1、第第 6 章章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計Design of IIR Digital Filters本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容n數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念n模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器設(shè)計巴特沃思、切比雪夫模擬濾波器設(shè)計巴特沃思、切比雪夫模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器的頻帶變換模擬濾波器的頻帶變換n數(shù)字濾波器（數(shù)字濾波器（Digital Filter，DF）設(shè)計）設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器的頻率變換數(shù)字濾波器的頻率變換n濾波的目的濾波的目的為了壓制輸入信號的某些頻率

2、成分，從而改為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例變信號頻譜中各頻率分量的相對比例n濾波技術(shù)包括濾波技術(shù)包括: :濾波器設(shè)計濾波器設(shè)計: :根據(jù)給定濾波器的頻率特性，根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)， 濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對輸入信號的進行濾波的目的方式達(dá)到對輸入信號的進行濾波的目的 6.1 數(shù)字濾波的基本概念數(shù)字濾波的基本概念 圖6.1.1 用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號n數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定的運輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一

3、定的運算關(guān)系，濾除輸入信號中某些頻率成分或算關(guān)系，濾除輸入信號中某些頻率成分或改變輸入信號頻譜中各頻率分量的相對比改變輸入信號頻譜中各頻率分量的相對比例的器件例的器件具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng)具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng) n數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點精度高、穩(wěn)定、靈活精度高、穩(wěn)定、靈活 不要求阻抗匹配、實現(xiàn)特殊的濾波器不要求阻抗匹配、實現(xiàn)特殊的濾波器n設(shè)計數(shù)字濾波器的任務(wù)設(shè)計數(shù)字濾波器的任務(wù)尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H( (z) )具有指定的頻率特性具有指定的頻率特性0)()()(nnjezjenhzHe

4、Hj1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類n經(jīng)典濾波器（一般濾波器）：經(jīng)典濾波器（一般濾波器）：信號和干擾的頻帶互不重疊時采用信號和干擾的頻帶互不重疊時采用n現(xiàn)代濾波器：現(xiàn)代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等）器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等）n經(jīng)典濾波器的基本功能經(jīng)典濾波器的基本功能高通、低通、帶通、帶阻高通、低通、帶通、帶阻圖6.1.2 理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性n數(shù)字濾波器分為：數(shù)字濾波器分為：無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器（無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器（IIR DF） 遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng)

5、有限長單位脈沖響應(yīng)濾波器（有限長單位脈沖響應(yīng)濾波器（FIR DF）非遞歸系統(tǒng)非遞歸系統(tǒng) (6.1.1)(6.1.2)NkkkMjrjzazbzH101)(10)()(NnnznhzH2 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)用下式表示：用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej() | H(ej)|稱為幅頻特性函數(shù)稱為幅頻特性函數(shù),幅頻特性表示信號通幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況; ()稱為相頻特性函數(shù)稱為相頻特性函數(shù);而相頻特性反映各頻率而相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在

6、時間上的延時情況。成分通過濾波器后在時間上的延時情況。 兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。：通帶截止頻率c：阻帶截止頻率st：通帶容限1：阻帶容限2st2()jH en阻帶：cstn過渡帶：c11()1jH en通帶：理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近通帶最大衰減：通帶最大衰減：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減：2022()20lg20

7、lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：其中：0()1jH e當(dāng)當(dāng) 時，時，()2/20.707cjH e稱稱 為為3dB3dB通帶截止頻率通帶截止頻率13dBc3.濾波器的設(shè)計方法濾波器的設(shè)計方法n直接設(shè)計法直接設(shè)計法在時域或頻域直接設(shè)計數(shù)字濾波器在時域或頻域直接設(shè)計數(shù)字濾波器n間接設(shè)計法間接設(shè)計法先根據(jù)指標(biāo)要求設(shè)計對應(yīng)的模擬濾波器先根據(jù)指標(biāo)要求設(shè)計對應(yīng)的模擬濾波器再將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器再將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器本章介紹間接設(shè)計法本章介紹間接設(shè)計法6.2 模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器設(shè)計n模擬濾波器的設(shè)計步驟模擬濾波器的設(shè)計步驟確定指標(biāo)

