1、 理解數(shù)學歸納法的原理，理解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題的數(shù)學命題.1.用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明:“1+a+a2+an+1=（a1,nN*)，在驗證，在驗證n=1成立時，左邊計成立時，左邊計算所得項是算所得項是( ) C211naaA.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 n=1時，由左邊的代表項時，由左邊的代表項“an+1”知，應(yīng)加到知，應(yīng)加到a2,故左邊故左邊=1+a+a2，選，選C.2.用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明1+ + + 1時）時）,第一步要證的不等式是第一步要證的不等式是( )1213121nBA.

2、1+ 2 B.1+ + 2C.1+ + + 2 D.1+ + + 1,且且nN,故初值故初值n0=2,代入選代入選B.3.用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明不等式 + + + (n2)的過程中，由的過程中，由n=k遞推到遞推到n=k+1時，不等式左邊時，不等式左邊( )11n12n13n12n1314CA.增加了一項增加了一項“ ”B.增加了兩項增加了兩項“ + ”C.增加了一項增加了一項“ + ”又減少了一項又減少了一項“ ”D.增加了一項增加了一項“ ”又減少了一項又減少了一項“ ”12(1)k 121k 12(1)k 121k 12(1)k 11k 12(1)k 11k n=k時，不

3、等式左邊為時，不等式左邊為 + + + ,n=k+1時，不等式左邊為時，不等式左邊為 + + + + ,比較兩式可知選比較兩式可知選C.11k 12k 13k 12k1(1) 1k 1(1)2k 1(1)3k 121k 12(1)k 4.用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明“(n+1)(n+2)(n+n) =2n13(2n-1)”，從，從“k到到k+1”，左，左端需增乘的代數(shù)式為端需增乘的代數(shù)式為( )BA.2k+1 B.2(2k+1)C. D.211kk231kk n = k 時 ， 等 式 左 邊 為時 ， 等 式 左 邊 為(k+1)(k+2)(k+k),而而n=k+1時，等式左邊時，等式左

4、邊為為(k+2)(k+3)(2k+2)，需要增乘的代數(shù)，需要增乘的代數(shù)式為式為 ,即即2(2k+1).(21)(22)1kkk5.用數(shù)學歸納法證明：凸多邊形的內(nèi)角和用數(shù)學歸納法證明：凸多邊形的內(nèi)角和f(n)=(n-2)180（n3)，第一步應(yīng)驗，第一步應(yīng)驗證證 ;假設(shè)假設(shè)n邊形內(nèi)角和邊形內(nèi)角和f(n)=(n-2)180,則則f(n+1)=f(n)+ ，從而再，從而再用假設(shè)用假設(shè).f(3)=180180 由由n3,故初值故初值n0=3,即三角形內(nèi)角和即三角形內(nèi)角和為為180.由凸由凸n邊形變?yōu)橥惯呅巫優(yōu)橥筺+1邊形時，相當于增加邊形時，相當于增加了一個三角形，故了一個三角形，故f(n+1)=f(

5、n)+180.1.數(shù)學歸納法方程的步驟數(shù)學歸納法方程的步驟一般的，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題一般的，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，可以按以下的步驟進行：時，可以按以下的步驟進行：(1)歸納奠基歸納奠基: . ;(2)歸納遞推歸納遞推: . .證明當證明當n取第一個值取第一個值n0(例如例如n0=1,n0=2等等等等)時，結(jié)論成立時，結(jié)論成立假設(shè)當假設(shè)當n=k(nN*且且kn0)時結(jié)論成立時結(jié)論成立,證明當證明當n=k+1時結(jié)論也成立時結(jié)論也成立在完成這兩個步驟的證明以后，就可以在完成這兩個步驟的證明以后，就可以斷定命題對從斷定命題對從n0開始的所有的自然數(shù)開始的所有的自然數(shù)n都正都正確確.這種

6、證明命題的方法叫做數(shù)學歸納法這種證明命題的方法叫做數(shù)學歸納法.2.用數(shù)學歸納法證題時，應(yīng)注意用數(shù)學歸納法證題時，應(yīng)注意(1)在用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的在用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時，第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少第一步，命題時，第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少第一步，遞推就會缺乏正確的基礎(chǔ)遞推就會缺乏正確的基礎(chǔ).一方面，第一步再一方面，第一步再簡單，也不能夠省略；另一方面，第一步只簡單，也不能夠省略；另一方面，第一步只要考察使結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就足夠了，要考察使結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就足夠了，一般沒有必要再去多考察幾個正整數(shù)一般沒有必要再去多考察幾個正整數(shù).(2)第二步是遞推的過程，僅有第

