1、.二次函數(shù)與根的分布知識精講一二次函數(shù)與軸交點1拋物線與軸的交點：二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式斷定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點頂點在軸上拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離.2平行于軸的直線與拋物線的交點：可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，那么橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.3拋物線與軸兩交點之間的間隔 假設(shè)拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故：.二二次函數(shù)與一元二次方程根的分布問題如下表以為例：判別式:二次函數(shù)的圖象一元二次方程

2、:的根有兩相異實根有兩相等實根沒有實根三點剖析一考點：二次函數(shù)與軸交點問題，利用二次函數(shù)解決一元二次方程根的分布問題二重難點：1二次函數(shù)與軸交點問題即當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為一元二次方程；2在利用二次函數(shù)分析一元二次方程根的分布問題時要結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)來分析三易錯點：利用二次函數(shù)分析一元二次方程根的分布問題時首先確定開口方向，然后再結(jié)合函數(shù)的增減性，對稱軸的位置，函數(shù)值等因素最終確定一元二次方程根的分布情況題模精講題模一：根的分布問題例1.1.1 務(wù)實數(shù)的取值范圍，使關(guān)于的方程1有兩個實根，且滿足；2至少有一個正根；3方程一個根大于而小于，另一個根大于而小于【答案】 1；2；3【解析】 1設(shè)；那么有：，

3、解得：2可以利用韋達(dá)定理來解決此題由圖1、圖2，可得：；解得：由圖，可得：；解得：；由圖，可得：；解得：綜上可得3設(shè)；那么有：，解得例1.1.2 拋物線y=-x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x  -2 -1 0 1 2  y  0 4 6 6 4  從上表可知，以下說法正確的個數(shù)是拋物線與x軸的一個交點為-2，0；拋物線與y軸的交點為0，6；拋物線的對稱軸是x=1；在對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大A 1B 2C 3

4、D 4【答案】C【解析】 從表中知道：當(dāng)x=-2時，y=0，當(dāng)x=0時，y=6，拋物線與x軸的一個交點為-2，0，拋物線與y軸的交點為0，6，從表中還知道：當(dāng)x=-1和x=2時，y=4，拋物線的對稱軸方程為x=-1+2=0.5，同時也可以得到在對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大所以正確應(yīng)選C例1.1.3 二次函數(shù)y=x2+px+q中，由于二次項系數(shù)為10，所以在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，從而得到y(tǒng)越大那么x越小，在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而減大，從而得到y(tǒng)越大那么x也越大，請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：假設(shè)關(guān)于x的方程x2+px+q+1=0的兩個實數(shù)根是m、nmn，關(guān)于x的方程x2+px+q

5、5=0的兩個實數(shù)根是d、ede，那么m、n、d、e的大小關(guān)系是 A mdenB dmneC dmenD mdne【答案】B【解析】 二次函數(shù)y=x2+px+q+1圖象如下圖：結(jié)合圖象可知方程x2+px+q5=0的兩個實數(shù)根即為函數(shù)y=x2+px+q+1和y=6的交點，即dmne例1.1.4 二次函數(shù)a0的圖象過點，對稱軸為直線1求這個二次函數(shù)的解析式；2假設(shè)，直接寫出y的取值范圍；3假設(shè)一元二次方程，m為實數(shù)在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，直接寫出m的取值范圍【答案】 123【解析】 該題考察的是二次函數(shù)的根本性質(zhì)1對稱軸為直線，圖象過點 圖象過點 .1分設(shè)二次函數(shù)解析式為 .2分圖象過點 解得 即 2當(dāng)