8、確定指標(biāo)選擇濾波器的類型選擇濾波器的類型計算濾波器的階數(shù)計算濾波器的階數(shù)查表或計算濾波器的參數(shù)，確定其系統(tǒng)函數(shù)查表或計算濾波器的參數(shù)，確定其系統(tǒng)函數(shù)綜合實現(xiàn)及調(diào)試綜合實現(xiàn)及調(diào)試n濾波器的傳輸函數(shù)（頻率響應(yīng)特性）：濾波器的傳輸函數(shù)（頻率響應(yīng)特性）：選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分在幅度上的衰減幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分在幅度上的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在時間上的延時。不同成分在時間上的延時。對輸出波形有明確要求時，則需考慮對輸出波形有明確要求時，則需考慮線性相位線性相位問題。問題。

9、()() |()|jH jH je 6.2.1 模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)n 通帶邊界（截止）頻率，通帶邊界（截止）頻率， 阻帶邊界（截止）頻率，阻帶邊界（截止）頻率， 3db通帶截止頻率通帶截止頻率n系統(tǒng)通帶和阻帶的誤差要求系統(tǒng)通帶和阻帶的誤差要求通帶特性要求：通帶特性要求： 通帶最大衰減通帶最大衰減 ，或通帶峰值波紋，或通帶波紋幅，或通帶峰值波紋，或通帶波紋幅度度 ，用分貝表示：，用分貝表示：p s c 21()1,1apHj 22120lg110lg(1)dBp /10101p p 阻帶特性要求：阻帶特性要求： 阻帶最小衰減阻帶最小衰減 ，或，或 阻帶峰值波紋，或阻帶峰值波

10、紋，或 阻帶波紋幅阻帶波紋幅度度 ，用分貝表示：，用分貝表示：1(),asHjA /2010sA 120lg()20lgdBsAA s An損耗函數(shù)損耗函數(shù)（衰減函數(shù)衰減函數(shù)）：用來描述濾波器幅頻響應(yīng)特性）：用來描述濾波器幅頻響應(yīng)特性n3dB 通帶截止頻率通帶截止頻率 c：n損耗函數(shù)相對放大了小幅度特性：損耗函數(shù)相對放大了小幅度特性：21()20lg20lg()10lg()()aaaHjHjHj ()3dBc 一般幅頻特性一般幅頻特性損耗函數(shù)損耗函數(shù)()1/20.707acHj兩個附加參數(shù)兩個附加參數(shù)n過渡比過渡比或或選擇性選擇性參數(shù)參數(shù)反應(yīng)過渡帶的性能，過渡帶越窄，反應(yīng)過渡帶的性能，過渡帶越

11、窄，k 值趨近于值趨近于 1對對“低通濾波器低通濾波器”：n偏離偏離參數(shù)參數(shù) 越小、越小、 越大，越大， 越小，越小， 通帶、阻帶的紋波越小通帶、阻帶的紋波越小一般有一般有 psk 1k 121kA 1k11kAn模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。的模擬濾波器供選擇。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。使用。 n典型濾波器典型濾波器巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）濾波器）濾

12、波器：具有單調(diào)下降的幅頻特性；：具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）濾波器）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶內(nèi)有波：幅頻特性在通帶或阻帶內(nèi)有波動起伏，這可提高選擇性；動起伏，這可提高選擇性；橢圓（橢圓（Ellipse）濾波器）濾波器：幅頻特性在通帶和阻帶都有波動，其選：幅頻特性在通帶和阻帶都有波動，其選擇性最好；擇性最好；貝塞爾（貝塞爾（Bessel）濾波器）濾波器：具有較好的線性相位。：具有較好的線性相位。6.2.2 巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）模擬低通濾）模擬低通濾波器設(shè)計波器設(shè)計n巴特沃斯巴特沃斯低通低通濾波器濾波器N 階巴特沃斯低通濾波器的階巴特

13、沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)為：為： 其中其中N 為濾波器的階次，為濾波器的階次， 為為 3dB通帶截止頻率通帶截止頻率。221|()|1()aNcHj c 巴特沃斯低通濾波器特點巴特沃斯低通濾波器特點：n在在 點，點， 的的 n ( n p ，隨，隨 ， n當(dāng)當(dāng) =0時，時， N為偶數(shù)，為偶數(shù)， ，min ，N為奇數(shù)，為奇數(shù)， ， max，22202211()1cos arccos(0)1cos ()2aHjNN 2201()1aHj 20()1aHj 2cos ()12N 2cos ()02N 211 1 1,()1,NppC 2a()Hj 2(),()0NapCHj n阻帶邊

