1、一一道道課課本本設設計計題題的的拓拓展展探探究究形缺數(shù)時難入微形缺數(shù)時難入微數(shù)缺形時少直觀，數(shù)缺形時少直觀，Page 2說思想說思想 結束語結束語說設計說設計策略策略說題目說題目說引申說引申說說 題題說背景說背景準備剪刀和一張正方形紙片，記正方形紙片的邊長為a .現(xiàn)在進行以下操作：1.從正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形,如圖4-1，再沿線段AB把紙片剪開2.把剪成的兩張紙片拼成如圖4-2的長方形.從上述活動中，你發(fā)現(xiàn)了什么代數(shù)結論？請繼續(xù)以下操作：如圖4-3，剪兩張邊長均為x的正方形紙片，再剪三張長為x，寬為1的長方形紙片和一張邊長為1的正方形紙片.試一試，能否把這些紙片拼成一個長方形？

2、由此你發(fā)現(xiàn)了什么？說背景說背景該題選自該題選自浙教版浙教版七七年級數(shù)學年級數(shù)學(下下冊冊) 4.3.用乘法公用乘法公式分解因式式分解因式課后課后設計題設計題(第第108頁頁) .是在因式分解的基礎是在因式分解的基礎上運動幾何圖形的面積法驗證乘法公式和多項式乘以多上運動幾何圖形的面積法驗證乘法公式和多項式乘以多項式。項式。 題目類型：該題屬于操作型問題。操作型問題是指通過動手測量、作圖（象）、取值、計算等實驗，猜想獲得數(shù)學結論的探索研究性活動。教材的地位與作用：體現(xiàn)教材的地位與作用：體現(xiàn)了了教育部關于中考命題改革的精神教育部關于中考命題改革的精神. .這類題這類題對學生的能力有更高的要求對學生的

3、能力有更高的要求, ,有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和實踐能力有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和實踐能力, ,體現(xiàn)課改的新理念體現(xiàn)課改的新理念, ,符合新課程標準特別強調的發(fā)現(xiàn)式學習、探究式符合新課程標準特別強調的發(fā)現(xiàn)式學習、探究式學習和研究式學習，學習和研究式學習，說題目說題目 該設計題分為兩次操作，第一次操作是先剪再拼，實質是乘法公式中平方差公式的幾何證明；第二次操作是用小矩形、正方形拼成大的矩形，從而驗證多項式乘以多項式。一一 課前準備課前準備1.讓學生玩游戲：俄羅斯方塊2.欣賞有趣的七巧板二二 課前娛樂與欣賞課前娛樂與欣賞三三 設計過程設計過程1.從形到數(shù)2.從數(shù)到形說設計策略說設計策略五張正方形紙

4、片，一張直角三角形，任意三角形，任意四邊形紙片，兩張邊長為x的正方形，一張邊長是1的正方形，三張長和寬分別為x和1的矩形，剪刀，三角板或直尺現(xiàn)在進行以下操作：1.從正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形,如圖4-1，再沿線段AB把紙片剪開2.把剪成的兩張紙片拼成如圖4-2的長方形.從上述活動中，你發(fā)現(xiàn)了什么？從形到數(shù)：)(22bababa用面積法驗證變式一：1.從正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形,如圖4-1，再沿線段AB把紙片剪開問.把剪成的兩張紙片進行拼接，使之可以驗證平方差公式，你會這么拼呢？.從形到數(shù)：aa-bb圖3aabb圖4從形到數(shù)：a2拼法拼法二二：將圖：將圖(3)(3)沿虛

5、線剪下來，陰影部分正好分成兩個全等沿虛線剪下來，陰影部分正好分成兩個全等的直角梯形，按圖（的直角梯形，按圖（4 4）所示的方法拼成一個等腰梯形，上底為）所示的方法拼成一個等腰梯形，上底為 , ,下底為下底為 , ,高為高為 ，所以此等腰梯形的面積，所以此等腰梯形的面積 ，為化簡后為化簡后 , ,從而可得從而可得)(22(21baba)(22bababab2)(baba)(ba a+ba-b圖6拼法拼法三三：將圖（：將圖（3 3）沿虛線剪下來恰好有拼成一個平行）沿虛線剪下來恰好有拼成一個平行四邊形如圖（四邊形如圖（6 6）所示，底邊長為）所示，底邊長為 ，高為，高為 ，則，則平行四邊形的面積為平

6、行四邊形的面積為 ，又一次驗證：，又一次驗證：)(22bababa)(ba)(ba)(baba變式二：除了題目給你的剪法，你還有其他剪法同樣可以驗證平方差公式嗎？如圖如圖2 2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，此時也能驗證平方差，此時也能驗證平方差公式公式從形到數(shù)：拼法拼法四四：a-ba+b圖8ab圖7變式三：如果我們把圖如果我們把圖1 1中的小正方形移到大正方形的內中的小正方形移到大正方形的內部（不一定在中間）時，如圖（部（不一定在中間）時，如圖（7 7）所示，還能將陰影部分）所示，還能將陰影部分拼成一個規(guī)則的圖形嗎拼成一個規(guī)則的圖形嗎? ?請

