1、第四節(jié)變量間的相關關系與統(tǒng)計案例最新考綱1.會做兩個有關聯(lián)變量的數據的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程(線性回歸系數公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.4.了解獨立性檢驗(只要求 2×2 列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應用1兩個變量的線性相關(1)正相關1ìï (x  x )(y  y )x y n x  yb

2、7;ïîi2在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關(2)負相關在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關(3)線性相關關系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線2回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2)回歸方程：方程ybxa是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回歸方程，其中a，b是待定參數nniii 

3、;ii1i1nn (x  x )2x n x 2i1ii1a y b x .3回歸分析(1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中( x ，y )稱為樣本點的中心(3)相關系數當 r0 時，表明兩個變量正相關；當 r0 時，表明兩個變量負相關r 的絕對值越接近于 1，表明兩個變量的

4、線性相關性越強r 的絕對值越接近于 0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系通常|r|大于 0.75 時，認為兩個變量有很強的線性相關性2(ab)(ac)(bd)(cd)4獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯(lián)表假設有兩個分類變量X 和 Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數列聯(lián)表(稱為 2×2列聯(lián)表)為2×2 列聯(lián)表y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcdn(

5、adbc)2構造一個隨機變量 K2，其中 nabcd 為樣本容量常用結論1回歸直線必過樣本點的中心( x ， y )2當兩個變量的相關系數|r|1 時，兩個變量呈函數關系3一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系()(2)通過回歸直線方程ybxa可以估計預報變量的取值和變化趨勢()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗()Y(4)事件 X， 關系越密切，則由觀測數據計算得到

6、的 K2 的觀測值越大)答案(1)(2)(3)×(4)二、教材改編1在兩個變量 y 與 x 的回歸模型中，分別選擇了 4 個不同模型，它們的相關指數 R2 如下，其中擬合效果最好的是()A模型 1 的相關指數 R2 為 0.98B模型 2 的相關指數 R2 為 0.80C模型 3 的相關指數 R2 為 0.50D模型 4

7、0;的相關指數 R2 為 0.25AR2 越接近于 1，其擬合效果越好2下面是 2×2 列聯(lián)表：x1y1ay221總計734x2總計22b254647120則表中 a，b 的值分別為()A94,72C52,74B52,50D74,52Ca2173，a52.又 a22b，b74.3為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取 50 名學生，得到如下 2×2 列聯(lián)表：男女理科137文科1020根據表中數據，得到 K2

8、 的觀測值  k                 4.844.則認為選已知 P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.50×(13×2010×7)223×27×20×30修文科與性別有關系出錯的可能性約為_5%K2 的觀測值 k4.844，這表明小概率事件發(fā)生根據假設檢驗的基本原理，應該斷

9、定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為 5%.4某同學家里開了一個小賣部，為了研究氣溫對某種冷飲銷售量的影響，他收集了一段時間內這種冷飲每天的銷售量 y(杯)與當天最高氣溫 x()的有關數據，通過描繪散點圖，發(fā)現(xiàn) y 和 x 呈線性相關關系，并求得其回歸方程y2x60.如果氣象預報某天的最高氣溫為 34 ，則可以預測該天這種飲料的銷售量為_杯128由題意 x34 時，該小賣部大約能賣出熱飲的杯數y2×3460128杯5考點 1相關關系的

10、判斷判定兩個變量正、負相關的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(2)相關系數：r0 時，正相關；r0 時，負相關(3)線性回歸直線方程中：b>0 時，正相關；b<0 時，負相關61.已知變量 x 和 y 近似滿足關系式y(tǒng)0.1x1，變量 y 與 z 正相關下列結論中正確的是()Ax 與 y 正相關，x 與 z 負相關Bx 與&#

11、160;y 正相關，x 與 z 正相關Cx 與 y 負相關，x 與 z 負相關Dx 與 y 負相關，x 與 z 正相關C由 y0.1x1，知 x 與 y 負相關，即 y 隨 x 的增大而減小，又 y 與 z正相關，所以 z 隨 y 的增大而增大，減小而減小，所以 z&#

12、160;隨 x 的增大而減小，x與 z 負相關2對四組數據進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是()7Ar2r40r3r1Br4r20r1r3Cr4r20r3r1Dr2r40r1r3A由相關系數的定義以及散點圖可知 r2r40r3r1.3在一組樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn 不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i1,2，n)都在直線 y3x1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為()A3B0C1D1C在一組樣本數據的散點圖中，所有樣本點(xi，