14、界頻率阻帶邊界頻率nN 大于等于上式的最小整數(shù)大于等于上式的最小整數(shù)2222221()1()111cosharcosh()assNpspHjCAN 2111arcosharcosh()1arcosh()arcoshspkNkA 2arcosh( )ln(1)xxx 其其中中/2010sA /10101p 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)112( ),()NNpakkkNkkHssjss (21)(21)sin,sin22kpkpkkNN 1/2221111,22N 實際應(yīng)用中可以利于查表的方法求得系統(tǒng)函數(shù)：實際應(yīng)用中可以利于查表的方法求得系統(tǒng)函數(shù)：1. 按按 求出濾波器階次求出濾波器階次N；2

15、. 由由N和和 （或（或 p）查表得到歸一化濾波器分母多項式：查表得到歸一化濾波器分母多項式：3. 歸一化切比雪夫低通濾波器函數(shù)為歸一化切比雪夫低通濾波器函數(shù)為:4. 去歸一化，得到通帶截止頻率為去歸一化，得到通帶截止頻率為 p的低通濾波器函數(shù)：的低通濾波器函數(shù)：21arcosharcoshspAN 1110( )(1)NNNND ppapa paa 11 (2)( )( )NG pD p ( )( )psapHsG p 切比雪夫切比雪夫型型通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶內(nèi)等波紋通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶內(nèi)等波紋n幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)：n階數(shù)階數(shù) N 的計算的計算 psA 【】2111arcosharc

16、osh()1arcosh()arcosh()spNAkk 2221()()1()asNpsNHjCC 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)11()( ),1,2,()NkkakkkNkkszHsCpjkNsp (21)(21)sincos22kpkpkkNN 221/211122NAA (21)cos2skzjkN 2222skskkkkkkk 6.2.4橢圓濾波器（考爾濾波器）橢圓濾波器（考爾濾波器）n幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的n對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓

17、濾波器是其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。最優(yōu)的。n通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄；通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄；n階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；4102040pspspsNdBdBdB = =1 1d dB B= =0 0. .1 1d dB B= =0 0. .0 05 5d dB B203, 4, 6psdBN =1dB=1dBn振幅平方函數(shù)為振幅平方函數(shù)為RN( , L) 雅可比橢圓函數(shù)雅可比橢圓函數(shù)L 表示波紋性質(zhì)的參量表示波紋性質(zhì)的參量22221()()1(,)aNAHjRL

18、 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù) 圖中圖中和和A的定義的定義 與與 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器 相同相同6.2.7模擬濾波器的比較模擬濾波器的比較n相同階數(shù)的頻率響應(yīng)特性相同階數(shù)的頻率響應(yīng)特性相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減，巴特沃思濾波器的過渡帶相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；n相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反；，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反；n巴特沃思濾波器單調(diào)下降；巴特沃思

19、濾波器單調(diào)下降；n切比雪夫切比雪夫濾波器通帶等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調(diào)下降；濾波器通帶等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調(diào)下降；n切比雪夫切比雪夫濾波器阻帶等波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調(diào)下降；濾波器阻帶等波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調(diào)下降；n橢圓濾波器通帶、阻帶等波紋幅頻特性，過渡帶單調(diào)下降。橢圓濾波器通帶、阻帶等波紋幅頻特性，過渡帶單調(diào)下降。n貝塞爾（貝塞爾（Bessel）濾波器在整個通帶內(nèi)）濾波器在整個通帶內(nèi)逼近逼近線性相位特性，但過渡線性相位特性，但過渡帶特性較差。帶特性較差。6.2.8 頻率變換與高通、帶通及帶阻濾波器頻率變換與高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計的設(shè)計高通濾波器性能指標(biāo)高

20、通濾波器性能指標(biāo)1()HPHj112shphn通帶邊界頻率：通帶邊界頻率：n阻帶邊界頻率：阻帶邊界頻率：n通帶紋波幅度：通帶紋波幅度：n阻帶紋波幅度：阻帶紋波幅度：2 1 ph sh n通帶邊界頻率：通帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻率n阻帶邊界頻率：阻帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻率n通帶紋波幅度：通帶紋波幅度：n阻帶紋波幅度：阻帶紋波幅度：帶通濾波器的性能指標(biāo)帶通濾波器的性能指標(biāo)2 1 pl pu sl su 1()BPHj112slplsupu帶阻濾波器的性能指標(biāo)帶阻濾波器的性能指標(biāo)n通帶邊界頻率：通帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻

