1、第12章：參數(shù)模型功率譜估計12.1 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：該參數(shù)模型的思路是：（1）假定所研究的過程 由一個輸入序列 激勵一個線性系統(tǒng)的 輸出，如圖：（2）由已知的 ，或者其自相關(guān)函數(shù) 來 估計 的參數(shù)。)(nx)(nu)(zH)(nx)(nu)(zH)(nx mrx)(zH12.1 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：（3）由 的參數(shù)來估計 的功率譜。 不論 是確定性信號還是隨機信號，對上圖所示的線性系統(tǒng)， 和 之間總有如下的輸入輸出關(guān)系： )(zH)(nx)(nx)(nx)(nu010)()()(:)()()(kpkqkkkknukhnxknubknxanx及(12.1.1) (12.1.2 )1

2、2.1 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：對上式兩邊分別取z變換，并假定 ，可得：1ob011)()(1)(1)()()()(kkqkkkpkkkzkhzHzbzBzazAzAzBzH其中：(12.1.3)(12.1.4a)(12.1.4b )(12.1.4c )12.1 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：為了保證 是一個穩(wěn)定的且是最小相位系統(tǒng)， ， 的零點都應(yīng)在單位圓內(nèi)。假定 是一個方差為 的白噪聲序列，由隨機信號通過線性系統(tǒng)的理論可知，輸出序列 的功率譜：2222| )(| )(|)()()()()(jjjjjjjxeAeBeAeAeBeBeP（12.1.5）)(zH)(zA)(zB)(nu2)(nx12.1

3、 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：AR模型：在 中，如果：（1） 全為零，那么 ， ， 分別變成：qbbb,.,21（12.1.1）(12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)pkkjkjxpkkkpkkeaePzazAzHnuknxanx12211|1|)(11)(1)()()()(12.1.6)(12.1.7)(12.1.8)12.1 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：MA模型：（2） 全為零，那么 ， ， 全變成： (12.1.1)(12.1.3)(12.1.5)paaa,.,21qkkjkjxkqkkqkkqkkebePzbzBzHbknxbnuknxbnx1221011|1 |)(1)()(1,

4、)()()()(12.1.9)(12.1.10)(12.1.11)12.1 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型：ARMA模型：（3）若 ， 不全為零，則 給出的模型為自回歸移動平均模型，簡稱ARMA模型，顯然此模型是一個既有極點，又有零點的模型?？偨Y(jié)： 由于ARMA模型是一個極零模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。AR模型易反映譜的中峰值，而MA模型易反映譜中的谷值。paaa,.,21qbbb,.,21(12.1.1)12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算 假定 、 都是實平穩(wěn)的隨機信號， 為白噪聲，方差為 ，現(xiàn)在我們建立AR模型的參數(shù) 和 的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也就是AR模型的正則方程（Yule-Wal

5、ker方程）。0001)0()2() 1()()2()0() 1 ()2() 1() 1 ()0() 1 ()()2() 1 ()0(221pxxxxxxxxxxxxxxxxaaarprprprprrrrprrrrprrrr)(nu)(nx)(nu)(nx2ka(12.2.4)12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算上式可簡單的表示為： pRa2(12.2.5)的自相關(guān)矩陣是全零列向量為，式中) 1() 1(,1, 1P1ppRpaaaTp12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算2121)()()()()()(),()()()()()()()() 1(,),1(),()(pkkpkkknxanxE

6、neEnnxnenenxnknxannxnnxnpnxpnxpnxpnnxxxxx為：因此總的預(yù)測誤差功率則：之間的誤差為和真實值記預(yù)測值的預(yù)測，那么是對真實值。記時刻的值個數(shù)據(jù)來預(yù)測我們利用這已知，個數(shù)據(jù)時刻之前的在設(shè)(12.2.6)(12.2.7)(12.2.8)12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算方程稱為線性預(yù)測的和方程有頁下書再由最小均方誤差公式由此式可得即正交誤差序列和預(yù)差應(yīng)使最小的為求得使HopfWienerkrarnnxnxEpmkmramrpmnnxmnxEnenxpnxpkapkxkxpkxkxkxx)11. 2 .12()10. 2 .12()()0()()()(:)31