7、不請不妨試一試：妨試一試：拼法五：將圖（拼法五：將圖（7 7）沿虛線剪下來，得到四個小長方形）沿虛線剪下來，得到四個小長方形，這是恰好可拼成如圖（，這是恰好可拼成如圖（8 8）所示的長方形，長）所示的長方形，長為為 ，寬為，寬為 ，則長方形的面積為，則長方形的面積為 ，再，再一次驗證了平方差公式。一次驗證了平方差公式。)(ba )(ba)(baba變式四：直角三角形通過剪切可以拼接成一個與該直角三角形面積相等的矩形,如圖?中點中點請你用上述圖示的方法，解答下列問題：（1）對任意的三角形，請你設計一種方案，將它分成若干塊，再換成一個與原三角形面積相等的矩形(2)對任意四邊形，請你設計一種方案，將

8、它分成若干塊，再換成一個與原四角形面積相等的矩形請繼續(xù)以下操作：如圖4-3，剪兩張邊長均為x的正方形紙片，再剪三張長為x，寬為1的長方形紙片和一張邊長為1的正方形紙片.試一試，能否把這些紙片拼成一個長方形？由此你發(fā)現(xiàn)了什么？變式一：請任意選取圖4-3中的圖形你能拼成正方形嗎？從數(shù)到形變式二：1.如果要拼成一個長是（2x+1）、寬是（a+b）的長方形，那么需要邊長為x的正方形張，邊長為1的正方形張，長方形張2 2、閱讀材料并回答問題：、閱讀材料并回答問題：我們知道，完全平方式可以用平我們知道，完全平方式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數(shù)恒等式也可面幾何圖形的面積來表示，實際上還有

9、一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，如：（以用這種形式表示，如：（2a+b2a+b）（）（a+ba+b）=2a=2a2 2+3ab+b+3ab+b2 2，就，就可以用圖（可以用圖（1 1）或圖（）或圖（2 2）等圖形的面積表示）等圖形的面積表示（1 1）請寫出圖（）請寫出圖（3 3）所表示的代數(shù)恒等式：）所表示的代數(shù)恒等式： （2a+b2a+b）（）（a+2ba+2b）=2a=2a2 2+5ab+2b+5ab+2b2 2（2 2）試畫一個幾何圖形，使它的面積表示：）試畫一個幾何圖形，使它的面積表示： （a+ba+b）（）（a+3ba+3b）=a=a2 2+4ab+3b+4ab+3b2 2；（3

10、 3）請仿照上述方法另寫一個含有）請仿照上述方法另寫一個含有a a，b b的代數(shù)恒等式，的代數(shù)恒等式，并畫出與它對應的幾何圖形并畫出與它對應的幾何圖形引申：1.網(wǎng)格中的操作題（1 1）（20122012南昌）如圖，有兩個邊長為南昌）如圖，有兩個邊長為2 2的正方形，將其中的正方形，將其中一個正方形沿對角線剪開成兩個全等的等腰直角三角形，用一個正方形沿對角線剪開成兩個全等的等腰直角三角形，用這三個圖片分別在網(wǎng)格備用圖的基礎上（只要再補出兩個等這三個圖片分別在網(wǎng)格備用圖的基礎上（只要再補出兩個等腰直角三角形即可），分別拼出一個三角形、一個四邊形、腰直角三角形即可），分別拼出一個三角形、一個四邊形、

11、一個五邊形、一個六邊形一個五邊形、一個六邊形 1 1圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為的每一個小三角形都是邊長為1 1個單位長度的正三個單位長度的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 (1)(1)直接寫出單位正三角形的高與面積；直接寫出單位正三角形的高與面積； (2)(2)圖中的圖中的ABCDABCD含有多少個單位正三角含有多少個單位正三角形形? ?ABCDABCD的面積是多少的面積是多少? ? (3) (3)求出圖中線段求出圖中線段ACAC的長的長( (可作輔助線可作輔助線) )；

12、 (4)(4)求出圖中四邊形求出圖中四邊形EFGHEFGH的面積。的面積。實驗操作類2525（20122012成都）如圖，長方形紙片成都）如圖，長方形紙片ABCDABCD中，中，AB=8cmAB=8cm，AD=6cmAD=6cm，按下列步驟進行，按下列步驟進行裁剪和拼圖：裁剪和拼圖：第一步：如圖第一步：如圖，在線段，在線段AD上任意取一點上任意取一點E，沿，沿EB，EC剪下一個三角形紙片剪下一個三角形紙片EBC（余（余下部分不再使用）；下部分不再使用）；第二步：如圖第二步：如圖，沿三角形，沿三角形EBC的中位線的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意上任意取一

13、點取一點M，線段，線段BC上任意取一點上任意取一點N，沿，沿MN將梯形紙片將梯形紙片GBCH剪成兩部分；剪成兩部分；第三步：如圖第三步：如圖，將，將MN左側紙片繞左側紙片繞G點按順時針方向旋轉點按順時針方向旋轉180，使線段，使線段GB與與GE重合，重合，將將MN右側紙片繞右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉點按逆時針方向旋轉180，使線段，使線段HC與與HE重合，拼成一個與三角重合，拼成一個與三角形紙片形紙片EBC面積相等的四邊形紙片面積相等的四邊形紙片（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值

