1、 單單 相相 交交 流流 電電 路路電壓、電流的大小和方向不隨時間變化的，被稱為直流電（DC），函數(shù)波形如圖2.1所示。把電壓、電流的大小和方向隨時間按正弦規(guī)律變化的稱為正弦交流電，簡稱交流電（AC），函數(shù)波形如圖2.2所示。 圖2.1圖2.2本本 章章 內(nèi)內(nèi) 容容1.1 交流電的基本概念交流電的基本概念2.2交流電的相量表示交流電的相量表示3.3 單一參數(shù)的交流電路單一參數(shù)的交流電路1.1 交流電的基本概念交流電的基本概念一般把這些按正弦規(guī)律變化的電壓和電流統(tǒng)稱為正弦量。如圖1-1所示，要確切描述一個正弦量，需要三個參數(shù)，電路中把它們稱為頻率、幅值和初相位，我們把這三個參數(shù)也統(tǒng)稱為正弦交流電

2、的三要素。1.1 正弦交流電三要素正弦交流電三要素圖1-1 （1） 頻率、周期和角頻率正弦量完成一個循環(huán)所需要的時間，稱為周期，用T表示，單位為秒（s）。把每秒完成循環(huán)的次數(shù)，稱為頻率，用f表示，單位為赫（Hz）。根據(jù)定義可知，頻率f與周期T的關(guān)系為 角頻率是指正弦量在一秒內(nèi)轉(zhuǎn)動的弧度數(shù)，單位為弧度/秒（rad/s）。根據(jù)定義，有 1fT22fT【例1.1】我國的工業(yè)頻率為50Hz,那么它的周期等于多少？角頻率等于多少？【解】T=1/f=1/50=0.02s=2f=23.1450=314rad/s (2) 幅值正弦量的時域函數(shù)能表示出它的瞬時值，電路中規(guī)定用小寫字母表示，如電流、電壓和電動勢的

3、瞬時值分別用i、u和e表示。我們把瞬時值中最大的數(shù)值稱為最大值，也稱幅值，用帶有下標(biāo)（m）的大寫字母表示，如電流、電壓和電動勢的最大值分別用Im、Um和Em表示。 （3） 相位、初相位和相位差 例如，正弦交流電流可用三角函數(shù)式表示。即i=Imsint顯然它的初始值為零，即：i (t=0) =0正弦交流電壓也可用三角函數(shù)式表示，即：u=Umsin (t+)顯然它的初始值不等于零,即u (t=0) =Umsin為了與空間角相區(qū)別,把t+稱為正弦量的相位,它是隨時間變化的量,反映正弦量的變化進程。把t=0時的相位稱為初相位，簡稱初相，它反映計時起點的正弦量的值。我們把兩個同頻率正弦量的相位之差或初相

4、位之差，稱為相位差，用表示。對于上面兩個正弦量，電壓u和電流i的相位差為：=(t+u)-(t+i)=u-i當(dāng)0，如圖2.4所示，電壓的相位超前電流的相位，說明電壓比電流先達到正的最大值；反過來說,電流滯后電壓角。 當(dāng)=0，如圖2.5所示，說明電壓與電流同時達到正的最大值，這種情況被稱為同相。 當(dāng)=，如圖2.6所示，電壓達到正的最大值時電流達到負的最大值，這種情況被稱為反相。當(dāng)=/2，如圖2.7所示，電壓比電流超前/2達到正的最大值，這種情況被稱為正交。 圖2.4 圖2.5 圖2.6 圖2.7 1.2 正弦量的有效值正弦量的有效值有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)（即電能轉(zhuǎn)化為熱能）得出的?，F(xiàn)將兩個阻值相