21、率n阻帶邊界頻率：阻帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻率n通帶紋波幅度：通帶紋波幅度：n阻帶紋波幅度：阻帶紋波幅度：2 1 1()BSHj112slplsupupl pu sl su 高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計n已有：歸一化低通原型濾波器已有：歸一化低通原型濾波器通帶邊界頻率為通帶邊界頻率為 1 （歸一化頻率）（歸一化頻率）的模擬濾波器的模擬濾波器n高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計過程：高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計過程：采用頻率變換公式，將濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一采用頻率變換公式，將濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化低通濾波器指標(biāo)；化低通濾波器指標(biāo)；利用經(jīng)

22、典濾波器的設(shè)計公式、圖表，設(shè)計歸一化低通利用經(jīng)典濾波器的設(shè)計公式、圖表，設(shè)計歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ；通過頻率變換公式，由通過頻率變換公式，由 獲得希望濾波器的系統(tǒng)獲得希望濾波器的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù) 。( )G p( )G p( )dHs符號規(guī)定：符號規(guī)定：n歸一化低通原型濾波器：歸一化低通原型濾波器：歸一化復(fù)變量歸一化復(fù)變量 ，歸一化頻率，歸一化頻率通帶邊界頻率（截止頻率）通帶邊界頻率（截止頻率）n期望模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：期望模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：n頻率變換公式：頻率變換公式：n于是于是( ),G ppj (1)pp 一一般般( ),dHssj 1( ),( )pF ssFp

23、 ( )( )( )dp F sHsG p 1()( )( )ds FpG pHs p1. 模擬高通濾波器的設(shè)計模擬高通濾波器的設(shè)計n低通原型到高通濾波器的映射變換：低通原型到高通濾波器的映射變換：在虛軸上的映射關(guān)系簡化為頻率變換關(guān)系，在虛軸上的映射關(guān)系簡化為頻率變換關(guān)系，高通濾波器邊界頻率高通濾波器邊界頻率映射關(guān)系映射關(guān)系： 低通低通 高通高通pphps pph (,)pjsj 0 ,0 ,ppsspp , 00,phphshshph 1()HPHj112shph1()G p112sppph sh 例例 設(shè)計巴特沃思模擬高通濾波器設(shè)計巴特沃思模擬高通濾波器,通帶邊界頻率為通帶邊界頻率為fp=

24、4kHz，阻帶邊界頻率為阻帶邊界頻率為fs=1kHz，通帶最大衰減為，通帶最大衰減為0.1dB（fp處），處），阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s=40dB。解：高通濾波器指標(biāo)解：高通濾波器指標(biāo) 1）確定相應(yīng)低通原型濾波器的指標(biāo)）確定相應(yīng)低通原型濾波器的指標(biāo)( )( )pphHPpsHsG p 4kHz,1kHz,0.1dB,40dBpspsff 24000421000pphss 1p 0.1dB40dBps 2) 設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。n 確定階次確定階次N：n可得可得Nn按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。 /2040/201

25、010100sA /100.1/101011010.1526204,p 10.254ppssk 120.15262040.0015262899991kA 1lg4.75lgkNNk11/102241.599999(1)scNA 140.1dB40dBpsps 122(1)scNA n歸一化的歸一化的 5 階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)3）高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)）高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)54325( )3.23615.23615.23613.23611Dpppppp 55423324554321( )(/)3.23615.23615.23613.236110.24055.153313.27821

26、.144520.810110.2405NcccccccG pDppppppppppp 54420( )( )5.1073 109.7921 10pphHPpsHsG psss n另一設(shè)計途徑：另一設(shè)計途徑：模擬高通指標(biāo)模擬高通指標(biāo)模擬低通指標(biāo)模擬低通指標(biāo)(通帶截止頻率與高通一致通帶截止頻率與高通一致)模擬低通濾波器模擬低通濾波器設(shè)計歸一化模擬設(shè)計歸一化模擬低通濾波器低通濾波器G(p)模擬高通濾波器模擬高通濾波器2( )( )plh cqp 2pqs MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40; %設(shè)置濾波器指標(biāo)參數(shù)設(shè)置濾波器指標(biāo)參數(shù)N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As