7、2(, 2 , 1),()(:, 1, 0)()()(:,)() 1(,(, 1,1min1(12.2.9)(12.1.10)(12.2.11) 將這兩個方程和AR模型的正則方程相比較，可以看出他們及其相似，因為 是同一個隨機信號，若線性預(yù)測器的階次和AR模型的階次一樣，那么有： 上兩式說明，一個p階AR模型的 個參數(shù) 同樣可以用來構(gòu)成一個P階的最佳線性預(yù)測器。所以AR模型和線性預(yù)測器是等價的，由此可以看出，AR模型是在最小平方意義上對數(shù)據(jù)的擬合。 2min,.2 , 1pkakk12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算)(nx1p),.,(12paa12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算 Le

8、vinson-Durbin遞推算法： Levinson-Durbin遞推算法從低階開始遞推，直到階次p，給出了在每一個階次時的所有參數(shù)，即 這一特點有利于選擇AR模型的合適階次。211111111)()()(/)()()(mmmmmmmmmkxxmmkkmakkakamrkmrkakpmmaaammm,.,2 , 1),(),.,2(),1 (12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算 上述算法的遞推導(dǎo)是建立在 的前 個自相關(guān)函數(shù)已知的基礎(chǔ)上，但在實際的工作中，往往不能精確的知道 的自相關(guān)函數(shù)，而知道的僅僅是N點數(shù)據(jù)，即 ，為此，可以這樣： 1）首先由 估計 的自相關(guān)函數(shù)，得 2）用 代替上述遞推

9、算法中的 ，重新求解Yule-Walker方程，這時求出的AR模型參數(shù)是真實參數(shù)的估計值，即 )(nx1p)(nx)(nxN)(nxN)(nx)(mxr)(mrx)(mrxppaaa,21 由這些參數(shù)，得到 的功率譜 的估計，即： 對 在單位圓上均勻抽樣，設(shè)分點為N個，則得到離散譜： 12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算211)(pkjwkkpjwAReaep)(nx)(jwxep12.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計算 式中 這樣上式可用FFT快速計算。210221221)(NklkNjkppklkNjkplNjAReaeaep0,.,1110Npaaa12.3 AR模型譜估計的性質(zhì)及階次p

10、的選擇12.3.1 AR模型譜估計的性質(zhì)1 譜的平滑性 譜比周期圖譜平滑的多。2） 譜的分辨率 經(jīng)典譜估計的分辨率反比于使用的信號長度，現(xiàn)代譜估計的分辨率不受此限制。3） 譜的匹配性質(zhì) 在整個頻率范圍內(nèi)， 和 相跟隨，但在每一局部處，它跟隨 的峰點要比跟隨谷點的程度好。ARARARAR)(jwAReP)(jwxep)(jwxep12.3.1 AR模型譜估計的性質(zhì)4） 譜的統(tǒng)計特性 譜的方差反比于數(shù)據(jù) 的長度 和信噪比 。5） 模型譜估計方法的不足 其一， 譜的分辨率和求 模型時所使用的信號的信噪比 有著密切的關(guān)系。信噪比越小，譜的分辨率降低的越明顯。 其二，如果 是含有噪聲的正弦信號，在應(yīng)用時

11、發(fā)現(xiàn)，譜峰的位置易受 的初相位的影響，ARAR)(nxNNSNRARARARSNR)(nx)(nx12.3.1 AR模型譜估計的性質(zhì) 且在有的算法中，還可能出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象，即在本來應(yīng)只有一個譜線的位置附近分裂成兩個譜線。 其三，譜估計的質(zhì)量受到階次p的影響。P選的過低，譜太平滑，反映不出譜峰。P選的過大，可能產(chǎn)生虛假的峰值。12.3.2 AR模型階次的選擇 AR模型的階次p是單調(diào)下降的，直觀上講，當模型的最小誤差功率 達到所指定的希望值，或是不再發(fā)生變化時，其時的階次即是要選的正確階次。因此， 降到多少才合適，有幾個不同的準則被提出，常用的有兩個： （1）最準預(yù)測誤差準則： )1()1

12、()(kNkNkFPEkp12.3.2 AR模型階次的選擇（2）信息論準則： 其中 為數(shù)據(jù) 的長度，當階次 由1增加時， 和 都將在某一個 處取得極小值。將此時的 定為最合適的 。在實際運用時發(fā)現(xiàn)，當數(shù)據(jù)較短時，它們給出的階次偏低，且二者給出的結(jié)果基本上是一致的。上面兩式僅為階次選擇提供一個依據(jù)，究竟階次取多少為好，還要在實踐中由所得到的結(jié)果作多次比較后，予以確定。kpNkAICk2)ln()()(nxNNk)(kFPE)(kAICkkp12.4 AR模型的穩(wěn)定性及對信號建模問題的討論12.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 重新定義自相關(guān)矩陣 為： 并記其行列式的值為 。用三個結(jié)論來說明矩陣 的性質(zhì)與

