1、隨機過程期末考試卷1. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為九的泊松分布，則X的特征函數(shù)為。2. 設(shè)隨機過程X(t)=Acost+),-o)vtva)其中為正常數(shù)，A和是相互獨立的隨機變量，且A和服從在區(qū)間0,1上的均勻分布，則x(t)的數(shù)學(xué)期望為。3. 強度為入的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從均值為_的同一指數(shù)分布。4. 設(shè)W,n>1是與泊松過程X(t),t>0)對應(yīng)的一個等待時間序列，則w服nn從分布O5. 袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回,廠t/對每一個確定的t對應(yīng)隨機變量x(o=?如果/時取得紅球，則這個隨機過et,如果/時取得白球程的狀態(tài)

2、空間。6. 設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(P.),*步轉(zhuǎn)移矩陣P(n)=(p(n),二者之間1Jij的關(guān)系為O7. 設(shè)X,n>0)為馬氏鏈，狀態(tài)空間I,初始概率p廣P(X°二i),絕對概率p(n)=px=j,n步轉(zhuǎn)移概率p(m,三者之間的關(guān)縈為°。jnij8.設(shè)X(t)9t>0是泊松過程，且對于任意t>t>0則21PX(5)=61X(3)=4=9. 更新方程KG)=HG)+KG-S加(s)解的一般形式為c010. 記pi=EX,對切oAO,當(dāng)ttoo時，M(t+a)-M(0得分評卷人證明題(本大題共4道小題,每題8分,共32分)1. 設(shè)A,B,C為

3、三個隨機事件，證明條件概率的乘法公式:P(BC|A)=P(B|A)P(C|AB)。2. 設(shè)X(t),t>0是獨立增量過程，且X(0)=0,證明X(t),t>0是一個馬爾科夫過程。3. 設(shè)X,n>0)為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為I,則對任意整數(shù)n>O,l<l<n和ni, jel,n步轉(zhuǎn)移概率p(n)=Xp(i)p(n-i),稱此式為切普曼一科爾莫哥洛夫方程,ijikkjkel證明并說明其意義。4. 設(shè)N(t),t>0是強度為九的泊松過程，Y,k=l,2,.是一列獨立同分布隨機變k量，且與N(t),t>0獨立，令X(t)二眷Y,tO,證明：若玖Y2V00

4、),貝Ik1k二1Ex(t)=XtEYo得分評卷人三、計算題(本大題共4道小題,每題8分,共32分)共6頁第10頁2/3，求其平穩(wěn)分布。2/3,'1/32/31.設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為p=1/3001/32. 設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2分鐘內(nèi)到達(dá)的顧客不超過3人的概率。3. 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為0C,而今天無雨明天有雨的概率為0;規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0,無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)01=0.7,卩=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。4. 設(shè)有四個狀態(tài)1=0,1,2,3)的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)

5、移概率矩陣oOXOMXXO%O(1) 畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；(2)對狀態(tài)進(jìn)行分類；(3)對狀態(tài)空間I進(jìn)行分解。得分評卷人四、簡答題（本題6分）簡述指數(shù)分布的無記憶性與馬爾科夫鏈的無后效性的關(guān)系。一.填空題1.4.r5.t,t,C,e2>o6.P(n)=Pn。7.p(n)=工p-p(n)ojiijiel112._-(sin(Dt+l)-sincot)。3.2X8.18e-69OkC)=hC)+VkC-10.0二證明題1.證明：左如綜+篇鵲=P(C|AB)P(B|A)二右邊證明：當(dāng)Ovt<t<<t<t時，12nP(X(t)<X|X(t)=x,X(t)=x,X(t)=x

6、)='ll22nnP(X(t)-X(t)<x-x|X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x)=nn11122nnP(X(t)-X(t)<x-x),又因為nnP(X(t)<x|X(t)=x)=P(X(t)-X(t)<x-x|X(t)=x)=nnnnnnP(X(t)-X(t)<x-x),故nnP(X(t)<xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=P(X(t)<X|X(t)=x)1122nnnn3.證明：P(n)=px(n)=j|X(O)=iLPX(n)=j,|JX(l)=k|X(O)=i=Ikel丿工px(n)=

7、j,X(l)=k|X(O)=i二工Px(l)=k|X(O)=iIpx(n)=j|X二k,X(O)=i二工P(i)P(n-i),其意義為n步轉(zhuǎn)ikkjkel移概率可以用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。4.證明：由條件期望的性質(zhì)Ex(t)=EX(t)|N(t),而EX(t)|N(t)=n=E2y|N(t)=n一i=l=n=ESy；i一Li=l二E丫Y|N(t)iLi=l=nE(Y),所以Ex(t)=XtEYo1三計算題（每題10分，共50分）1.解：2331-31-32-3112KKK1-32-32-3解方程組冗二燈和丫故平穩(wěn)分布為兀=(7,7,7)124解得Ki=7,712=73=72解設(shè)Ng0是顧客

8、到達(dá)數(shù)的泊松過程,"2,故PN賂告斗則pn(2)<3=P(N(2)=0+Pn(2)=1+P(N(2)=2+Pn(2)=3=e-4+4e-4+8e-4+3271e-4=e-4330.610.39'0.57490.425P(2)二PP=0.520.48,四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P二P（2）P二0.56680.4332從3.解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=PP0.70.3_0001P0.40.6,于是而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為P=0.5749o004.解：（1）圖略；（2）p=1,而卩，p,p均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài),33303132記q=3；0,1兩個狀態(tài)互通，且它們不能到