1、西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院徐徐 釗編制釗編制l 雙因素試驗(yàn)的方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析 在實(shí)際應(yīng)用中，一個試驗(yàn)結(jié)果（試驗(yàn)指標(biāo)）往往在實(shí)際應(yīng)用中，一個試驗(yàn)結(jié)果（試驗(yàn)指標(biāo)）往往受多個因素的影響。不僅這些因素會影響試驗(yàn)結(jié)果，受多個因素的影響。不僅這些因素會影響試驗(yàn)結(jié)果，而且這些因素的不同水平的搭配也會影響試驗(yàn)結(jié)果。而且這些因素的不同水平的搭配也會影響試驗(yàn)結(jié)果。 例如：某些合金，當(dāng)單獨(dú)加入元素例如：某些合金，當(dāng)單獨(dú)加入元素A或元素或元素B時，時，性能變化不大，但當(dāng)同時加入元素性能變化不大，但當(dāng)同時加入元素A和和B時，合金性時，合金性能的變化就特別顯著。能的變化就特別顯著。 統(tǒng)計學(xué)上

2、把多因素不同水平搭配對試驗(yàn)指標(biāo)的統(tǒng)計學(xué)上把多因素不同水平搭配對試驗(yàn)指標(biāo)的影響稱為交互作用。交互作用在多因素的方差分析影響稱為交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它當(dāng)成一個新因素來處理。中，把它當(dāng)成一個新因素來處理。 我們只學(xué)習(xí)兩個因素的方差分析，更多因素的我們只學(xué)習(xí)兩個因素的方差分析，更多因素的問題，用正交試驗(yàn)法比較方便。問題，用正交試驗(yàn)法比較方便。無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 假設(shè)某個試驗(yàn)中，有兩個可控因素在變化，因素假設(shè)某個試驗(yàn)中，有兩個可控因素在變化，因素A有有a個水平，記作個水平，記作A1，A2，Aa；因素；因素B有有b個水平

3、，個水平，記作記作B1，B2，.Bb；則；則A與與B的不同水平組合的不同水平組合AiBj（i=1，2，a；j=1，2，b）共有）共有ab個，每個水平組合個，每個水平組合稱為一個處理，每個處理只作一次試驗(yàn)，得稱為一個處理，每個處理只作一次試驗(yàn)，得ab個觀測個觀測值值Xij，得雙因素?zé)o重復(fù)實(shí)驗(yàn)表，得雙因素?zé)o重復(fù)實(shí)驗(yàn)表雙因素?zé)o重復(fù)（無交互作用）試驗(yàn)資料表雙因素?zé)o重復(fù)（無交互作用）試驗(yàn)資料表因素因素 A12.bBBB1112112.baaabXXXXXX.1ajijiTX.1.2.bTTT.jjXTa.1biijjTX1XTab.1.2.bXXX因素因素 B1.aAA.iiXT b1.aTT1.aXX

4、11abijijTX 無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析無交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析ijijijX線性統(tǒng)計模型線性統(tǒng)計模型 基本假設(shè)（基本假設(shè)（1） 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； （2） ，（方差齊性）。，（方差齊性）。ijX2,ijijXN 其中其中 111abijijab所有期望值的所有期望值的總平均總平均 11biijija11ajijjibijijijX水平水平Ai對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng) 水平水平Bj對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng) 試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差 特性：特性： 2110; 0; 0,abijijijN11biijija11ajijjibijijijX水平水平Ai對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)

5、對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng) 水平水平Bj對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng) 試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差 要分析因素要分析因素A，B的差異對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著的差異對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響，即為檢驗(yàn)如下假設(shè)是否成立：影響，即為檢驗(yàn)如下假設(shè)是否成立：0112:0aH0212:0bH 總離差平方和的分解定理總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和211abTijijSSXX可分解為：可分解為：TABESSSSSSSS2.1aiAiSSbXX稱為因素稱為因素A的離差平方和，的離差平方和，反映因素反映因素 A 對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。2.1bjBjSS