13、yi)(i1,2，n)都在直線 y3x1 上，所以 b3<0，即這組樣本數據的兩個變量負相關，且相關系數為1.故選 C.x4 和 y 的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為_8x，y 是負相關關系；在該相關關系中，若用 yc1ec2x 擬合時的相關系數為 r1，用ybxa擬合時的相關指數為 r2，則|r1|r2|；x，y 之間不能建立線性回歸方程在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此 x，y 是負相關關系，故正確；由散

14、點圖知用 yc1ec2x 擬合比用ybxa擬合效果要好，則|r1|r2|，故正確；x，y 之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故錯誤相關關系的直觀判斷方法就是作9出散點圖，若散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具有相關性考點 2回歸分析線性回歸分析 (xi x )(yi y )  xiyin x  yn      

15、0;       ，(2)利用公式b                求線性回歸直線方程的步驟(1)用散點圖或進行相關性檢驗判斷兩個變量是否具有線性相關關系；nni1i1ni (xi x )2 x2n x 2i1i1a y b x 求得回歸系數；10(3)寫出回歸直線方程

16、如圖是某企業(yè) 2012 年至 2018 年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖注：年份代碼 17 分別對應年份 20122018.143.74，  (yiyi)24.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 和 t 的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立 y 關于 t 的回歸方程，預測 2021 年該企業(yè)的污水凈化量；(3)請用數據說明回歸方程預報的效果7參考數據： y 54，

17、0;(ti t )(yi y )21，i179i111n            ，參考公式：相關系數 rn (ti t )(yi y )i1n (ti t )2 (yi y )2i1         i1 (ti

18、0;t )(yi y )bi1n線性回歸方程yabt，n，a y b t . (ti t )2i1n (yiyi)2n反映回歸效果的公式為：R21 i1 (yi y )2i1其中 R2 越接近于 1，表示回歸的效果越好解(1)由折線圖中的數據得，t 4，   (ti t  )77228，i1i1(yi y )218， 

19、(ti t )(yi y )所以 r210.935.28×18因為 y 與 t 的相關系數近似為 0.935，說明 y 與 t 的線性相關程度相當大，所以可以用線性回歸模型擬合 y 與 t 的關系7i12137(2)因為 y 54，b284， (ti t )2i13所以a y b t 544×451，3所以&

20、#160;y 關于 t 的線性回歸方程為ybta4t51.3將 2021 年對應的 t10 代入得y4×105158.5，所以預測 2021 年該企業(yè)污水凈化量約為 58.5 噸12 (yiyi)2(3)因為 R217 i1 9  1     1  77 14×181880.875， (yi y )

21、2i1所以“污水凈化量的差異”有 87.5%是由年份引起的，這說明回歸方程預報的效果是良好的在線性回歸分析中，只需利用公式求出回歸直線方程并利用其進行預測即可(注意回歸直線過樣本點的中心( x ，y )，利用回歸方程進行預測，常把線性回歸方程看作一次函數，求函數值教師備選例題某地隨著經濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表 1：年份 x儲蓄存款 y(千億元)20135201462015720168201710表 1為了研究計算的方便，工作人員將上表的數據進行了處理，t

22、x2 012，zy5 得到下表 2：時間代號 tz1021324355表 213xiyin x  y其中bi1n      ，a y b x )x2i n x(1)求 z 關于 t 的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出 y 關于 x 的回歸方程；(3)用所求回歸方程預測到 2022 年年底

23、，該地儲蓄存款額可達多少？(附：對于線性回歸方程ybxa，n2i155i解(1) t 3， z 2.2， tizi45， t255，i1i1455×3×2.2b1.2，555×9a z b t 2.23×1.21.4，所以z1.2t1.4.(2)將 tx2 012，zy5，代入z1.2t1.4，得 y51.2(x2 012)1.4，即y1.2x2 410.8.(3)因為y1.2×2 02

24、22 410.815.6，所以預測到 2022 年年底，該地儲蓄存款額可達 15.6 千億元1.(2017· 山東高考)為了研究某班學生的腳長 x(單位：厘米)和身高 y(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取 10 名學14生，根據測量數據的散點圖可以看出 y 與 x 之間有線性相關關系設其回歸直線1010方程為ybxa.已知xi225，yi1 600，b4.該班某學生的腳長為 24，據i1i1此估計其身高為()A160C166

25、B163D170101 10i                        i1C1xi225， x 10  xi22.5.101 10i             &#

26、160;            i11yi1 600， y 10  yi160.又b4，a y b x 1604×22.570.回歸直線方程為y4x70.將 x24 代入上式得y4×2470166.故選 C.2某產品的廣告費用 x 萬元與銷售額 y 萬元的統(tǒng)計數據如表：廣告費用 x(萬元)

