1、(4.9)D 定理定理4.14 (泰勒定理泰勒定理) 設(shè)設(shè)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,aD,只要只要K:|z-a|R含于含于D,則則f(z)在在K內(nèi)能展成內(nèi)能展成如下冪級(jí)數(shù)如下冪級(jí)數(shù) 0( )()nnnfzcza(4.8)其中系數(shù)( )11( )( )2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n展式是唯一的.4.3.1.泰勒泰勒(Taylor)定理定理KaK 證證:證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式熟知的公式:011nnuu(|u|1).(4.10)總有一個(gè)圓周總有一個(gè)圓周:|(0),aR使點(diǎn)使點(diǎn)z含在含在 (圖圖4.1

2、中虛線表中虛線表). azD圖圖4.1的內(nèi)部的內(nèi)部zK (2)1()pziffzd()fz 我們?cè)O(shè)法將被積式我們?cè)O(shè)法將被積式:由柯西積分公式得由柯西積分公式得表示為一個(gè)含有表示為一個(gè)含有z-a的正冪次級(jí)數(shù)的正冪次級(jí)數(shù).為此改寫：為此改寫：( )( )( )()11fffzzaaaaaz(4.11)由由 時(shí)時(shí)|,|1zazaa應(yīng)用公式應(yīng)用公式(4.10),我們有我們有0,1()1nnzazaaa右端的級(jí)數(shù)在右端的級(jí)數(shù)在 上上(關(guān)于關(guān)于 )是一致收斂的是一致收斂的.( )fa于是于是(4.11)表示為表示為 上一致收斂級(jí)數(shù)上一致收斂級(jí)數(shù)01()(,)()nnnfafzaa 將將上上式式沿沿積積分分

3、，并并以以乘乘所所得得結(jié)結(jié)果果根根據(jù)據(jù)逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分定定理理即即得得1.2,i 以在以在 上的有界函數(shù)上的有界函數(shù)一致收斂級(jí)數(shù)一致收斂級(jí)數(shù)相乘相乘,仍然得到仍然得到 上的上的( )1( )2pf zdfiz10( ),1()2nnpnzaifda由定理3.13知()11()( ),2()!nnpffadian最后得出0.)()(nnnazczf其中的系數(shù)由其中的系數(shù)由Cn公式公式(4.9)給出給出.上面證明對(duì)于上面證明對(duì)于任意任意z均成立均成立,故定理的前半部分得證故定理的前半部分得證.下面證明展式是唯一的下面證明展式是唯一的. 設(shè)另有展式設(shè)另有展式0( ) () (:|).nnnf zcz

4、 azK z aR 由定理由定理4.13(3)即知即知nnncnafc!)()(n=0,1,2,),故展式是唯一的故展式是唯一的. 定義定義4.8 (4.8)稱為稱為f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)a的的泰勒展式泰勒展式,(4.9)稱為其稱為其泰勒系數(shù)泰勒系數(shù),而而(4.8)右邊的級(jí)數(shù)右邊的級(jí)數(shù),則稱則稱為為泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù).0( )() (5.8 )nnnf zcza ( )11( )( ) (4.9 )2()!nnnffacdian 定理定理4.15 f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在在D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可展成的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù),即泰勒級(jí)數(shù)即

5、泰勒級(jí)數(shù). 由第三章的柯西不等式知若由第三章的柯西不等式知若f(z)在在|z-a|0,且)|:|( ,)()(0RazKzazczfnnn則則f(z)在收斂圓周在收斂圓周C:|z-a|=R上至少有一奇點(diǎn)上至少有一奇點(diǎn),即即不可能有這樣的函數(shù)不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在存在,它在它在|z-a|R內(nèi)與內(nèi)與f (z)恒等恒等,而在而在C上處處解析上處處解析. 證 假若這樣的F(z)存在,這時(shí)C上的每一點(diǎn)就都是某圓O的中心,而在圓O內(nèi)F(z)是解析的.z1a0()nnnczaK/:|z-a|R+內(nèi)是解析的.于是F(z)在K/可開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).但因在|z-a|0表示C到G的邊界的距離(參看第三章定理3.

6、3注).于是F(z)在較圓K大的同心圓z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a注 (1)縱使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂,其和函數(shù)在收斂圓周上仍然至少有一個(gè)奇點(diǎn). 232222( )123nzzzzfzn21( )123nzzzfzn(2)這個(gè)定理,一方面建立了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與此冪級(jí)數(shù)所代表的函數(shù)的性質(zhì)之間的密切關(guān)系;同時(shí)還表明冪級(jí)數(shù)的理論只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)才弄的完全明白.2462111xxxx 常用方法常用方法: 直接法和間接法直接法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系

7、數(shù)由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)例例1. 0 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)橐驗(yàn)閦e. R所以級(jí)數(shù)的收斂半徑所以級(jí)數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因?yàn)橐驗(yàn)榉抡丈侠抡丈侠?, ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在在與與可得可得 zzz2. 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式借助于一些已知函數(shù)的

8、展開(kāi)式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分積分等等)和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒展求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn)間接法的優(yōu)點(diǎn): : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .例例2 . 0 sin 的泰勒展開(kāi)式的泰勒展開(kāi)式在在利用間接展開(kāi)法求利用間接展開(kāi)法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi01( )()

9、2!nnnizizinn 01(1( ) )2!nnnnizin 02(1( ) )2( 1)210,1,2,nnknkiinkk 附附: 常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z242205)cos1( 1)( 1),2!4!(2 )!(2 )!nnnnnzzzzznn )( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z

10、 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z例例3 3. )1(1 2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z4.3.4 4.3.4 典型例題典型例題, 11)1(12 zzz上上有有一一奇奇點(diǎn)點(diǎn)在在由由于于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)可展開(kāi)成可展開(kāi)成 z zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例例4 4. 0 )1ln( 泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式處的處的在在求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析, 1 ,

11、1 )1ln( 是它的一個(gè)奇點(diǎn)是它的一個(gè)奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的在從在從 z. 1 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開(kāi)成內(nèi)可以展開(kāi)成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xyzzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開(kāi)式兩端沿將展開(kāi)式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設(shè)設(shè)zzC 例例5 5. 231)( 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231

12、121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即例例6 6 .0arctan的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因?yàn)橐驗(yàn)?,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn例例7 7.cos2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因?yàn)橐驗(yàn)?! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221

13、664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432例例8 8.1展展為為麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)將將zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得:, 1所以收斂半徑為所以收斂半徑為, 1 內(nèi)內(nèi)進(jìn)進(jìn)行行展展開(kāi)開(kāi)可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為因因?yàn)闉榍笄髮?dǎo)導(dǎo)得得對(duì)對(duì))(zf,1)(zzezfz , 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz4.3.5、小結(jié)與思考 通過(guò)本課的學(xué)習(xí)通過(guò)本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理,熟記熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,掌握將函數(shù)展開(kāi)成掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題思考題 奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)