7、一步第二步是遞推的過程，僅有第一步而沒有第二步，就失去了遞推的過程而沒有第二步，就失去了遞推的過程.這說這說明了缺省了第一步這個基礎(chǔ)，第二步的遞明了缺省了第一步這個基礎(chǔ)，第二步的遞推就沒有意義了推就沒有意義了.只有把第一步的結(jié)論與第只有把第一步的結(jié)論與第二步的結(jié)論結(jié)合在一起，才能得出普遍性二步的結(jié)論結(jié)合在一起，才能得出普遍性的結(jié)論的結(jié)論.因此在完成了第一、二步的證明以因此在完成了第一、二步的證明以后，還要有一個小結(jié)后，還要有一個小結(jié).例例1 是 否 存 在 正 整 數(shù)是 否 存 在 正 整 數(shù) m ， 使 得， 使 得f(n)=(2n+7)3n+9對任意自然數(shù)對任意自然數(shù)n都能被都能被m整除？

8、若存在，求出最大的整除？若存在，求出最大的m值，并證明值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由你的結(jié)論；若不存在，請說明理由. 本題通過計算本題通過計算f(n)的前幾項的的前幾項的值，猜想出值，猜想出m的值，然后再利用數(shù)學的值，然后再利用數(shù)學歸納法加以證明歸納法加以證明. 由由f(n)=(2n+7)3n+9,得得f(1)=36,f(2)=336,f(3)=1036,f(4)=3436.由此猜想由此猜想m=36.下面用數(shù)學歸納法證明：下面用數(shù)學歸納法證明：()當當n=1時，顯然成立時，顯然成立.()假設(shè)假設(shè)n=k時，時，f(k)能被整除，即能被整除，即f(k)=(2k+7)3k+9能被整除；能被

9、整除；當當n=k+1時，時，2(k+1)+73k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1),由于由于3k-1-1是是2的倍數(shù)，故的倍數(shù)，故18(3k-1-1)能被能被36整除整除.這就這就是說是說,當當n=k+1時時,f(n)也能被也能被36整除整除.由由()()可知，對一切正整數(shù)可知，對一切正整數(shù)n都有都有f(n)=(2n+7)3n+9能被能被36整除，整除，m的最大的最大值為值為36. 本題是探索性問題本題是探索性問題.它通過：它通過：“觀察觀察歸納歸納猜想猜想證明證明”這一完整的過程這一完整的過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得出的結(jié)論的去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得出的結(jié)論的正確

10、性，這是非常重要的一種思維能力正確性，這是非常重要的一種思維能力.由有由有限個特殊事例進行歸納、猜想，從而得到一限個特殊事例進行歸納、猜想，從而得到一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學研究的重般性的結(jié)論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法要思想方法.在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題中，此思想方法尤其重要中，此思想方法尤其重要.用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，拼湊是關(guān)鍵被某式（數(shù)）整除，拼湊是關(guān)鍵.例例2

11、用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明：1- + - + + - = + + .121314121n12n11n12n12n 要證不等式的左邊要證不等式的左邊2n項，右邊項，右邊n項，項，n=k+1與與n=k相比左邊增加項，右邊增相比左邊增加項，右邊增加項，而且左、右兩邊的首項不同，加項，而且左、右兩邊的首項不同，因此，由因此，由“n=k”到到“n=k+1”時要注意項時要注意項的合并的合并. ()當當n=1時時,左邊左邊=1- = ,右邊右邊= ,命題成立命題成立.()假設(shè)當假設(shè)當n=k(k1，kN*)時命題成立，時命題成立，即即1- + - + - = + + ,121212121314121k

12、 12k11k 12k 12k那么當那么當n=k+1時，時，左邊左邊=1- + - + - + -= + + + -= + + + .上式表明當上式表明當n=k+1時命題也成立時命題也成立根據(jù)根據(jù)()()可知，對任意的可知，對任意的nN*，等式都，等式都成立成立121314121k 12k121k 122k 11k 12k 12k121k 122k 12k 13k 121k 122k 用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些命題的關(guān)鍵在于一些命題的關(guān)鍵在于“先看項先看項”，弄清等式，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的

