1、3.1.4 3.1.4 空間向量的正交分解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示及其坐標(biāo)表示,p,xypxayb.a ba b 如果兩個(gè)向量不共線，則向量 與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) ， ，使共線向量定理共線向量定理:共面向量定理共面向量定理:0/ /a.a b babb 對(duì)空間任意兩個(gè)向量 、 （），的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使 1211212212e eaaee .e e 如果 ，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， ，使 （ 、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.）xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij 我們知道，平

2、面內(nèi)的任意一個(gè)向量我們知道，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量 都可以用兩個(gè)不共都可以用兩個(gè)不共線的向量線的向量 來(lái)表示（平面向量基本定理）來(lái)表示（平面向量基本定理）. .對(duì)于空間任意一對(duì)于空間任意一個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？, a b p xyzOijkQPp 給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量 且設(shè)且設(shè) 為空間兩兩垂直的向量，為空間兩兩垂直的向量，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q Q為點(diǎn)為點(diǎn)P P在在 所確定平面上的所確定平面上的正投影正投影p ,ij k , i j 由平面向量基本定理有由平面向量基本定理有,zkOQ實(shí)數(shù)存在所確定的平面上在, ,i jx y 在所確定的平面上 存

3、在實(shí)數(shù)jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知, ,如果如果 是空間兩兩垂直的向量是空間兩兩垂直的向量, ,那么那么, ,對(duì)空間對(duì)空間任一向量任一向量 , ,存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組 x,y,zx,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量上的分向量. ., ,i j k P .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c , , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個(gè)向量 , ,不共面,那么所有

4、空間向量組 成的集合就是這個(gè) 集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個(gè)基底注注: : 如果三個(gè)向量如果三個(gè)向量 不共面不共面, ,那么對(duì)空間任一那么對(duì)空間任一向量向量 , ,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組x,y,zx,y,z使使, ,a b c P .pxaybzc 探究：探究：在空間中在空間中, ,如果用任意三個(gè)不共面向量如果用任意三個(gè)不共面向量 代替兩兩代替兩兩垂直的向量垂直的向量 , ,你能得出類似的結(jié)論嗎？你能得出類似的結(jié)論嗎？, ,a b c , ,i j k （1 1）任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底）任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底. .特別提示：特別提示：對(duì)

5、于基底對(duì)于基底a,b,c,a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b,ca,b,c不共不共面面, ,還應(yīng)明確：還應(yīng)明確：（2 2）由于可視）由于可視 為與任意一個(gè)非零向量共線為與任意一個(gè)非零向量共線, ,與任意兩與任意兩個(gè)非零向量共面?zhèn)€非零向量共面, ,所以三個(gè)向量不共面所以三個(gè)向量不共面, ,就隱含著它們都就隱含著它們都不是不是 . .00（3 3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組, ,一個(gè)基向量是指基底中一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量的某一個(gè)向量, ,二者是相關(guān)連的不同概念二者是相關(guān)連的不同概念. .推論：推論：設(shè)設(shè)O O、A A、B B、C C是不共線的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)是

6、不共線的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,zx,y,z，使，使 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1x+y+z=1時(shí)，時(shí)，P P、A A、B B、C C四點(diǎn)共面。四點(diǎn)共面。.OPxOAyOBzOC 二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：?jiǎn)挝徽换祝喝绻臻g的一個(gè)基底的三個(gè)如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1 1，則這個(gè)基底叫做，則這個(gè)基底叫做單位正交基底單位正交基底, ,常用常用e e1 1 , e , e2 2 , e , e3 3 表示表示 空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)在空間選

7、定一點(diǎn)O O和一個(gè)單位和一個(gè)單位正交基底正交基底 e e1 1,e,e2 2,e,e3 3 , ,以點(diǎn)以點(diǎn)O O為原點(diǎn)，分別以為原點(diǎn)，分別以e e1 1,e,e2 2,e,e3 3的的方向?yàn)榉较驗(yàn)閤 x軸、軸、y y軸、軸、z z軸的正方向，建立一個(gè)空間直角軸的正方向，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系O-xyzO-xyzxyze1e2e3O121323112233,.e e e e eee e ee ee 計(jì)算單位正交基之間的數(shù)量積 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間任一向中，對(duì)空間任一向量量 ,平移使其起點(diǎn)與原點(diǎn)平移使其起點(diǎn)與原點(diǎn)o重合重合,得到向量得到向量OP=P由空間向量基

8、本定理可知由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z使使 P =xe1+ye2+ze3 此時(shí)向量此時(shí)向量P的坐標(biāo)恰是點(diǎn)的坐標(biāo)恰是點(diǎn)P在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)(x,y,z)，其中，其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的橫坐的橫坐標(biāo)，標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫叫做點(diǎn)做點(diǎn)P的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo).xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O x y z 中，對(duì)空間任一點(diǎn)中，對(duì)空間任一點(diǎn)P, 對(duì)應(yīng)一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)向量 ,于是存在唯一的

9、有序?qū)崝?shù)組于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使使 (如圖如圖).OP 123OPxeyeze 顯然顯然, 向量向量 的坐標(biāo)，就是點(diǎn)的坐標(biāo)，就是點(diǎn)P在此空間直角在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).OP xyzOP(x,y,z) 也就是說(shuō)也就是說(shuō), ,以以O(shè) O為起點(diǎn)的有向?yàn)槠瘘c(diǎn)的有向線段線段 ( (向量向量) )的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系坐標(biāo)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, ,從而從而互相轉(zhuǎn)化互相轉(zhuǎn)化. . 我們說(shuō)我們說(shuō),點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y,z),記作記作P(x,y,z)，其中，其中x叫叫做點(diǎn)做點(diǎn)P的的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo).e1e2e3例題講解例題講解11