不可預(yù)測(cè)的；（3）一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的大量試驗(yàn)，其結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律。我們利用統(tǒng)計(jì)概率概念來(lái)描述概率的定義：一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，所有試驗(yàn)可能結(jié)果（Outcomes）稱為樣本（Samples）。其全部樣本集合構(gòu)成樣本空間S（整集），其中一個(gè)樣本或多個(gè)有關(guān)樣本集合構(gòu)成的子集稱為$的事件域Bf中的每一集合（或樣本）稱為事件。這樣若事件Ae尸，則尸（£）稱為事件工的概率。于是以上三個(gè)要素實(shí)體的結(jié)

18、合，構(gòu)成一個(gè)概率空間，表示為：P=（s岑P）。2.4.2 隨機(jī)變量上面以概率空間P=（SEP）表示了隨機(jī)實(shí)驗(yàn)及其可能結(jié)果的概率模型。在實(shí)際應(yīng)用中，我們希望以更明確的數(shù)學(xué)表示，來(lái)闡明樣本空間諸事件（集）的統(tǒng)計(jì)特性及其相互關(guān)系，茲介入“隨機(jī)變量”概念。現(xiàn)將樣本空間S中所有事件（樣本）均以某種指定的規(guī)則映射（Mapping）到數(shù)軸上，并以指定的實(shí)數(shù)來(lái)表示它們。如擲硬幣，兩種可能結(jié)果的樣本空間為，（月、?分別表示硬幣出現(xiàn)正、反面），映射到數(shù)軸上，可由任意指定兩個(gè)實(shí)數(shù)作為你的映射規(guī)則（稱Y）一一來(lái)表示兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果。為方便計(jì)，可用0、1來(lái)表示，即構(gòu)成一維隨機(jī)變量,此時(shí)它以S=0及$=1兩種可能的數(shù)值表示，

19、即：X(s)=1(S=/Z)及X(s)=o(S=7)如圖2-8（a）所示。它包括了隨機(jī)變量的2個(gè)“取值"X（£=0）及（£=1）；由此看來(lái)，上述x（s），y表面上寫法類似于“函數(shù)”，但它們確不是一個(gè)函數(shù)，而是變量或變量取值集合。于是，可將隨機(jī)變量直接用X，Y來(lái)表示，以免與函數(shù)混淆。其實(shí)，隨機(jī)變量在數(shù)軸上所表示樣本映射的點(diǎn)（可能的取值），仍與樣本的概率相對(duì)應(yīng)，它們都要附帶其在樣本空間的概率特征，因此賦予一定規(guī)則的映射所指的隨機(jī)變量X、Y，尚必須對(duì)所有樣本映射點(diǎn)（取值）的概率給予明確表示。后面將具體說(shuō)明。2.4.3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征在數(shù)軸的實(shí)數(shù)值代表的樣本空間的樣本

20、或?qū)嶓w，它們并非確定數(shù)，它們只是S中樣本的“數(shù)字符號(hào)”形式的代表，因此必須與其概率相對(duì)應(yīng)才有真實(shí)意義。s全部樣本的累積概率一一整集的概率為i,即=1,而隨機(jī)變量中的部分事件g的概率是一切不大于某特定取值的隨機(jī)變量比的累積概率，其大小隨x取值變化，因此稱其為概率累積函數(shù)或概率分布函數(shù)（cdf）可表示為：且有：&S）=q*）=1O<4W<1（2-43）式中，4S）的含義是不包含所有隨機(jī)變量取值（x任何取值均有X<是不存在的）的累積概率為0；而%（8）則包含X的全部取值所對(duì)應(yīng)的概率之和，即累積之和當(dāng)然為1（隨機(jī)變量完備群概率）。一般地，隨機(jī)變量值如有人<了口，則有：&

21、#39;'1”.一，接著的問(wèn)題是，我們尚需了解隨機(jī)變量X各取值工的概率質(zhì)量（離散時(shí)）或概率密度（X為連續(xù)時(shí)），即隨機(jī)變量X的概率密度（函數(shù)）pdf,并以p式x）或表示。p（x）與F（r）是互為微積分關(guān)系:p(x)=F(x)或F=/dxJr(2-44)這里£作為“虛假”變量。當(dāng)具體取值為及XI、X2,且看演，則：二3P(X«再)-F(X«力取)-FQ廣P(極(2-45)若上式中工=-汽1可設(shè)為X的任意值X,則：尸。)=也j-(2-46)且有：尸=湎岫=1Jw(2-47)2.4.4常用的隨機(jī)變量類型1,均勻分布前面例子已涉及到均勻分布隨機(jī)變量，即它們的pdf具