27、銷售額 y(萬元)2263m449554根據上表可得回歸方程y9x10.5，則 m 的值為()A36C38B37D39D由回歸方程的性質，線性回歸方程過樣本點的中心，則            26m4954423454×910.5，解得 m39.故選 D.15非線性回歸方程非線性回歸方程的求法(1)根據原始數據作出散點圖(2)根據散點圖，選擇恰當的擬合函數(3)作恰當變換，將其轉化成線性函數，求線性回歸方程(4)在(

28、3)的基礎上通過相應變換，即可得非線性回歸方程16某公司為確定下一年度投入某種t)產品的宣傳費，需了解年宣傳費 x(單位：千元)對年銷售量 y(單位： 和年利潤 z(單位：千元)的影響對近 8 年的年宣傳費 xi 和年銷售量 yi(i1,2，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值x    y   w   i1  (xi88 (wii18 (xi

29、0;x )(yii18 (wi w )·(yii1x )246.6 5636.8289.8w )21.6y )1 469y )108.8表中 wi   xi，w8wi.1 8i1(1)根據散點圖判斷，yabx 與 ycd x哪一個適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x 的回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)17 (ui u )(v

30、i v )斜率和截距的最小二乘估計分別為i1nå (wi w )(yi y )(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立 y 關于 x 的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤 z 與 x，y 的關系為 z0.2yx.根據(2)的結果回答下列問題：年宣傳費 x49 時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？年宣傳費 x 為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)

31、，(un，vn)，其回歸直線vu 的n， v  u . (ui u )2i1解(1)由散點圖可以判斷，ycd x適宜作為年銷售量 y 關于年宣傳費 x的回歸方程類型(2)令 w x，先建立 y 關于 w 的線性回歸方程8由于d i1å (wi w )28108.8 1.6 68，i1c y d w 56368

32、×6.8100.6，所以 y 關于 w 的線性回歸方程為y100.668w，因此 y 關于 x 的回歸方程為y100.668 x.(3)由(2)知，當 x49 時，年銷售量 y 的預報值y100.668 49576.6，年利潤 z 的預報值z576.6×0.24966.32.根據(2)的結果知，年利潤 z 的預報值z0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12.181

33、3.6所以當 x 2 6.8，即 x46.24 時，z取得最大值故年宣傳費為 46.24 千元時，年利潤的預報值最大對于非線性回歸分析問題，應先進行變量代換，求出代換后的回歸直線方程，再求非線性回歸方程教師備選例題某地級市共有 200 000 名中小學生，其中有 7%的學生在 2017 年享受了“國家精準扶貧”政策，在享受“國家精準扶貧”政策的學生中困難程度分為三個等次：一般困難、很困難、特別困難，且人數之比為 532，為進一步幫助這些學生，當地市政府設立

34、“專項教育基金”，對這三個等次的困難學生每年每人分別補助 1 000 元、1 500 元、2 000 元經濟學家調查發(fā)現(xiàn)，當地人均可支配收入較上一年每增加 n%，一般困難的學生中有 3n%會脫貧，脫貧后將不再享受“國家精準扶貧”政策，很困難的學生中有 2n%轉為一般困難，特別困難的學生中有n%轉為很困難現(xiàn)統(tǒng)計了該地級市 2013 年到 2017 年共 5 年的人均可支配收入，對數據初步處理后得到了如圖所示的散點圖和表中統(tǒng)計量的值，其中年

35、份 x 取 13xc時代表 2013 年， 與 y(萬元)近似滿足關系式 yc1·2c2x，其中 c1， 2 為常數(2013年至 2019 年該市中學生人數大致保持不變)19其中 kilog2yi， k   ki. (ui u )(vi v )      ， v  u

36、 .5555yk (ki k )2  (yi y ) (xi x )(yi y )  (xi x )·(ki k )i1i1i1i12.3 1.23.14.6211 55i1(1)估計該市 2018 年人均可支配收入；(2)求該市 2018 年的“專項教育基金”的財政預算大約為多少附：對于一組具有線性相關關系的數據(u1，v1)，(u2，

37、v2)，(un，vn)，其回歸直線方程uu的斜率和截距的最小二乘估計分別為ni1n (ui u )2i1參考數據：20.70.620.30.820.11.121.73.221.83.521.93.7315i1解(1)因為 x 5×(1314151617)15，所以  (xi x )2(2)2(1)202122210.由 klog2y 得 klog2c1c2x，202018 年人均可支配收入比 2017 年增長  &#