6、時，當(dāng)時，當(dāng)， 3分 .4分3將一元二次方程看作二次函數(shù)，可知，由2可知m的取值范圍為 6分題模二：函數(shù)交點問題例1.2.1 函數(shù)的圖像與軸的交點坐標(biāo)為，0，0，且，那么該函數(shù)的最小值為 A 2B -2C 10D -10【答案】D【解析】 函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)為，0，0，與是的兩根， ，即，解得，拋物線解析式為，故最小值為例1.2.2 關(guān)于x的函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸只有2個交點，那么m=_【答案】 1或0或【解析】 解：1當(dāng)m-1=0時，m=1，函數(shù)為一次函數(shù)，解析式為，與x軸交點坐標(biāo)為，0；與y軸交點坐標(biāo)0,1，符合題意；2當(dāng)時，函數(shù)為二次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個交點，那么過原點，且與x軸有兩個不

7、同的交點，于是，解得，解得或?qū)⒋虢馕鍪降?，符合題意；3函數(shù)為二次函數(shù)時，還有另外一種情況是：與x軸只有一個交點，與y軸交于另一點，此時，解得例1.2.3 假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x1x2=m有實數(shù)根x1、x2，且x1x2，有以下結(jié)論：x1=1，x2=2；m；二次函數(shù)y=x1x2m的圖象對稱軸為直線x=1.5；二次函數(shù)y=x1x2+m的圖象與y軸交點的一定在0，2的上方其中一定正確的有只填正確答案的序號【答案】 【解析】 當(dāng)m=0時，x1=1，x2=2，所以錯誤；方程整理為x23x+2m=0，=3242m0，解得m，所以正確；二次函數(shù)為y=x23x+2m，所拋物線的對稱軸為直線x=1.5，所以

8、正確；當(dāng)x=0時，y=x23x+2+m=2+m，即拋物線與y軸的交點為0，2+m，而m，所以二次函數(shù)y=x1x2+m的圖象與y軸交點的一定在0，的上方，所以錯誤故答案為例1.2.4 關(guān)于x的方程1討論此方程根的情況；2假設(shè)方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；3假設(shè)拋物線與x軸的兩個交點之間的間隔 為3，求k的值【答案】 1見解析21；330；【解析】 該題考察的是二次函數(shù)與一元二次方程的綜合題1當(dāng)時，方程=0為一元一次方程，此方程有一個實數(shù)根；當(dāng)時，方程=0是一元二次方程，即， k為除外的任意實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根 2分綜上，無論k取任意實數(shù)，方程總有實數(shù)根2，= 方程的兩個根是整數(shù)根，且

9、k為正整數(shù)， 當(dāng)時，方程的兩根為，0；當(dāng)時，方程的兩根為， ，3 4分3 拋物線與x軸的兩個交點之間的間隔 為3，或當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上，-3 6分隨堂練習(xí)隨練1.1 “假如二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：假設(shè)m、nmn是關(guān)于x的方程1xaxb=0的兩根，且ab，那么a、b、m、n的大小關(guān)系是 A mabnB amnbC ambnD manb【答案】A【解析】 依題意，畫出函數(shù)y=xaxb的圖象，如下圖函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為a，bab方程1xaxb

10、=0轉(zhuǎn)化為xaxb=1，方程的兩根是拋物線y=xaxb與直線y=1的兩個交點由mn，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標(biāo)為m，右側(cè)為n由拋物線開口向上，那么在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，那么有ma；在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，那么有bn綜上所述，可知mabn隨練1.2 二次函數(shù)1當(dāng)時，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)；2假設(shè)時，該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，求c的取值范圍【答案】 1；2或【解析】 該題考察的是二次函數(shù)與x軸交點問題1由題意，得當(dāng)時，解得，該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為，. 2分2拋物線的對稱軸為3分 假設(shè)拋物線與x軸只有一個交點，那么交點為. 有，解得. 4分 假

