1、因式分解概述定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。意義： 它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。分解因式與整式乘法互為逆變形。因式分解的方法因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公

2、因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。注意三原則1 分解要徹底2 最后結(jié)果只有小括號3最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）基本方法提公因式法各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具體方法： 當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)

3、最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的。如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出 “-”號時，多項式的各項都要變號。口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1 把家守；提負(fù)要變號，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2變成2(a2+1/4)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式： a2 -b 2 =(a+b)(a-b) ；完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a

4、b)2 ；注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式 )的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式 )的積的2 倍。立方和公式： a3 +b 3 =(a+b)(a2 -ab+b2 )；立方差公式： a3 -b 3 =(a-b)(a2 +ab+b2 )；完全立方公式： a 3 3a 2 b 3ab 2 b3 =(a b)3 公式： a 3+b 3 +c 3 +3abc=(a+b+c)(a2 +b 2+c 2-ab-bc-ca)例如： a 2+4ab+4b2=(a+2b)2 。（ 3 ）分解因式技巧1. 分解因式與整式乘法是互為逆變形。2. 分解因式技巧掌握：等

5、式左邊必須是多項式；分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)；分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考慮。3. 提公因式法基本步驟：（ 1 ）找出公因式；（ 2 ）提公因式并確定另一個因式：第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項

6、式的項數(shù)相同。競賽用到的方法分組分解法分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學(xué)習(xí)這個知識。能分組分解的方程有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我們把a(bǔ)x 和 ay 分一組，bx 和 by 分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：1.5ax+5bx+3ay+3by解法： =5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣

7、，把5ax 和 5bx 看成整體，把3ay 和 3by 看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。2.x3 -x 2+x-1解法： =(x 3 -x 2 )+(x-1)=x 2 (x-1)+(x-1)=(x-1)(x2 +1)利用二二分法，提公因式法提出x2 ，然后相合輕松解決。3.x2 -x-y 2 -y解法： =(x 2 -y 2 )-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。十字相乘法這種方法有兩種情況。 x² +( p+q ) x+pq 型的式子的因式分解這類二次三項式的特點(diǎn)是：

8、二次項的系數(shù)是兩個因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的1 的二次三項式因式分解：x²+(p+q )x+pq=(x+p)(x+q)kx²+ mx +n型的式子的因式分解如果有k=ac ， n=bd ，且有ad+bc=m時，那么kx²+ mx +n=(ax +b)(cx +d) 圖示如下：cd例如：因為1-372-3 7=-21， 12=2，且2-21=-19，所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中拆項、添項法這種方法指把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反

9、數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形。例如： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項、補(bǔ)項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形。例如： x²

10、 + 3x-40=x²+ 3x+2.25-42.25=(x+1.5)²-(6.5)²=(x+8)(x-5)應(yīng)用因式定理對于多項式f(x)=0 ，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a例如： f(x)=x²+ 5x+6， f(-2)=0，則可確定x+2是 x² + 5x+6的一個因式。( 事實上，x²+5x+6=(x+2)(x+3) )注意： 1 、對于系數(shù)全部是整數(shù)的多項式，若X=q/p （ p,q 為互質(zhì)整數(shù)時）該多項式值為零，則q 為常數(shù)項約數(shù)，p 最高次項系數(shù)約數(shù)；2 、對于多項式f(a)=0,b為最高次項系數(shù)，c 為常

11、數(shù)項，則有a 為 c/b 約數(shù)換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。注意 :換元后勿忘還元.例如在分解(x²+ x+1)(x²原式 =(y + 1)(y +2)-12=y²+ 3y + 2-12=y²+3y-10=(y + 5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)+ x+2)-12時，可以令y=x²+x, 則也可以參看右圖。求根法令多項式f(x)=0,求出其根為x1 ， x2 ， x3

12、， xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x -xn)例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5，-3，-2，1所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)圖象法令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X 軸的交點(diǎn)x1,x2,x3, xn，則多項式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x -xn)與方法相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。例如在分解x3+2x2-5x-6時，可以令y

13、=x3;+2x2-5x-6.作出其圖像，與x 軸交點(diǎn)為-3，-1， 2則 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)主元法先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。特殊值法將 2 或10代入x，求出數(shù)p ，將數(shù)p 分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2 或 10 的和與差的形式，將2 或10還原成x ，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15時，令x=2，則x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，將105 分解成3 個質(zhì)因數(shù)的積，即105=357注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x

14、+1， x+3， x+5，在x=2時的值，則 x3+9x2+23x+15可能等于 (x+1)(x+3)(x+5) ，驗證后的確如此。待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時，由分析可知：這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。于是設(shè)x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1 ，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4 解得 a=1 ， b=1 ， c=-2 ， d=

15、-4 則 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)也可以參看右圖。雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下:ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx 、 y 為未知數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來說明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可x2y2x3y6原式 =(x+2y+2)(x+3y+6)雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2 次項，如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=(x+2

16、y)(x+3y)；先依一個字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項。如十字相乘圖中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；再按另一個字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗，如十字相乘圖，這一步不能省，否則容易出錯。多項式因式分解的一般步驟：如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；如果各項沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補(bǔ)項法來分解；分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。 ”幾道例題1 分解因式(1+y)2-2x2(1+y

17、2)+x4(1-y)2解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）（補(bǔ)項）=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2 求證：對于任何實數(shù)x,y ，下式的值都不會為33 ：x5+3x4y-5

18、x3y2-15x2y3+4xy4+12y5解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)（分解因式的過程也可以參看右圖。）當(dāng)y=0時，原式=x5不等于33 ；當(dāng)y 不等于0 時，x+3y， x+y ， x-y ， x+2y， x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。3. ABC的三邊a 、 b 、 c有如下關(guān)系式：-c2+a2

19、+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。分析：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進(jìn)行因式分解。證明：-c2+a2+2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a 、 b 、 c是ABC的三條邊， a 2b c 0 a c 0 ，即 a c，ABC為等腰三角形。4 把-12x2n yn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)分解因式。解：-12x2n yn+18x(n+2)y(n+1)-6xny(n-1)=-6xn y(n-1)(2xny-3x2y2+1)因式分解四個注意：因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負(fù)常提負(fù)，各項有“公 ”先提 “公 ”，某項提出莫漏1 ，括號里面分到“底 ”?，F(xiàn)舉下例可供參考例 1 把 a2 b2 2ab 4 分解因式。解： a2 b2 2ab 4 （ a2 2ab b2 4 ）（a b