6、aXX稱為因素稱為因素B的離差平方和，的離差平方和，反映因素反映因素 B 對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。2.11abijEijijSSXXXX稱為誤差平方和，反映試驗(yàn)誤差對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。稱為誤差平方和，反映試驗(yàn)誤差對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。2,ijXN 可推得：可推得：221TSSab2222,TABESSSSSSSS將將 的自由度分別記作的自由度分別記作,TABEdfdfdfdf，則，則 1 ,11AAAAEEESSdfMSFFaabSSdfMS2211ESSab 1 ,11BBBBEEESSdfMSFFbabSSdfMS若假設(shè)若假設(shè) 成立，則：成立，則：0102,HH221ASSa221B

7、SSb對給定的檢驗(yàn)水平對給定的檢驗(yàn)水平 ，F(xiàn) 右側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn) 1 ,11AAAAEEESSdfMSFFaabSSdfMS 1 ,11BBBBEEESSdfMSFFbabSSdfMS 1 ,11AFFaab時，時，當(dāng)當(dāng) 1 ,11BFFbab時，時，當(dāng)當(dāng)拒絕拒絕H01，即，即A 因素的影響有統(tǒng)計意義。因素的影響有統(tǒng)計意義。拒絕拒絕H02，即，即B 因素的影響有統(tǒng)計意義。因素的影響有統(tǒng)計意義。雙因素（無交互作用）試驗(yàn)的方差分析表雙因素（無交互作用）試驗(yàn)的方差分析表方差來源方差來源因素因素A總和總和平方和平方和ASSBSSTSS自由度自由度AdfEdfTdf均方和均方和AAASSMSdfEEESS

8、MSdfF 值值A(chǔ)AEMSFMSF 值臨介值值臨介值(1 ,11 )Faab因素因素B誤差誤差ESSBdfBBBSSMSdfBBEMSFMS(1 ,11 )Fbab,ETABETABdfdfdffSSSSSSSS注意注意 各因素離差平方和的自由度為水平數(shù)減一，總平方各因素離差平方和的自由度為水平數(shù)減一，總平方和的自由度為試驗(yàn)總次數(shù)減一。和的自由度為試驗(yàn)總次數(shù)減一。雙因素（無交互作用）試驗(yàn)的方差分析表雙因素（無交互作用）試驗(yàn)的方差分析表,AABBSSDp SSDp簡便計算式：簡便計算式：其中：其中：2.1,aAiiDTb,EABTSSRDDp SSRp2.1,bBjjDTa2,pTab211ab

9、ijijRX例例1 設(shè)甲、乙、丙、丁四個工人操作機(jī)器設(shè)甲、乙、丙、丁四個工人操作機(jī)器、各一天，各一天， 其產(chǎn)品產(chǎn)量如下表，問工人和機(jī)器對產(chǎn)品產(chǎn)量是否有顯著其產(chǎn)品產(chǎn)量如下表，問工人和機(jī)器對產(chǎn)品產(chǎn)量是否有顯著 影響？影響？工人工人 A506352475442475741535848.1ajijiTX.jjXTa.1biijjTX51X 49.3 58.0 45.8機(jī)器機(jī)器 B.iiXT b612T 甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 197 232 18316514314515955.047.748.353.0解解 基本計算如原表基本計算如原表 21131678abijijRX2.1123495aAiiDTb

10、2.1142040.67bBjjDTa231212Tpab466TSSRp114.67AASSDp318.5BBSSDp32.83ETABSSSSSSSS1 11Tdfn 1 3Adfa 12Bdfb 6EAbdfdfdf38.223AAAMSSSdf159.25BBBMSSSdf5.47EEEMSSSdf6.98AAEFMSMS29.10BBEFMSMS0.013,69.78F0.012,6BFF0.053,64.76F0.050.013,63,6AFFF0.012,610.92F 結(jié)論：工人對產(chǎn)品的產(chǎn)量有顯著影響，結(jié)論：工人對產(chǎn)品的產(chǎn)量有顯著影響，機(jī)器對產(chǎn)品的產(chǎn)量有極顯著影響。機(jī)器對產(chǎn)品的