11、設(shè)拋物線與x軸有兩個交點，且滿足題意，那么有 當(dāng)時， 0，解得. 當(dāng)時，解得. .6分綜上所述，c的取值范圍是或.隨練1.3 二次函數(shù)，a，b，c是常數(shù)中，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：假設(shè)，那么一元二次方程的兩個根，的取值范圍是 A ，B ，C ，D ，【答案】A【解析】 ，；由表中的數(shù)據(jù)可知，在與之間，故對應(yīng)的的值在與0之間，故隨練1.4 假設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，坐標(biāo)為m，0，n，0，且，圖象上有一點C3，P在x軸下方，那么以下判斷正確的選項是 A B C D 以上都不對【答案】D【解析】 A二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，坐標(biāo)為m，0，n，0，且，故A錯誤；B的符號不能確定

12、，B錯誤；C當(dāng)時，點C3，P在x軸下方，當(dāng)時，假設(shè)點在對稱軸的左側(cè)，那么，假設(shè)點在對稱軸的右側(cè)，那么，那么C錯誤隨練1.5 1關(guān)于x的方程有兩實根，一個根小于1，另一個根大于1，務(wù)實數(shù)k的取值范圍；2二次方程兩根，分別屬于和，求m的取值范圍【答案】 1或；2【解析】 1令，；由題，即或；2由題 ，那么，隨練1.6 假設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有兩個交點，那么a的值為_【答案】 ，或【解析】 關(guān)于x的函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有兩個交點，所以可以分如下三種情況：當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，有，此時，與坐標(biāo)軸有兩個交點；當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)，與x軸有一個交點，與y軸有一個交點；函數(shù)與x軸有一個交點，解得；函數(shù)為二次

13、函數(shù)時，與x軸有兩個交點，與y軸的交點和x軸上的一個交點重合，即圖象經(jīng)過原點，當(dāng)，此時，與坐標(biāo)軸有兩個交點隨練1.7 二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)為，那么以下結(jié)論：方程的兩根為，；當(dāng)時，；，；，其中正確結(jié)論的序號是_【答案】 【解析】 二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，即為令方程的兩個根，故該結(jié)論正確；由于k值不確定，所以拋物線的開口方向可能向下，故該結(jié)論不一定成立；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，那么，故該結(jié)論成立；，由于k的符號不確定，故該項錯誤隨練1.8 拋物線的對稱軸為，假設(shè)關(guān)于的一元二次方程在的范圍內(nèi)有兩個相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是 A B C 或D 或【答案】D【解析】

14、 由對稱軸可知，拋物線，令時，；時，；關(guān)于的一元二次方程在的范圍內(nèi)有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)時，即，此時，滿足題意；當(dāng)時，此時，在的范圍內(nèi)與軸有交點，；當(dāng)，此時或，不滿足題意；的范圍：或，應(yīng)選D隨練1.9 關(guān)于x的一元二次方程1求證：該方程必有兩個實數(shù)根2假設(shè)該方程只有整數(shù)根，求k的整數(shù)值3在2的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點A和BA在B左側(cè)，并且滿足，求m的非負(fù)整數(shù)值【答案】 1見解析231【解析】 該題考察的是一元二次方程綜合1該方程必有兩個實數(shù)根 -1分2 -3分方程只有整數(shù)根， 應(yīng)為整數(shù)，即應(yīng)為整數(shù)k為整數(shù) -4分3根據(jù)題意，即， -5分，此時， 二次函數(shù)為

15、二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點A和BA在B左側(cè)m為非負(fù)整數(shù)或 -6分當(dāng)時，二次函數(shù)為，此時， 不滿足 -7分當(dāng)時，二次函數(shù)為，此時， 滿足 -8分自我總結(jié) 課后作業(yè)作業(yè)1 假設(shè)、是一元二次方程的實根，且滿足，那么m的取值范圍是_【答案】 【解析】 該題考察的是一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系由題意，即二次函數(shù)與x軸的兩個交點橫坐標(biāo)分別為二次函數(shù)過點，故作業(yè)2 拋物線， 1假設(shè)，求該拋物線與軸公共點的坐標(biāo)；2假設(shè)，且當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍；3假設(shè)，且時，對應(yīng)的；時，對應(yīng)的，試判斷當(dāng)時，拋物線與軸是否有公共點？假設(shè)有，有幾個，證明你的結(jié)論；假設(shè)沒有，闡述理由【答案】 1解析式