27、,s); %濾波器濾波器G(p)階數(shù)階數(shù)N和和3dB截止截止頻率頻率B,A=butter(N,wc,s); %計算低通濾波器計算低通濾波器G(p)系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)式系數(shù)wph=2*pi*4000; %高通模擬濾波器通帶邊界頻率高通模擬濾波器通帶邊界頻率BH,AH=lp2hp(B,A,wph) %低通到高通轉(zhuǎn)換低通到高通轉(zhuǎn)換2. 低通到帶通的頻率變換低通到帶通的頻率變換:n低通原型到帶通濾波器的頻率變換低通原型到帶通濾波器的頻率變換在虛軸上在虛軸上n通帶邊界頻率：上邊界頻率通帶邊界頻率：上邊界頻率 下邊界頻率下邊界頻率n帶通濾波器的帶寬帶通濾波器的帶寬n帶通濾波器的

28、中心頻率帶通濾波器的中心頻率220pWspBs 220pWB pjsj pl pu WpuplB 0pupl 映射關(guān)系映射關(guān)系0,ppss 0,plpupuplsuslsusl 1()Gp112spp1()BPHj112slplsupu減少減少 ，或增加，或增加增加增加 ，或減少，或減少帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)n對帶通濾波器，可以證明，應(yīng)該有關(guān)系：對帶通濾波器，可以證明，應(yīng)該有關(guān)系：n若給定邊界頻率不滿足條件，則可改變參數(shù)，提高指標(biāo)若給定邊界頻率不滿足條件，則可改變參數(shù)，提高指標(biāo) ， 220( )( )pWsBPpB sHsG p 20plpuslsu pplslusu ppl

29、uluss pl sl su pu 例：設(shè)計巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為例：設(shè)計巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為4kHz和和7kHz，阻帶上、下邊界頻率分別為，阻帶上、下邊界頻率分別為2kHz和和9kHz， 通帶內(nèi)最大衰減通帶內(nèi)最大衰減p=1dB，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s=20dB。解：解：1）帶通濾波器指標(biāo)）帶通濾波器指標(biāo) 增大增大 2）低通原型濾波器指標(biāo)）低通原型濾波器指標(biāo)WpuplBff 4,7:12,9:20plpupslsusfkHz fkHzdBfkHz fkHzdB plpuslsufff f ,3.1111plpuslslsuffffkHzf

30、 即即取取222205.53.11111.96333.1111slspWffffBf 120psdBdB0puplfff 1p 3）設(shè)計低通原型濾波器：）設(shè)計低通原型濾波器：4）求模擬帶通）求模擬帶通H(s)： 220( )( )pWsBPpB sHsG p 3.低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻的頻率變換:n低通原型到帶阻濾波器的頻率變換低通原型到帶阻濾波器的頻率變換在虛軸上在虛軸上n阻帶邊界頻率：上邊界頻率阻帶邊界頻率：上邊界頻率 下邊界頻率下邊界頻率n帶阻濾波器的帶寬帶阻濾波器的帶寬n帶阻濾波器的中心頻率帶阻濾波器的中心頻率220WpB sps 220WpB pjsj sl su Wsusl

31、B 0 映射關(guān)系映射關(guān)系0,ppss 0,slsususlpuplpupl 減少減少 ，或增加，或增加減少減少 ，或增加，或增加帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)n可以證明：可以證明：n如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標(biāo)如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標(biāo) ， 220( )( )WpB sBSpsHsG p 20plpuslsu plpuslsu plpuslsu pu su sl pl 6.3 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計6.3 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計n目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)n

32、間接法設(shè)計過程間接法設(shè)計過程確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成過渡過渡模擬濾波器的指標(biāo)模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計設(shè)計過渡過渡模擬濾波器模擬濾波器將將過渡過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器n指標(biāo)轉(zhuǎn)換指標(biāo)轉(zhuǎn)換,psps ( )H z( )aHs( )H z22pppsssssssfFFfFF 0,0, 2 sF n實際應(yīng)用中，常希望用數(shù)字濾波器實際應(yīng)用中，常希望用數(shù)字濾波器對模擬信號進行處理。如果給定的對模擬信號進行處理。如果給定的指標(biāo)為模擬指標(biāo)，則指標(biāo)轉(zhuǎn)換為：指標(biāo)為模擬指標(biāo)，則指標(biāo)轉(zhuǎn)換為：(),(),ppsspsspspsffF (),(),ppsspsff 過

