1、會計(jì)學(xué)1泰勒公式詳解泰勒公式詳解Taylorformula一元分析學(xué)一元分析學(xué)講義講義xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上頁返回下頁第2頁/共47頁不足不足:問題問題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤差誤差 )()()(xPxfxR 可估計(jì)可估計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)。、誤差不能估計(jì)。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在含有在含有0 x的開區(qū)間的開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,)(xP為多項(xiàng)式函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn

2、上頁返回下頁第3頁/共47頁二、二、nP和和nR的確定的確定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x)()(xfxPn與與上頁返回下頁第4頁/共47頁假設(shè)假設(shè) nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()

3、(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 上頁返回下頁第5頁/共47頁三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有 0 x的某的某個開區(qū)間個開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則當(dāng)則當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時內(nèi)時, , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次次多項(xiàng)式與一個余項(xiàng)多項(xiàng)式與一個余項(xiàng))(xRn之和之和: : )()(!)()

4、(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10) 1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x與與 x之間之間) ). . 上頁返回下頁第6頁/共47頁證明證明: : 由假設(shè)由假設(shè), ,)(xRn在在),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且兩函數(shù)兩函數(shù))(xRn及及10)( nxx在以在以 0 x及及 x為端點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得 )()(1()(01011之間之間與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRx

5、RxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上頁返回下頁第7頁/共47頁如此下去如此下去, ,經(jīng)過經(jīng)過)1( n次后次后, ,得得 兩函數(shù)兩函數(shù))(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及 1 為端點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之間之間與與在在nx 0, ,也在也在0 x與與 x之間之間) ) )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnRnn 上頁返回下頁第8頁/共47

6、頁 nkkknxxkxfxP000)()(!)()( 稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 次泰勒多項(xiàng)式次泰勒多項(xiàng)式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上頁返回下頁第9頁/共47頁拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng) 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(n

7、knkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾型余項(xiàng)皮亞諾型余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即)()1(有界有界若若xfn 上頁返回下頁第10頁/共47頁注注: :1.1. 當(dāng)當(dāng)0 n時時, ,泰勒公式變成拉氏中值公式泰勒公式變成拉氏中值公式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 3.3.帶帶皮亞諾型余項(xiàng)皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒定理?xiàng)l件比帶的泰勒

8、定理?xiàng)l件比帶拉格朗拉格朗日型余項(xiàng)日型余項(xiàng)的的弱弱，前者只需，前者只需n n階導(dǎo)數(shù)存在階導(dǎo)數(shù)存在. .4.Peano4.Peano型余項(xiàng)是定性的，型余項(xiàng)是定性的，LagrangeLagrange型余項(xiàng)是定量的型余項(xiàng)是定量的，兩者本質(zhì)相同但作用有別兩者本質(zhì)相同但作用有別. . 一般說來，當(dāng)不需要定量一般說來，當(dāng)不需要定量地討論余項(xiàng)時，可用地討論余項(xiàng)時，可用PeanoPeano型，如計(jì)算極限；當(dāng)需要定型，如計(jì)算極限；當(dāng)需要定量討論余項(xiàng)時，則用量討論余項(xiàng)時，則用LagrangeLagrange型余項(xiàng)，如誤差估計(jì)型余項(xiàng)，如誤差估計(jì). .上頁返回下頁第11頁/共47頁)(!)0(! 2)0()0()0()

9、()(2nnnxoxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上頁返回下頁第12頁/共47頁例例 1 1 求求xexf )(的的n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上頁返回下頁第13頁/共47頁由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差估

10、計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(1 nxxnxnenexR上頁返回下頁第14頁/共47頁 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 上頁返回下頁第15頁/共47頁例例 2 2 計(jì)算計(jì)算 403

11、cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式上頁返回下頁第16頁/共47頁例例3 3.)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的次數(shù)為的次數(shù)為分子關(guān)于分子關(guān)于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 上頁返回下頁第17頁/共47頁例例4 4)1 , 0(21)(:, 1)(),

12、1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf證明證明且且上二階可微上二階可微在在若函數(shù)若函數(shù)證證,1 , 00 x設(shè)設(shè)有有展展成成一一階階泰泰勒勒公公式式處處把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 則有則有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff (1)(2)上頁返回下頁第18頁/共47頁2022010)1)(21)(21)(xfxfxf (1) (2),),1()0(ff 注注意意到到則有則有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20

13、 x, 1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命題成立可知命題成立的任意性的任意性由由 x上頁返回下頁第19頁/共47頁xy xysin 播放播放1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;上頁返回下頁第20頁/共47頁播放播放2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上頁返回下頁第21頁/共47頁思考思考題題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30)1(sinlimxxxxexx 上頁返回下頁第22頁/共47頁思思考考題題解解答答)(! 3! 21332

14、xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx 31 上頁返回下頁第23頁/共47頁一、一、 當(dāng)當(dāng)10 x時，求函數(shù)時，求函數(shù)xxf1)( 的的n階泰勒公式階泰勒公式 . .二、二、 求函數(shù)求函數(shù)xxexf )(的的n階麥格勞林公式階麥格勞林公式 . .三、三、 驗(yàn)證驗(yàn)證210 x時，按公式時，按公式62132xxxex 計(jì)算計(jì)算xe的近似值，可產(chǎn)生的誤差小于的近似值，可產(chǎn)生的誤差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使誤

15、差小于近似值，使誤差小于 0.010.01 . .四、四、 應(yīng)用三階泰勒公式求應(yīng)用三階泰勒公式求330的近似值，并估計(jì)誤差的近似值，并估計(jì)誤差. .五、五、 利用泰勒公式求極限：利用泰勒公式求極限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .練練 習(xí)習(xí) 題題上頁返回下頁第24頁/共47頁一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10

16、724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .練習(xí)題答練習(xí)題答案案上頁返回下頁第25頁/共47頁xy xysin 五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第26頁/共47頁xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第27頁/共47頁xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第28頁/共47頁xy xysi

17、n ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第29頁/共47頁xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第30頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第31頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第32頁/共4

18、7頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第33頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第34頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第35頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第36頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第37頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第38頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第39頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第40頁/共47頁2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第41頁/共47頁2 2.