5、同的電阻分別通以交流電流i和直流電流I，如果在交流電的一個周期T內(nèi)，兩個電阻消耗的電能相等，即產(chǎn)生的熱量相同，那么這個直流電流的數(shù)值就是這個交流電流的有效值。在直流電路中，電阻在一個周期時間內(nèi)消耗的電能為WD=I2RT同樣，在交流電路中，電阻在一個周期內(nèi)消耗的電能為 20TAWi Rdt根據(jù)定義，即兩個電阻消耗的電能相同，有WD=WA所以有 假設(shè)i=Imsint,則有 如果電壓和電動勢是按正弦規(guī)律變化的，則同理可得220TI RTi Rdt222mm00I11I sin2TTIi dttdtTTm2UU m2EE 【例1.2】正弦交流電壓和正弦交流電流的瞬時值表達式分別為：u=311sin(3

6、14t-60) Vi=2.828sin(314t+30) A試求u和i的最大值、有效值、頻率、初相位及相位差?！窘狻侩妷旱姆礥m=311V有效值 電流的幅值Im=2.828A m3112201.4142UUV有效值 它們的頻率 初相位分別為u=-/3 i=/6相位差為=u-i=-/3-/6=-/2 m2.82821.4142IIA3145022 3.14fHz2.2 交流電的相量表示交流電的相量表示用代數(shù)形式表示時，有A=a+jb用三角形式表示時，有A=|A|(cos+jsin)用指數(shù)形式表示時，根據(jù)歐拉公式有A=|A|ej=|A|(cos+jsin)設(shè)有兩復(fù)數(shù)分別為：A=a1+jb1 B=

7、a2+jb2 2.2.1 復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識則它們的相加、相減運算為：AB=(a1a2)+j(b1b2)復(fù)數(shù)的相加和相減運算也可以在復(fù)平面內(nèi)用作圖的方法，作圖計算遵循平行四邊形法則，如圖2.8(a)、(b)所示。 圖2.8 而復(fù)數(shù)的指數(shù)形式便于復(fù)數(shù)的乘除運算。設(shè)有兩復(fù)數(shù)分別為：A=|A|ej1B=|B|ej2那么它們的乘除運算為：AB=|AB|ej(1+2)A/B=|A/B|ej(1-2) 例題（一）：化下列復(fù)數(shù)為直角坐標(biāo)形式。（1）A=10 30，（2）A=6 60。解：（1）A=10 30 =10（cos30 +jsin30 ) =8.66+j5。 （2）A= 6 60 = 6（

8、cos60 +jsin60 ) =3+j2.598。例題（二 ）：化下列復(fù)數(shù)為極坐標(biāo)形式。（1）A=3+j4（2）A=6-j8解：（1）A=3+j4= arctg =5 53.12243 34。（2）A=6-j8= arctg =10 -53.12286 68。2.2.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示假設(shè)有一正弦電壓u=Umsin(t+u)另有一復(fù)數(shù)為 A(t)=Umej(t+u) =Umcos(t+u)+jUmsin(t+u)很顯然 ujj tmmu=I A(t)=I 2Uee其復(fù)常數(shù)部分Ueju包含了正弦量的有效值和初相位，我們把這個復(fù)數(shù)稱為正弦量的相量，則有 復(fù)數(shù)可以在復(fù)平面上用向量

9、來表示。正弦量的相量也可以在復(fù)平面上表示，我們把這種表示相量的圖稱為相量圖。如圖2.9所示，圖中左邊為旋轉(zhuǎn)相量，右邊為正弦量的波形圖。 ujU=Ue圖2.9 【例2.3】正弦電壓和正弦電流分別為：u=311sin(t+90) Vi=14.1sint A(1) 試寫出u、i的有效值、初相位及相位差；(2) 畫出u、i的相量圖?！窘狻?1) 電壓和電流的有效值分別為U=311/1.414=220 V,I=14.1/1.414=10 A 初相位分別為u=/2,i=0相位差=u-i=/2(2) u和i的相量圖如圖2.10所示。 圖2.10 【例2.4】有三個正弦電壓，分別為：u1=311sint Vu

