1、第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程1、參數(shù)方程的概念、參數(shù)方程的概念（1）在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐）在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)標(biāo)x 、y都是某個變數(shù)都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即的函數(shù)，即并且對于并且對于t的每一個允許值，由上述方程組所確定的點的每一個允許值，由上述方程組所確定的點M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的條曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程 ，聯(lián)系，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做之間關(guān)系的變數(shù)叫做參參變數(shù)變數(shù)，簡稱，簡稱參數(shù)參數(shù)。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有物理、幾。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是

2、沒有明顯意義的變數(shù)。何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯意義的變數(shù)。)()(tgytfx（2） 相對于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲相對于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲線上點的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的線上點的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程普通方程。即的函數(shù)都是縱坐標(biāo)、的橫坐標(biāo)點根據(jù)三角函數(shù)定義圓半徑為的坐標(biāo)為如果點,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且對于并且對于 的每一個允許值的每一個允許值,由方程組由方程組所確定的點所確定的點P(x,y),都在圓都在圓O上上. o思考思考1：圓心為原點，半徑為圓心為原點，半徑為r 的圓的參數(shù)方程？的圓的參數(shù)方程？0 我們把方程組叫做

3、圓心在原點、半徑為我們把方程組叫做圓心在原點、半徑為r的圓的的圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程， 是參數(shù)是參數(shù).觀察觀察1sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么參數(shù)方程是什么呢為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、半徑為圓心為思考rbyaxrbaO觀察觀察21),(111yxP(a,b)r11111( , ),( , )(,),O a brOrOP x yOP x y圓心為、半徑為 的圓可以看作由圓心為原點 、半徑為 的圓平移得到 設(shè)圓上任意一點是圓 上的點平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11（3）參數(shù)方程與普通方程的互化）參數(shù)方程與普通方程的互化sincosry

4、rxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、參數(shù)方程的特點是沒有直接體現(xiàn)曲線上點的、參數(shù)方程的特點是沒有直接體現(xiàn)曲線上點的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點的橫、縱橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點的橫、縱坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系。坐標(biāo)與參數(shù)之間的關(guān)系。 2、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在、參數(shù)方程的應(yīng)用往往是在x與與y直接關(guān)系很難直接關(guān)系很難或不可能體現(xiàn)時，通過參數(shù)建立間接的聯(lián)系?；虿豢赡荏w現(xiàn)時，通過參數(shù)建立間接的聯(lián)系。已知曲線C的參數(shù)方程是(1)判斷點（0，1）,(5,4)是否在上.(2)已知點（，a）在曲線上，求a.1232tytx

5、例例1 1、已知圓方程已知圓方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，將它，將它化為參數(shù)方程?；癁閰?shù)方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，參數(shù)方程為參數(shù)方程為sin3cos1yx(為參數(shù)為參數(shù))練習(xí)：練習(xí)： 1.填空：已知圓填空：已知圓O的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是sin5cos5yx(0 2 ) 5 5 32,22QQ如果圓上點 所對應(yīng)的坐標(biāo)是則點 對應(yīng)的參數(shù) 等于如果圓上點如果圓上點P所對應(yīng)的參數(shù)所對應(yīng)的參數(shù) ，則點，則點P的

6、坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 35235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 選擇題：參數(shù)方程為參數(shù) 表示的曲線是圓心在原點 半徑為 的圓圓心不在原點 但半徑為 的圓不是圓以上都有可能A半徑為表示圓心為參數(shù)方程、填空題sin2cos2) 1 (:3yx的圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（2，-2）112222yxsin22cos21yx化為參數(shù)方程為把圓方程0142)2(22yxyxxMPAyO解解:設(shè)設(shè)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y),可設(shè)點可設(shè)點P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(4cos,4sin)點點M的軌跡是以的軌跡是以(6,0)為圓心、為圓心、2為半徑的圓。為半徑的圓。由中點公式得由中點公式得:點點M的軌跡方

7、程為的軌跡方程為x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin 圓圓x2+y2=16的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為例例2. 如圖如圖,已知點已知點P是圓是圓x2+y2=16上的一個動點上的一個動點, 點點A是是x軸上的定點軸上的定點,坐標(biāo)為坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點當(dāng)點P在圓在圓 上運動時上運動時,線段線段PA中點中點M的軌跡是什么的軌跡是什么?觀察觀察3解解:設(shè)設(shè)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y),點點M的軌跡是以的軌跡是以(6,0)為圓心、為圓心、2為半徑的圓。為半徑的圓。由中點坐標(biāo)公式得由中點坐標(biāo)公式得: 點點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=1

8、6即即 M的軌跡方程為的軌跡方程為(x- -6)2+y2=4點點P在圓在圓x2+y2=16上上xMPAyO例例2. 如圖如圖,已知點已知點P是圓是圓x2+y2=16上的一個動點上的一個動點, 點點A是是x軸上的定點軸上的定點,坐標(biāo)為坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點當(dāng)點P在圓在圓 上運動時上運動時,線段線段PA中點中點M的軌跡是什么的軌跡是什么?例例3、已知點已知點P（x，y）是圓）是圓x2+y2- 6x- 4y+12=0上動上動點，求（點，求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直線到直線x+y- 1=0的距離的距離d的最值。的最值。 解：圓解：圓x2+y2-

9、6x- 4y+12=0即（即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用參數(shù)方程表示為用參數(shù)方程表示為sin2cos3yx由于點由于點P在圓上，所以可設(shè)在圓上，所以可設(shè)P（3+cos，2+sin）（1） x2+y2 = (3+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其中其中tan =3/2) x2+y2 的最大值為的最大值為14+2 ，最小值為，最小值為14- 2 。1313(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）24 x+y的最大值為的最大值為5+ ，最小值為，最小值為5 - 。 22(3)2)4sin(2421sin

10、2cos3d顯然當(dāng)顯然當(dāng)sin（+ ）= 1時，時，d取最大值，最取最大值，最小值，分別為小值，分別為 ， 。4122221例例4、將下列參數(shù)方程化為普通方程：將下列參數(shù)方程化為普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步驟：步驟：（1）消參；）消參； （2）求定義域。）求定義域。小小 結(jié)結(jié): :1、圓的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程2、參數(shù)方程與普通方程的概念、參數(shù)方程與普通方程的概念3、圓的參數(shù)方程

11、與普通方程的互化、圓的參數(shù)方程與普通方程的互化4、求軌跡方程的三種方法：相關(guān)點點問、求軌跡方程的三種方法：相關(guān)點點問題（代入法）；題（代入法）； 參數(shù)法；定義法參數(shù)法；定義法5、求最值、求最值)(2110012為參數(shù)，表示時間、tgthytx)(4132,41,32),(2為參數(shù)以時間的軌跡的參數(shù)方程為于是點則，動點的位置是、設(shè)經(jīng)過時間ttytxMtytxyxMtxyACBO6)23(sin)21(cos)23(sin)21(cossin) 1(cos)sin,(cos)23,21(),23,21(),0 , 1 (,)(sincosCMBMAMCBAyxxCBABC則設(shè)