22、有均勻分布特征。又如，產(chǎn)生一個(gè)幅度為4,角頻為崛的正弦波，X(t)n485®+®<>，其中若初相®非為某種強(qiáng)制設(shè)定的量，可看做日是在(0,2n)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。2 .高斯型分布在自然界中，很多現(xiàn)象符合“中心極限定理”，它與高斯(正態(tài))分布特征有著密切關(guān)系。一維高斯變量X的pdf為:(2-48)由上式看出，對(duì)于一個(gè)高斯隨機(jī)變量，只要已知均值用及方差o,，就能唯一確定其pdf,1.N且可簡(jiǎn)寫為，其中當(dāng)即=0，仃：=1時(shí)的高斯分布，其pdf為卿,1）,稱其為歸一化高斯分布，即：(2-49)圖2-11示出了一維高斯隨機(jī)變量pdf和cdf曲線本章附錄中列出

23、了該歸一化分布和概率積分函數(shù):0(/)=F在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要計(jì)算高斯隨機(jī)變量X在為二第r+上處的累積概率值，即:JLftIn1TTfJT撫X點(diǎn)仃太1/q_2P1X&叫裊為了查表方便，先進(jìn)行歸一化，即設(shè)餌）可得:(2-50)(2-51)于是通過(guò)查閱本章附錄的高斯變量概率積分表，可得準(zhǔn)確結(jié)果。概率積分函數(shù)有以下性質(zhì)：力（-幻=1-蜘）(2-52)在通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)與數(shù)字信號(hào)誤碼率分析中，經(jīng)常利用“誤差函數(shù)”或“互補(bǔ)誤差函數(shù)”誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù):erfc(x)=1-erf(x)且有:(2-53)(2-54)(2-55)本章附錄中列出了誤差函數(shù)表。同時(shí)還列出了當(dāng)X>>1時(shí)近似式

24、erf（力汨©的數(shù)值。3 .其它類型的概率分布在通信系統(tǒng)窄帶噪聲分析中（本章最后部分），要用到瑞利（Rayleigh）分布和萊斯（Rice）分布，以及其它類型如波松（Poison）分布，后者用于信號(hào)交換排隊(duì)分析。（2-32）2.5隨機(jī)過(guò)程在通信與信息領(lǐng)域中，存在大量的隨機(jī)信號(hào)。例如語(yǔ)聲、音樂(lè)信號(hào)、電視信號(hào)，在通信系統(tǒng)中傳輸?shù)臄?shù)字碼流和介入到系統(tǒng)中的干擾和噪聲，均具有各種隨機(jī)性特點(diǎn)。要分析此類信號(hào)與噪聲和干擾的內(nèi)在規(guī)律性，只有找出它們的統(tǒng)計(jì)特征；另一方面，它們均為時(shí)間函數(shù)，即它們隨機(jī)性變化是表現(xiàn)在時(shí)間進(jìn)程中的，可把它們統(tǒng)稱為隨機(jī)過(guò)程。2.5.1 隨機(jī)過(guò)程的概念和定義定義1.隨機(jī)過(guò)程是同

25、一個(gè)實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)樣本函數(shù)的集合，表示為戰(zhàn)H柳j=l,2V8,其中每個(gè)樣本函數(shù)%©均為隨機(jī)過(guò)程XQ）的一個(gè)成員，也稱為隨機(jī)過(guò)程的一次（試驗(yàn)）實(shí)現(xiàn)。定義2.隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量在時(shí)間軸上的拓展。此時(shí)可表示為Xg或者與隨機(jī)變量表示一樣，為避免誤視為工的“函數(shù)”，而以X（£）表示隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程是含有隨機(jī)變量的時(shí)間函數(shù)。同時(shí)，由定義2,我們也可以說(shuō)隨機(jī)過(guò)程是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的（多維）隨機(jī)變量集合。2.5.2 隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征和平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程研究隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征，為便于理解，我們由定義2及上列兩個(gè)圖示，抽出位于不同時(shí)間截口的隨機(jī)變量，它們?yōu)椋浩渲腥鬾r，即當(dāng)=T一o就更為典型

26、。此時(shí)由多個(gè)時(shí)間截口的隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程X（£）,其分布函數(shù)可寫為：X*）或月x（'卜瓦工加46%）（2-74）%。）一一表示隨機(jī)過(guò)程X（£）的分布函數(shù)，各人與L對(duì)應(yīng)，表示在各不同時(shí)間截口心處的隨機(jī)變量取值為4,于是，/（工卜與標(biāo)"J*«孫X%'5）二r1r1f"p,.，球4跖%）如此'dxJ-toJ-cJ-tt）（2-75）其中巧。xJhG一匆）為隨機(jī)過(guò)程x（£）的概率密度。由此看來(lái)，像隨機(jī)變量那樣，若利用X。）的pdf來(lái)求解各階多維統(tǒng)計(jì)平均是極為復(fù)雜的。幸好，在通信及日常應(yīng)用中，解決一、二維統(tǒng)計(jì)特征或統(tǒng)