14、為_cm，最大值為，最大值為_cm欣賞玩這種游戲時，從長方形屏幕的頂部，每過一小段時間就自動拋玩這種游戲時，從長方形屏幕的頂部，每過一小段時間就自動拋下來一個積木塊，形狀如圖下來一個積木塊，形狀如圖1 1所示七種中的任意一種，可能事先旋所示七種中的任意一種，可能事先旋轉了轉了9090、180180或或270270。玩的人通過按鍵，在積木塊往下掉的。玩的人通過按鍵，在積木塊往下掉的過程中將它旋轉或左右移動，使得落在屏幕底部的積木塊盡可能過程中將它旋轉或左右移動，使得落在屏幕底部的積木塊盡可能整整齊齊地排滿一行或幾行，不留空隙。每當一行排滿或幾行同整整齊齊地排滿一行或幾行，不留空隙。每當一行排滿或

15、幾行同時排滿，這些行就會自動從屏幕上消失，同時得分也就增加了。時排滿，這些行就會自動從屏幕上消失，同時得分也就增加了。問題問題1 1（填空題）用方格紙剪成面積是（填空題）用方格紙剪成面積是4 4的圖形，其形狀只能有圖的圖形，其形狀只能有圖1 1所示的七種。所示的七種。如果只用其中的一種圖形拼成面積是如果只用其中的一種圖形拼成面積是1616的正方形，那么可用的正方形，那么可用的圖形共有的圖形共有_種。種。本題的答案是：只有圖本題的答案是：只有圖1 1中的中的1 1號、號、2 2號、號、5 5號、號、6 6號和號和7 7號圖形號圖形滿足條件。其中只用滿足條件。其中只用6 6號圖形拼成面積為號圖形拼

16、成面積為1616的正方形的方法見圖的正方形的方法見圖2 2，其余幾種的拼法都很容易。所以可用的圖形共有其余幾種的拼法都很容易。所以可用的圖形共有5 5種。種。問題問題2 2（填空題）用方格紙剪成面積是（填空題）用方格紙剪成面積是4 4的圖形，其的圖形，其形狀只能有圖形狀只能有圖1 1所示的七種。所示的七種。如果用其中的四種拼成一個面積是如果用其中的四種拼成一個面積是1616的正方形，的正方形，那么這四種圖形編號之和的最小值是那么這四種圖形編號之和的最小值是_。因為總面積是因為總面積是1616，每一小塊的面積是，每一小塊的面積是4 4，所以必須，所以必須用用4 4塊拼成。題目要求用塊拼成。題目要

17、求用4 4種圖形，可見每塊圖形的形種圖形，可見每塊圖形的形狀各不相同。只有三種可能的搭配方法，見圖狀各不相同。只有三種可能的搭配方法，見圖3 3。課后探究 謝謝指導!9.任意剪一個三角形紙片，如圖任意剪一個三角形紙片，如圖中的中的ABC，設它的一個銳角為，設它的一個銳角為A，首先利用對折的方法得到高，首先利用對折的方法得到高AN，然后按圖中所示的方法分別，然后按圖中所示的方法分別將含有將含有B、C的部分向里折，的部分向里折，找出找出AB、AC的中點的中點D、E，同時，同時得到兩條折痕得到兩條折痕DF、EG，分別沿折，分別沿折痕痕DF、EG剪下圖中的三角形、剪下圖中的三角形、，并按圖中箭頭所指的

18、方向分，并按圖中箭頭所指的方向分別旋轉別旋轉180。（1）你能拼成一個什么樣的四邊）你能拼成一個什么樣的四邊形？并說明你的理由；形？并說明你的理由；（2）請你利用這個圖形，證明三）請你利用這個圖形，證明三角形的面積公式：角形的面積公式：S底底高。高。 N M H G F E D C B A 12試一試試一試 2.2.如圖（如圖（1 1），把一個長為），把一個長為m m、寬為、寬為n n的長方形（的長方形（ ）沿虛線剪開，拼接成）沿虛線剪開，拼接成如圖（如圖（2 2），成為在一角去掉一個小正方形），成為在一角去掉一個小正方形后的一個大正方形，則去掉的小正方形的后的一個大正方形，則去掉的小正方形的邊長為（邊長為（ ） A B C Dmn2mnmn2m2nmnnn（2）（1）中考鏈接中考鏈接Axm-xxxxxm-x 在近幾年的中考試題中在近幾年的中考試題中,為了體現(xiàn)教育部關于為了體現(xiàn)教育部關于中考命題改革的精神中考命題改革的精神,出現(xiàn)了動手操作題出現(xiàn)了動手操作題,動手動手操作題是讓學生在通過實際操作的基礎上設計操作題是讓學生在通過實際操作的基礎上設計有關的問題有關的問題.這類題對學生的能力有更高的要這類題對學生的能力有更