10、2=311sin(t-120) Vu3=311sin(t+120) V(1) 試寫出u1、u2、u3的有效值、初相位；(2) 畫出u1、u2、u3的相量圖；利用相量圖求出它們的和u?！窘狻?1) 它們的有效值相同都為220V。初相位分別為1=0,2=-2/3,3=2/3 (2) 電壓和電流的相量圖如圖2.11所示，在圖中用平行四邊形法則可以求出。用相量表示 用瞬時值表示u=u1+u2+u3=0 圖2.11 123U=U +U +U =0i1=6 cos(t+ )A，i2= 4 cos(t+ )A；22例 已知 64求: (i1 + i2 ),(i1 - i2)。 解：由于i1 、i2的角頻率相

11、同，所以可用相量法計算。 i1 , i2對應(yīng)的相量分別為：?1=6 A ，?2=4 A63而i= i1 +i2 對應(yīng)的相量為：? = ?1 + ?2 = ( + )=(5.196+j3+2+j3.464)A63=(7.196+j5.464) A=9.67 41.9 A。所以 i= i1 +i2 =9.67 cos(t+41.9 )A。2。所以 = i1 -i2 =3.23 cos(t-8.26 )A2i = (6 -4 )A=(3.196-j0.464)A632.1.III 2.3 單一參數(shù)的交流電路單一參數(shù)的交流電路只有電阻元件的電路稱為純電阻電路。如白熾燈、電熱器等都可以近似為電阻性元件。

12、（1） 電壓與電流的關(guān)系圖2.12為純電阻元件的正弦交流電路，在電阻兩端加正弦交流電壓u=Umsint，電壓和電流參考方向如圖所示，則根據(jù)歐姆定律有 2.3.1 純電阻電路純電阻電路圖2.12 mui=IRImUSin tSin tRU可得 =R綜上所述，純電阻電路中電壓和電流有如下關(guān)系： 電阻不改變電路的頻率，電阻的電壓和電流的頻率都與電源頻率相同。 數(shù)值上，電壓和電流的最大值、有效值、瞬時值符合歐姆定律。 相位上，電壓和電流的相位差為0，即同相位。電阻兩端的電壓和電流的相量圖和波形圖分別如圖2.13(a)、(b)所示。圖2.13 （2） 電功率計算 瞬時功率瞬間電壓和電流的乘積，即瞬時功率

13、，用小寫字母p來表示，單位為瓦（W）或千瓦（kW）。那么p=ui=UmsintImsint=UI(1-cos2t) 波形如圖2.14所示，從圖中可以看出，瞬時功率p0。圖2.14 平均功率平均功率是指電能在一個周期內(nèi)的平均值，也稱有功功率，用大寫字母P來表示。即：由式（2.10）和歐姆定律可得 0011P(1 cos)TTTTpdtUIt dtUI22PUUII RR【例2.5】一個220V、100W的電熨斗接于220V、50Hz的電源上，試求：(1) 通過電熨斗的電流有效值I，如假設(shè)電源電壓的初相位為30，寫出電流的瞬時值表達式；(2) 若電熨斗平均每天使用半小時，每月消耗的電能為多少？（每

14、月按30天計算）【解】(1)I=P/U=100/220=0.45A=2f=23.1450=314rad/s如電壓初相位為30，那么電流的初相位也為30，所以有i=0.451.414sin314t+30(2) 每月消耗的電能W=Pt=0.10.530=1.5kWh 2.3.2 純電感電路純電感電路只有電感元件的電路，稱為純電感電路，如熒光燈的鎮(zhèn)流器，假設(shè)電阻為零，可以認為是純電感線圈；理想變壓器空載運行時，可以認為是純電感電路。（1） 電壓與電流的關(guān)系如圖2.15所示，假設(shè)流過線圈的電流i=Imsint那么在線圈中將產(chǎn)生自感電動勢eL=-Ldi/dt 圖2.15由基爾霍夫電壓定律可得令XL=L=