13、AR模型穩(wěn)定性的關(guān)系。)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(1xxxxxxxxxprprprprrrprrrRR)det(1pR1pR12.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 結(jié)論一：如果 是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的 構(gòu)成的 階AR模型是穩(wěn)定的，且是唯一的。也即 的零點都在單位圓內(nèi)。此性質(zhì)稱為AR模型的最小相位性質(zhì)。 結(jié)論二：若 由 個復(fù)正弦組成，即 pkkkKnjAnx1exp)(1pR)(,),2(),1 (paaap)(zA)(nxp12.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 式中 為常數(shù)， 是在 內(nèi)均勻分布的零均值隨機變量， 的自相關(guān)函數(shù)為: 則由前 個值 組

14、成的自相關(guān)矩陣 是奇異的，而 是正定的，即： pkkkxmjAmr12)exp()(pkRRkp, 2 , 10)det(, 0)det(1kkA,k)()(nx1p)(,),1 (),0 (prrrxxx1pRpRRR,2112.4.1 AR模型的穩(wěn)定性 結(jié)論三：如果 由 個正弦組成（實的或復(fù)的），則 是完全可以預(yù)測的，即預(yù)測誤差等于零。 結(jié)論二指出了 何時奇異何時正定的條件，它和結(jié)論三一起正弦信號的某些性質(zhì)。特別說明，用AR模型對純正弦信號建模是不合適 的，會出現(xiàn)自相關(guān)矩陣為奇異的情況，要克服自相關(guān)陣奇異的情況，最常用的方法是加上白噪聲，這樣 不會等于零。)(nxp)(nx1pR)det(

15、1pR12.4.2 關(guān)于信號建模問題的討論*信號建模的本質(zhì)：準確建模的定義： 設(shè)平穩(wěn)隨機過程 存在 階模型，使得模型的輸出 在 階統(tǒng)計特性上和 的同階統(tǒng)計特性相一致，則把 稱為 階統(tǒng)計意義上可準確建模的隨機過程，而把改模型稱作在 階統(tǒng)計意義上的準確模型。)(nx)(nx)(nx)(nx12.6 AR模型系數(shù)的求解算法 12.6.1 自相關(guān)法令 則（12.5.13）可寫為：令 TfpfpfpfpfppNepeeee)1(,),(,),1 (),0(Tffffpfppaaaaa)(,),2(),1 (a1式中fpfpaXe10pNnfpHfpfpfeene102)(12.6.1 自相關(guān)法 由最小平

16、方原理，并將前面的式子互相代入，得到：此式即是(12.2.5)式的Yule-Walker方程和（12.2.10）、（12.2.11）式的Wiener-Hopf方程 ,由此得出結(jié)論：)0()0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(1xxxxxxxxxxprrprprprrrprrrRpffppaRmin112.6.1 自相關(guān)法 （1）由 個自相關(guān)函數(shù)，利用 遞歸求解 方程所得到的AR模型的參數(shù)等效于前向預(yù)測器的系數(shù)。AR模型激勵白噪聲的方差 等效與前向預(yù)測的最小預(yù)測誤差功率 。 （2）AR模型的自相關(guān)法等效與對前向預(yù)測的誤差序列 前后加窗，加窗的結(jié)果是使得自相關(guān)法的分辨率降低

17、。數(shù)據(jù)越短，分辨率越好。) 1( pLevinsonkerWalYule2fmin)(nefp12.6.1 自相關(guān)法 （3）也正是因為 的 是從 至 ，故矩陣積 才是 型自相關(guān)陣。如若使用 ， 或 ，對應(yīng)的矩陣積將不再是 陣。因此，自相關(guān)法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中最簡單的一種。)(nefpn)1(pN 000XXHToeplitz1X2X3XToeplitz12.6.2 Burg算法 Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法。其特點是： 1，令前后向預(yù)測誤差功率之和 為最小，而不是像自相關(guān)法那樣僅令 為最小。 2， 和 的求和范圍不是 至 ， 而是從 至 ，這等效使用 ，