11、產(chǎn)量有極顯著影響。 有交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析ijkijijkijX線性統(tǒng)計模型線性統(tǒng)計模型 基本假設(shè)（基本假設(shè)（1） 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； （2） ，（方差齊性）。，（方差齊性）。ijX2,ijijXN 有檢驗(yàn)交互作用的效應(yīng)，則兩因素有檢驗(yàn)交互作用的效應(yīng)，則兩因素A，B的不同水的不同水平的搭配必須作重復(fù)試驗(yàn)。平的搭配必須作重復(fù)試驗(yàn)。 處理方法：把交互作用當(dāng)成一個新因素來處理，處理方法：把交互作用當(dāng)成一個新因素來處理，即把每種搭配即把每種搭配AiBj看作一個總體看作一個總體Xij。觀測值觀測值總平均總平均 因素因素A的效應(yīng)的效應(yīng) 因素因素B的效應(yīng)的效應(yīng) 交

12、互作用交互作用的效應(yīng)的效應(yīng) 試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差 有交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的雙因素試驗(yàn)的方差分析線性統(tǒng)計模型線性統(tǒng)計模型 其中其中 111abijijab所有期望值的總平均所有期望值的總平均 11biijija11ajijjibijkijkijX水平水平Ai對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng) 水平水平Bj對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果的效應(yīng) 試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差 ijkijijkijXijijij交互效應(yīng)交互效應(yīng) 特性：特性： 110; 0; abijij 要判斷因素要判斷因素A，B及交互作用及交互作用A B對試驗(yàn)結(jié)果是否對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響，即為檢驗(yàn)如下假設(shè)是否成立：有顯著影響，即為

13、檢驗(yàn)如下假設(shè)是否成立：0112:0aH0212:0bH2110; 0; 0,abijkijijijN03:0 1,2, ;1,2,ijHia jb 總離差平方和的分解定理總離差平方和的分解定理仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和仿單因素方差分析的方法，考察總離差平方和2111abnTijkijkSSXX可分解為：可分解為：TABA BESSSSSSSSSS SSA稱為因素稱為因素A的離差平方和，反映因素的離差平方和，反映因素 A 對試驗(yàn)對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。指標(biāo)的影響。 SSB稱為因素稱為因素B的離差平方和，反映因素的離差平方和，反映因素 B 對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。SSA B稱為

14、交互作用的離差平方和，稱為交互作用的離差平方和，反映交互作用反映交互作用A B對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。SSE稱為誤差平稱為誤差平方和，反映試驗(yàn)誤差對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。方和，反映試驗(yàn)誤差對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。2,ijkXN 若若“各因素、各水平及其交互作用的影響無統(tǒng)計意義各因素、各水平及其交互作用的影響無統(tǒng)計意義”的假設(shè)的假設(shè) 成立，則成立，則 則則1,1AAAAEEESSdfMSFF aab nSSdfMS可推得：可推得：2222221 ,1 ,1ABTSSSSSSababn222211 ,1A BESSSSabab n1,1BBBBEEESSdfMSFF bab nSSdfMS11 ,

15、1A BA BA BA BEEESSdfMSFFabab nSSdfMS 由由 作右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)來考察各因素及因素作右側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)來考察各因素及因素間的交互作用對試驗(yàn)指標(biāo)的影響力間的交互作用對試驗(yàn)指標(biāo)的影響力.,ABA BFFF雙因素有重復(fù)（有交互作用）試驗(yàn)資料表雙因素有重復(fù)（有交互作用）試驗(yàn)資料表因素因素 A12.bBBB1111211 111121.bnnbnXXXXXX.因素因素 B1AaA1121112.aaaba na nabnXXXXXX雙因素（有重復(fù)）試驗(yàn)方差分析表雙因素（有重復(fù)）試驗(yàn)方差分析表方差來源方差來源因素因素A總和總和平方和平方和ASSBSSTSS自由度自由度AdfEdfTdf均方和均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF 值值A(chǔ)AEMSFMSF 值臨介值值臨介值(1 ,1 )Faab n因素因素B誤差誤差ESSBdfBBBSSMSdfBBEMSFMS(1 ,1 )Fbab nA BA BSSA BdfA BA BA BMSSSdfA BA BEMSFMS(11 ,1 )Fabab n各離差平方和的計算公式參看出各離差平方和的計算公式參看出P180_181A BABdfdfdf這里這里例例3 P183 例題例題2因素因素A（能量）（能量）123BBB因素因