15、2f L，稱為感抗，單位為歐姆，那么Um=ImXL式（2.12）兩邊同除以1.414，可得U=IXL mmm(I sin)I cosI sin()sin()22tmdiueLLtLtdtLtUt 綜上所述，可得： 純電感元件不改變電路的頻率，電感上的電壓和電流的頻率都與電源頻率相同。 純電感電路中，電壓相位超前電流相位/2。 純電感電路中，電壓和電流的有效值和最大值符合歐姆定律；而它們的瞬時值是微分關(guān)系。電感兩端電壓和電流的相量圖和波形圖如圖2.16(a)、(b) 所示。圖2.16 （2） 電路的功率 瞬時功率電感上的瞬時功率是指電感兩端的電壓瞬時值與通過它的電流瞬時值的乘積。即： 顯然，瞬時

16、功率是隨時間按正弦規(guī)律變化的，而且其頻率是電源頻率的兩倍；波形如圖2.17所示。msin() I sinIsin22mPuiUttUt圖2.17 有功功率由功率的波形圖可以看出，在一個周期內(nèi)橫軸上方和下方的面積相等，即電感吸收和釋放的能量相等，從而可知，有功功率為零。數(shù)學(xué)推導(dǎo)如下： 0011Psin0TTTTpdtUItdt 無功功率無功功率是用來反映電感元件與外部電路能量互換規(guī)模的大小。無功功率的大小等于電感兩端的電壓有效值與通過其電流的有效值的乘積。用QL來表示，單位為乏（var）、千乏（kvar）。由無功功率的定義和歐姆定律，可得22LQLLLLUU II XX（3） 電感的磁場能量由上

17、所述，可知電感線圈不消耗能量，而是把吸收的能量轉(zhuǎn)化為磁場能量存儲起來，假設(shè)在開始時刻，電流為零，即i(t=0)=0A。用W表示電感的磁場能量，那么有 ( )00(0)222( )( )( )( )( )111( )(0)( )222tti tidiWpdLidLididLi tLiLi t【例2.6】將一個12.75mH的電感線圈接于220V、50Hz電源上。（1）試求線圈的感抗、電流的有效值；如電源的初相位為零，寫出電流的瞬時值表達式;畫出電流和電壓的相量圖，計算電路的無功功率。(2) 如將電源的頻率變?yōu)?000Hz，再求線圈的感抗和電流的有效值?！窘狻?1) XL=2fL=23.14501

18、2.7510-3=4I=U/XL=220/4=55A 因為電流初相位為零，由前面可知角頻率為314rad/s,所以瞬時值表達式為i=551.414sin314t A相量圖如圖2.18所示。電路的無功功率QL=ULI=22055=12100var(2) 如將電源的頻率變?yōu)?000Hz,那么XL=2fL=23.14100012.7510-3=80I=U/XL=220/80=2.75A 圖2.182.3.3 純電容電路純電容電路（1） 電容的基本知識電容是反映電容器存儲電荷能力的物理量，用大寫字母C表示。它的單位是法拉（F）。在電容器兩端加電壓為U的電源后，電容器兩極板上便儲存了等量異種電荷Q，如果

19、電容器的電容為C，那么U、Q和C的關(guān)系為： QCU（2） 電容器的電壓與電流的關(guān)系如圖2.19所示為一純電容電路，電壓和電流的參考方向如圖所示。假設(shè)加在電容器兩端的正弦交流電壓為：u=Umsint那么，電容器極板上的電量為:q=Cu=CUmsint圖2.19mmm(sin)cossin()sin()22tmduiCC UtCUtdtCUtIt根據(jù)電流的定義，通過電容的電流為：式中：Im=CUm令XC=1/C=2fC，XC稱為容抗，單位為歐姆。Um=ImXC上式兩端同除以1.414，可得U=IXC綜上所述，可得： 純電容元件不改變電路的頻率，電容上的電壓和電流的頻率都與電源頻率相同。 純電容電路