18、前 后都不加窗，這時： bffb21ffb0)1(pN01N)(nef)(neb12.6.2 Burg算法 3，在上式中，當階次m由1至p時， ， 有如下的遞推關(guān)系： 1212)10.6.12()(1)9.6.12()(1NpnbpbpNpnfpfpnepNnepN)()()()11. 6 .12(, 2 , 1)() 1()() 1()()(001111nxnenepnnekneneneknenebffmmbmbmbmmfmfm)(nef)(neb12.6.2 Burg算法將(12.6.9)、(12.6.10)、(12.6.11)代入中，令 ，可得使 為最小的 為： 按此式估出的 滿足 。4

19、，按上式估計出 后，在階次 時的AR模型pmnenenenekNmnNmnbmfmNmnbmfmm, 2 , 1) 1()() 1()(2112121111bffb210/mfbkfbmkmk1mkmkm12.6.2 Burg算法 系數(shù)仍然由Levinson算法遞推求出： 上兩式是假定在第 階時的AR參數(shù)已求出。 由于Burg算法具有以上特點，所以Burg算法比自相關(guān)算法有著較好的分辨率，但對于白噪聲加正弦信號，有時可能會出現(xiàn)前面所提到的譜線分裂現(xiàn)象。1211)1 ()(1, 2 , 1)()()(mmmmmmmmmkkmamkkmakkaka) 1( mBurg算法的遞推步驟：1）由初始條件

20、 ，再由（12.6.12）式求出 ；2）由 得 時的參數(shù)： ；3）由 和(12.6.11)求出 ， ，再由(12.6.12)式估計 ；4）依照(12.6.13)和(12.6.14)式的Levinson遞推關(guān)系，求出 時的 ， 及 。5）重復(fù)上述過程，直到 ，求出所有階次的AR參數(shù)。 )()(),()(00nxnenxnebf1k102)(1)0(NnxnxNr1m)0(1,) 1 (21111xrkka1k)(1nef)(1neb2k2m) 1 (2a) 2(2a2pm 12.6.3 改進的協(xié)方差方法該算法的特點是： （1）如同Burg方法一樣，仍是令前后向預(yù)測誤差功率之和 為最小。式中 )(

21、21bffb2111221112)()()(1)(1)()()(1)(1pNpnpkbNpnbpbNpnpkfNpnfpfknxkanxpNnepNknxkanxpNnepN12.6.3 改進的協(xié)方差方法（2）在令 為最小時，不是僅令 相對 為最小，而是令 相對 都為最小，m由1到p。將（1）中的后兩個式子代入 ，由于 ，因此令得到： piiaiaiaffb, 2 , 1)()(, 0)(式中)19. 6 .12()()()()()()()()()(1101101NpnpNnNpnpNnpkinxnxinxnxinxknxinxknxkafbfbmmkma)(fb)(,),2(),1 (maa

22、ammmbfbf21)()(kakafb12.6.3 改進的協(xié)方差方法令 那么（12.6.19）寫成如下的矩陣形式： 110)()()()()( 21), (NpnpNnxinxknxknxinxpNkic)21. 6 .12() 0 ,() 0 , 2 () 0 , 1 ()() 2 () 1 (),() 2 ,() 1 ,(), 2 () 2 , 2 () 1 , 2 (), 1 () 2 , 1 () 1 , 1 (pcccpaaappcpcpcpcccpcccxxxxxxxxxxxx12.6.3 改進的協(xié)方差方法最小預(yù)測誤差功率可由下面兩式求出：或 pNnpkNpnpknxknxkan

23、xnxknxkanxpN10111min)()()()()()()()()( 21)22. 6 .12(), 0()() 0 , 0(1minkckacxpkx12.6.3 改進的協(xié)方差方法 式（12.6.21）和（12.6.22）構(gòu)成了改進的協(xié)方差方法的正則方程，稱之為協(xié)方差方程。由于 不能寫稱 的函數(shù)，所以（12.6.21）式的系數(shù)矩陣不是 Toeplitz陣，因此這一正則方程不能用于Levinson算法求解。 ), ( kicx)(ik12.7 MA模型及功率譜估計12.7.1 MA模型及其正則方程 給出MA(q)模型的三個方程如下：)3.7.12()(1)()2.7.12()(1)()1.7.12()()()()(21211qkjwkjwxqkkqkekbePzkbzHknukbnunx12.7