27、計(jì)平均就可滿足一般要求。并且還常常遇到統(tǒng)計(jì)特征可以簡(jiǎn)化的“平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程”或“遍歷性”平穩(wěn)過(guò)程。1.一維統(tǒng)計(jì)特征首先我們可在隨機(jī)過(guò)程任意指定時(shí)間截口t=k來(lái)看該隨機(jī)過(guò)程一一它將成為該時(shí)刻%處的一維隨機(jī)過(guò)程：戰(zhàn)。=&它與前面介紹的一維隨機(jī)變量并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，只是表明了它處于某具體時(shí)刻大,由于是任意給定的，也可以去掉下標(biāo)i。此時(shí)，t為參變量，可以說(shuō)一維隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程在某一時(shí)刻的一維隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為：(2-76)相應(yīng)的概率密度函數(shù)為：內(nèi))=漢中)=10X(2-77)尸。,。=也(2-78)由2。,力可以計(jì)算出一維隨機(jī)過(guò)程各統(tǒng)計(jì)平均：(1)均值函數(shù)EX(f)=J空(工)取=%口)(2-7

28、9)(2)方差函數(shù)況加以=口蹬)-%竊，(制油匕(2-80)(3)均方值(函數(shù))由匕如瞅制)-%(釬=一爐徹一加M),現(xiàn)砥5+%)-(2-81)因此，隨機(jī)過(guò)程x（i的均方值為:(2-82)此結(jié)果在數(shù)學(xué)上的意義：表明隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t的二階原點(diǎn)距等于二階中心距與一階原點(diǎn)距平方之和；在物理方面（電學(xué)）來(lái)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)平均總功率等于該瞬時(shí)交流功率與直流功率之和。2 .二維統(tǒng)計(jì)平均特征上述一維統(tǒng)計(jì)平均反映隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征是很不充分的，二維統(tǒng)計(jì)平均更顯得重要。我們可以在隨機(jī)過(guò)程中任選兩個(gè)時(shí)間截口4和4，將戰(zhàn)）截取為相距="一4的兩個(gè)隨機(jī)變量：石L相應(yīng)變量取值為二相應(yīng)變量取值為這兩個(gè)不同

29、時(shí)刻的聯(lián)合隨機(jī)變量，此時(shí)就是二維隨機(jī)過(guò)程。其二維統(tǒng)計(jì)特征為:/孫際仙）=氏'年兒,引二(2-83)PS3二答產(chǎn)(2-84)利用在時(shí)間截口4和4時(shí)的二維pdf,可以求出隨機(jī)過(guò)程X（£）的二維統(tǒng)計(jì)平均，諸如自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)，以及歸一化協(xié)方差函數(shù)一一自相關(guān)系數(shù)(1)自相關(guān)函數(shù)聯(lián)(4,%)=LjZ聲p(f孫位曲廣即r私)卜蹈鶴+明(2-85)式中，由于£可作為參變量選值，因此以1f來(lái)取代o(2)自協(xié)方差函數(shù)rx(G-%膜-%(幻pQi用弧如=(2-86)(3)自相關(guān)系數(shù)(2-87)3 .平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程定義1.若隨機(jī)過(guò)程跳)的統(tǒng)計(jì)特征與時(shí)間原點(diǎn)無(wú)關(guān)，即

30、:p仇向與;病)p(對(duì)向廂力+A4+A.，iy+A)2-15及圖2-16的時(shí)間原點(diǎn)可以任則稱該隨機(jī)過(guò)程為嚴(yán)平穩(wěn)或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。如此，圖意移動(dòng)，其pdf結(jié)果不變。定義2.若隨機(jī)過(guò)程跳)能滿足一維和二維平穩(wěn)條件，即:(2-88)及P（4內(nèi)八及芯4+A#&(2-89)則稱該隨機(jī)過(guò)程為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于通信系統(tǒng)與其它很多自然現(xiàn)象，往往使用一、二維統(tǒng)計(jì)特征足以表明隨機(jī)過(guò)程主要實(shí)質(zhì),或能滿足基本分析需求，故必須掌握好廣義平穩(wěn)的概念。在廣義平穩(wěn)條件下，上述諸多統(tǒng)計(jì)平均計(jì)算可以得到簡(jiǎn)化：由一維平穩(wěn)：陽(yáng)乂力=血彳/+JR靖A-t8（平穩(wěn)時(shí)）IJ（常數(shù)）(2-90)同時(shí)有%（£）=日個(gè)3仃或?