16、為；公共點坐標(biāo)為和2或3在范圍內(nèi)，該拋物線與軸有兩個公共點【解析】 該題考察的是二次函數(shù)綜合1當(dāng)，時，拋物線為，方程的兩個根為， 該拋物線與軸公共點的坐標(biāo)是和 12當(dāng)時，拋物線為，且與軸有公共點對于方程，判別式0，有 2當(dāng)時，由方程，解得此時拋物線為與軸只有一個公共點 3當(dāng)時， 時，時，由時，該拋物線與軸有且只有一個公共點，考慮其對稱軸為，應(yīng)有 即解得綜上，或 43對于二次函數(shù)，由時，；時，又，于是而，即 5關(guān)于的一元二次方程的判別式拋物線與軸有兩個公共點，頂點在軸下方6又該拋物線的對稱軸，由，得， .7又由時，；時，觀察圖象，可知在范圍內(nèi)，該拋物線與軸有兩個公共點 8作業(yè)3 以下關(guān)于函數(shù)的圖

17、象與坐標(biāo)軸的公共點的情況：當(dāng)時，有三個公共點；時，只有兩個公共點；假設(shè)只有兩個公共點，那么；假設(shè)有三個公共點，那么其中描繪正確的選項是 A 一個B 兩個C 三個D 四個【答案】A【解析】 令，可得出，當(dāng)，時，函數(shù)是一次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個交點，故錯誤；當(dāng)時，與x軸有一個公共點，與y軸有一個公共點，總共兩個，故正確；假設(shè)只有兩個公共點，或，故錯誤；綜上只有正確作業(yè)4 二次函數(shù)與x軸交于，兩點，其中點是個定點，分別在原點的兩側(cè)，且，那么直線與x軸的交點坐標(biāo)為_【答案】 或【解析】 ，分別在原點的兩側(cè)， 點在左側(cè)，且，設(shè)，那么，二次函數(shù)與x軸的交點就是方程的根，解得或；當(dāng)時， 直線為直線，與x軸的交

18、點坐標(biāo)為；當(dāng)時， 直線為直線，與x軸的交點坐標(biāo)為不合題意舍去；故直線與x軸的交點坐標(biāo)為作業(yè)5 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：1當(dāng)拋物線經(jīng)過點-5，6時，求拋物線的表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；2假設(shè)拋物線：與x軸的交點的橫坐標(biāo)都在和0之間不包括-1和0，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍；3參考2小問考慮問題的方法解決以下問題：關(guān)于x的方程在范圍內(nèi)有兩個解，求的取值范圍【答案】 1，頂點坐標(biāo)為-2，-3；2；3【解析】 1拋物線經(jīng)過點-5，6，解得拋物線的表達(dá)式為 拋物線的頂點坐標(biāo)為-2，-3；2拋物線：與x軸的交點的橫坐標(biāo)都在和0之間，當(dāng)時，且，即，解得：；3方程的解即為方程的解，而方程的解即為拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)方程在范圍內(nèi)有兩個解，當(dāng)時，時，且，即解得：作業(yè)6 關(guān)于的一元二次方程有兩個不等的實根，1求的取值范圍；2假設(shè)取小于的整數(shù)，且此方程的解為整數(shù)，那么求出此方程的兩個整數(shù)根；3在2的條件下，二次函數(shù)與軸交于A、B兩點A點在B點的左側(cè)，D點在此拋物線的對稱軸上，假設(shè)，求點D的坐標(biāo)【答案】 12，3或【解析】 該題考察的是二次函數(shù)綜合1方程有兩個不等的實根， 1分即解得2分2取小于1的整數(shù)或 3分