38、160;             20.110.110%，5 (xi x )(ki k )1所以 c2i1510， (xi x )2i11log2c1 k c2 x 1.210×150.3，所以 c120.30.8，x所以 y0.8×210.當 x18 時，y0.8×2

39、1.80.8×3.52.8(萬元)即該市 2018 年人均可支配收入為 2.8 萬元(2)由題意知 2017 年時該市享受“國家精準扶貧”政策的學生有 200000×7%14 000 人，一般困難、很困難、特別困難的中學生依次有 7 000 人、4 200 人、2 800 人，0.8×21.80.8×21.70.8×21.7所以 2018 年該市特別困難的學生有

40、60;2 800×(110%)2 520 人很困難的學生有 4 200×(120%)2 800×10%3 640 人，一般困難的學生有 7 000×(130%)4 200×20%5 740 人所以 2018 年的“專項教育基金”的財政預算大約為 5 740×1 0003 640×15002 520×2 000

41、16 240 000(元)1 624(萬元)21十九大報告指出，必須樹立“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這一理念將進一步推動新能源汽車產業(yè)的迅速發(fā)展以下是近幾年我國新能源汽車的年銷量數據及其散點圖(如圖所示)：年份年份代碼 x新能源汽車的年銷量 y/萬輛201311.5201425.92015317.72016432.92017555.6(1)請根據散點圖判斷ybxa與ycx2d中哪個更適宜作為新能源汽車年銷量 y 關于年份代碼 x 的回歸方程模型；(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1

42、)的判斷結果及表中數據，建立 y 關于 x 的回歸方程，并預測 202022å (wi w )(yi y )年我國新能源汽車的年銷量(精確到 0.1)nå (wi w )2y    i1  (xii1cni1i附：令 wix2.55 (wii1 x )2 w )2    

43、0; ，d y c w .5 (xii1x )·(yiy )5 (wi w )·(yi y )i122.7210374135.2851.2å (wi w )æçy ö÷解(1)根據散點圖得，ycx2d更適宜作為年銷量 y 關于年份代碼 x 的回歸方程5è iy ø(2)依題意得，

44、 w              11，cå (wi w )214916255i15        851.2 374i12.28，則d y c w 22.722.28×112.36，y2.28x22.36.令 x8，則y2.28×642.36143.

45、56143.6，故預測 2020 年我國新能源汽車的年銷量為 143.6 萬輛考點 3獨立性檢驗231.比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計算 K2 的大小判斷：K2 越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大|(2)通過計算|adbc|的大小判斷：adbc|越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大2獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據制成 2×2 列聯(lián)表(2)根據公式 K2n(adbc)2計算 K2 的觀測值 k.(ab)(ac)(bd)(cd)(

46、3)比較觀測值 k 與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷(2018· 全國卷)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式為24比較兩種生產方式的效率，選取 40 名工人，將他們隨機分成兩組，每組 20 人第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(ab)(cd)(ac)(bd)(1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；(2)求 40 名工人完成生產任務所需時間的中位數&

47、#160;m，并將完成生產任務所需時間超過 m 和不超過 m 的工人數填入下面的列聯(lián)表：超過 m不超過 m第一種生產方式第二種生產方式(3)根據(2)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？n(adbc)2附：K2，nabcd.P(K2k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828.解(1)第二種生產方式的效率更高理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有 75%的工人完成生產任務所需時間至少 80 分鐘，用第二種生產方式的工人中，有&

48、#160;75%的工人完成生產任25務所需時間至多 79 分鐘因此第二種生產方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為 85.5 分鐘，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為 73.5分鐘因此第二種生產方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于 80 分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于 80 分鐘因此第二種生產方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在

49、莖 8 上的最多，關于莖 8 大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖 7 上的最多，關于莖 7 大致呈對稱分布又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少因此第二種生產方式的效率更高(以上給出了 4 種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)7981(2)由莖葉圖知 m280.列聯(lián)表如下：第一種生產方式第二種生產方式超過 m155不超過

50、60;m515(3)由于 K2               106.635，所以有 99%的把握認為兩種生40(15×155×5)220×20×20×20產方式的效率有差異26獨立性檢驗是判斷兩個分類變量之間是否有關系的一種方法在判斷兩個分類變量之間是否有關系時，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個分類變量是否有關系，而獨立性檢驗可以精確地得到可靠的結論教師備選例題(2017

51、83; 全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了 100 個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記 A 表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于 50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產量不低于 50 kg”，估計 A 的概率；27(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有 99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關；箱產量50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數的估計值(精確到 0.01)附：P(K2k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828(ab)(cd)(ac)(bd)n(adbc)2K2.C解(1)記 B 表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于 50 kg”， 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量