13、多少與項的多少與n的取值有關(guān)，當?shù)娜≈涤嘘P(guān)，當n=k到到n=k+1時，時，等式的兩邊各會增加多少項，增加怎樣的等式的兩邊各會增加多少項，增加怎樣的項對于證明恒等的問題，在由證等式也成項對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，也就立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性使問題的證明有目的性例例3 平面上有平面上有n個圓，每兩個圓交于兩點，個圓，每兩個圓交于兩點，每三個圓不過同一點，求證：這每三個圓不過

14、同一點，求證：這n個圓分個圓分平面為平面為n2-n+2個部分個部分 關(guān)于這類幾何問題，應(yīng)抓住所劃分關(guān)于這類幾何問題，應(yīng)抓住所劃分的線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線的線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線間的關(guān)系關(guān)鍵在于分析間的關(guān)系關(guān)鍵在于分析k與與k+1的差異，的差異，k到到k+1的變化情況，然后借助于圖形的直的變化情況，然后借助于圖形的直觀性，建立觀性，建立k與與k+1的遞推關(guān)系的遞推關(guān)系 ()當當n=1時時,n2-n+2=1-1+2=2,而一個圓而一個圓把平面分成兩部分把平面分成兩部分,所以所以n=1時命題成立時命題成立 ()設(shè)當設(shè)當n=k(k1，kN*)時，命題成立，時，命題成立，即即k個

15、圓分平面為個圓分平面為k2-k+2個部分，則個部分，則n=k+1時，時，第第k+1個圓與前個圓與前k個圓有個圓有2k個交點個交點,這這2k個交點個交點把第把第k+1個圓分成個圓分成2k段段,每一段把原來的所在每一段把原來的所在平面一分為二平面一分為二,故共增加了故共增加了2k個平面?zhèn)€平面,共有共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2個部分個部分 所以當所以當n=k+1時，命題也成立時，命題也成立 由由()()可知可知,這這n個圓把平面分成個圓把平面分成n2-n+2個部分個部分 數(shù)學歸納法在高考試題中常與數(shù)列、數(shù)學歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何等知識相結(jié)合來考查，對于此平面幾何

16、等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題類問題,解決的關(guān)鍵往往在于抓住對問題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對問題的劃分標準的劃分標準.例例4 已 知 數(shù) 列已 知 數(shù) 列 bn 是 等 差 數(shù) 列 ，是 等 差 數(shù) 列 ，b1=1,b1+b2+b3+b10=100.(1)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項的通項bn;(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的通項的通項an=lg(1+ )，記，記Sn是數(shù)列是數(shù)列an的前的前n項和，試比較項和，試比較Sn與與 lgbn+1的大小，的大小，并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.1nb12 可由題意先求出數(shù)列可由題意先求出數(shù)列bn的通項的通項bn,再根再根據(jù)題設(shè)條件知據(jù)題設(shè)條件知,要想比較要想比較Sn與

17、與 lgbn+1的大小只的大小只需要比較需要比較(1+1)(1+ )(1+ )與與 的大小的大小即可即可.1213121n21n （1）設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn的公差為的公差為d, b1=1 10b1+ d=100, b1=1 d=2由題意得由題意得10(10 1)2解得解得,所以所以bn=2n-1(nN*).(2)由由bn=2n-1,知知Sn=lg(1+1)+lg(1+ )+lg(1+ )=lg(1+1)(1+ )(1+ ), lgbn+1=lg .因此因此,要比較要比較Sn與與 lgbn+1的大小，的大小，可先比較可先比較(1+1)(1+ )(1+ )與與 的大小的大小.取取n=1,有有(1+1)

18、 ;取取n=2,有有(1+1)(1+ ) ;13121n13121n1221n1213121n21n2 1 1 132 2 1由此推測由此推測(1+1)(1+ )(1+ ) . 若式成立，則由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可斷定：若式成立，則由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可斷定：Sn lgbn+1.下面用數(shù)學歸納法證明式下面用數(shù)學歸納法證明式.()當當n=1時時,已驗證式成立已驗證式成立.()假設(shè)當假設(shè)當n=k(k1，kZ)時，式成立，時，式成立，即即(1+1)(1+ )(1+ ) .13121n21n1213121n21n那么，當那么，當n=k+1時，時，(1+1)(1+ )(1+ )1+ (1+ )= (2k+2)=