20、中，電流相位超前電容器兩端電壓相位/2。 純電容電路中，電流和電壓的有效值和最大值符合歐姆定律；而它們的瞬時值是一種微分關(guān)系。電容兩端電壓和電流的相量圖和波形圖如圖2.20(a)、(b)所示。圖2.20 （3） 電容的電功率 瞬時功率電容元件的瞬時功率是指電容器兩端的電壓與通過它的電流瞬時值的乘積。即： p=ui=UmsintImsin(t+/2) =UIsin2t顯然，瞬時功率是隨時間按正弦規(guī)律變化的，且其頻率是電源頻率的兩倍；波形如圖2.21所示。 圖2.21 有功功率由功率波形圖可以看出，在一個周期內(nèi)橫軸上方和下方的面積相等，即電容吸收和釋放的能量相等，從而可知，有功功率為零。數(shù)學(xué)推導(dǎo)如

21、下： 0011Psin20TTTTpdtUItdt 無功功率電容的無功功率是用來反映電容元件與外部電路能量互換規(guī)模的大小。無功功率的大小等于電容兩端的電壓的有效值與通過其電流的有效值的乘積。用QC來表示，單位為乏（var）、千乏（kvar）。由無功功率的定義和歐姆定律，可得22CQCCCCUU II XX（4） 電容的電場能量由上所述，可知電容元件不消耗能量，而是把吸收的能量轉(zhuǎn)化為電場能量存儲起來，假設(shè)在開始時刻，電壓為零，即u(t=0)=0 V。用W表示電容的電場能量，那么有 ( )00(0)222( )( )( )( )( )111( )(0)( )222tti tiduWpdCudCud

22、udCu tCuCu t【例2.7】將一個636F的電容接于電壓u=311sin(314t+30)電源上。(1) 試求電容的容抗，通過電容的電流的有效值，寫出電流的瞬時值表達式，畫出電流和電壓的相量圖，計算電路的無功功率。(2) 如將電源的頻率變?yōu)?00Hz，再求電容的容抗和電流的有效值?！窘狻?1) XC=1/(2fC) = 1/(23.145063610-6)=5 I=U/XC=311/(3.4145)=44A 因為電容的電流相位超前電壓90,所以有i=443.414sin(314t+120) A相量圖如圖2.22所示。QC=UCI=22044=9680var(2) XC=1/(2fC)=

23、1/(23.1450063610-6) =0.5I=UXC =311/(3.4140.5) =440A 圖2.22 2.4 提高功率因數(shù)的意義和方法提高功率因數(shù)的意義和方法（1） 總電壓與電流的關(guān)系如圖2.23所示，由于電阻R與電感L串聯(lián)，電流相同。假設(shè)電流i=Imsint由歐姆定律，可得電阻上的電壓為uR=iR=ImRsint由上節(jié)知識可知，電感上的電壓uL=ImXLsin(t+/2) 2.4.1 電阻與電感的串聯(lián)電路電阻與電感的串聯(lián)電路圖2.23根據(jù)基爾霍夫電壓定律，總電壓為：u=uR+uL=ImRsint+ImXLsin(t+/2) 三角函數(shù)計算非常繁瑣，利用相量計算，所以有作相量圖2.24，利用平行四邊形法則，把電阻和電感的電壓相量合成，便可得到總電壓的相量，顯然電壓相量。RU=U +UL圖2.24由相量圖可得 因為電阻和電感元件的電流和電壓的有效值符合歐姆定律，所以有稱為阻抗，單位為歐姆，顯然阻抗Z、電阻R和阻抗XL也組成一個三角形，稱為阻抗三角形，如圖2.25所示。 22RLUUU222222()()RLLLUUUIRIXIRXIZ22LZRX圖2.25