19、.因為因為 (2k+2)2-( )2= = 0,所以所以 (2k+2) = .13121k 12(1) 1k 21k 121k 2121kk2221kk121k 22484(483)21kkkkk121k 23k 2121kk23k 2(1) 1k 因而因而(1+1)(1+ )(1+ )(1+ ) .這就是說式當這就是說式當n=k+1時也成立時也成立.由由()()知知,式對任意正整數(shù)式對任意正整數(shù)n都成立都成立.由此證得：由此證得：Sn lgbn+1.13121k 121k 2(1) 1k 12 用數(shù)學歸納法證明一些與用數(shù)學歸納法證明一些與n有關(guān)的不有關(guān)的不等式時，推導(dǎo)等式時，推導(dǎo)“n=k+1

20、”時成立，有時要進時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等分析法、反證法等等. 已知已知y=f(x)滿足滿足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n2, nN*)且且f(1)=-lga,是否存在實數(shù)是否存在實數(shù)、使使f(n)=(n2+n-1)lga對任何對任何nN*都成立都成立,證證明你的結(jié)論明你的結(jié)論. 因為因為f(n)=f(n-1)+lgan-1,令令n=2，則，則f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0. +=0 = 2+4=1 =-

21、,所以所以f(n)=( n2- n-1)lga.又又f(1)=-lga,所以所以,所以所以12121212證明：（證明：（）當）當n=1時，顯然成立時，顯然成立.()假設(shè)假設(shè)n=k（k1，kN*）成立，）成立，即即f(k)=( k2- k-1)lga,則則n=k+1時，時，f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=( k2- k-1+k)lga= (k+1)2- (k+1)-1lga，所以當所以當n=k+1時，等式成立時，等式成立.綜合綜合()()可知，存在實數(shù)可知，存在實數(shù)、且且= ,=- ,使使f(n)=(n2+n-1)lga對任意對任意nN*都成立都成立.1212121212

22、1212121.在證明傳遞性時，應(yīng)注意：在證明傳遞性時，應(yīng)注意：(1)證明證明n=k+1成立時，必須要用到成立時，必須要用到n=k成立的假設(shè)，成立的假設(shè)，否則就不是數(shù)學歸納法，應(yīng)當指出否則就不是數(shù)學歸納法，應(yīng)當指出n=k成立成立是假設(shè)的，這一步是證明傳遞性，正確性是假設(shè)的，這一步是證明傳遞性，正確性由第一步保證，有了遞推這一步，聯(lián)系第由第一步保證，有了遞推這一步，聯(lián)系第一步的結(jié)論（命題對一步的結(jié)論（命題對n=n0時成立），就可時成立），就可以知道命題對以知道命題對n0+1也成立，進而再由第二也成立，進而再由第二步可知步可知n=(n0+1)+1,即即n=n0+2也成立也成立.這樣下這樣下去，就可

23、以知道命題對所有的不小于去，就可以知道命題對所有的不小于n0的的正整數(shù)都成立正整數(shù)都成立.2.用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是在第二步將式子化成與歸納假設(shè)結(jié)構(gòu)相是在第二步將式子化成與歸納假設(shè)結(jié)構(gòu)相同的形式，再利用歸納假設(shè)，進行恒等變同的形式，再利用歸納假設(shè)，進行恒等變形；用數(shù)學歸納法證明不等式時，在把形；用數(shù)學歸納法證明不等式時，在把n=k的不等式轉(zhuǎn)化為的不等式轉(zhuǎn)化為n=k+1的不等式成立的命題的不等式成立的命題時，比較法、綜合法、分析法、放縮法等時，比較法、綜合法、分析法、放縮法等不等式的證明方法是常用方法；用數(shù)學歸不等式的證明方法是常用方法；用數(shù)學歸納法證明整除性問題和幾何問題時，要注納法證明整除性問題和幾何問題時，要注意尋找當元素意尋找當元素n增加增加1時，代