33、渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求：過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求：n保證因果穩(wěn)定性，保證因果穩(wěn)定性， Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成的因果穩(wěn)定性映射成 H(z)后保持后保持不變，即不變，即 S 平面的平面的左半平面左半平面 ReS0 應(yīng)映射到應(yīng)映射到 Z 平面的平面的單位圓以內(nèi)單位圓以內(nèi)|z|1右半平面右半平面 0單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部r1左半平面左半平面 0單位圓單位圓r=1虛軸虛軸 =0Z平面平面S平面平面S平面到平面到Z平面的平面的映射是多值映射。映射是多值映射。22/ T2T s s=0 正實軸正實軸 零頻零頻=0T 輻射線輻射線 角度角度: =0 實軸實軸 零頻零頻 =0 平行

34、直線平行直線 頻率頻率:Z平面平面S平面平面/2s /22ssTT結(jié)論結(jié)論n穩(wěn)定性穩(wěn)定性如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點 都在都在 S 左左半平面，那么變換后半平面，那么變換后 H(z) 的極點也都在單位圓以內(nèi)，的極點也都在單位圓以內(nèi)，因此數(shù)字濾波器保持因果穩(wěn)定。因此數(shù)字濾波器保持因果穩(wěn)定。n頻率響應(yīng)特性的近似性頻率響應(yīng)特性的近似性1()()jTaskX eXjjkT 12()()jakkX eXjTT ( )()( )at nTh nh nTh t ()jH e ()aHj 12()()jakkH eHjTT 數(shù)字濾波器的頻數(shù)字濾波器的頻響并不是簡

35、單的響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模的頻響，而是模擬濾波器頻響的擬濾波器頻響的周期延拓！周期延拓！()H j n無混疊失真的的條件：無混疊失真的的條件：帶限、滿足采樣定理，即帶限、滿足采樣定理，即n混疊失真的影響混疊失真的影響相似性變差、無法滿足阻帶衰減指標(biāo)相似性變差、無法滿足阻帶衰減指標(biāo)n脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點：脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點：（1）頻率坐標(biāo)變換是線性的，數(shù)字濾波器在無頻率混疊時能較）頻率坐標(biāo)變換是線性的，數(shù)字濾波器在無頻率混疊時能較好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性；好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性；（2）由于數(shù)字域的脈沖響應(yīng)模仿了模擬域的沖激響應(yīng)，故時域）由于數(shù)

36、字域的脈沖響應(yīng)模仿了模擬域的沖激響應(yīng)，故時域特性逼近好；特性逼近好；（3）模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，）模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好這時，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。的效果。（4）由于頻率混疊現(xiàn)象，故）由于頻率混疊現(xiàn)象，故不適合不適合高通、帶阻濾波器高通、帶阻濾波器的設(shè)計。的設(shè)計。()0,2saHj 當(dāng)當(dāng)增益的補償增益的補償2()1()jakkH eHjTT 11( )1kNks TkTAH zez ( )( )at nTh nTh t 2()()jakkH eHjT 共軛

37、極點的合并共軛極點的合并n避免復(fù)數(shù)乘法避免復(fù)數(shù)乘法n其中其中11( )1kNks TkTAH zez 101121112111kkkkkks Ts TkkTATAbb za zazezez kkkkkksjsj 01122Re,2Re2cos(),2kkkkTTkkkkTTkkkbTAbTeA eaeTae /210112112( )1Nkkkkkbb zH za zaz 例：例： 將一個具有如下傳遞函數(shù)將一個具有如下傳遞函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。的模擬濾波器數(shù)字化。 解：解： 211( )(1)(3)13H sssss 11311( )11TTH zzeze 131342()1()TTTTT

38、zeezeeez 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為: 顯然顯然 與采樣間隔與采樣間隔 T （采樣頻率）有關(guān)（采樣頻率）有關(guān), 如圖如圖b,T 越小越小,衰減越大衰減越大,混疊越小混疊越小,當(dāng)當(dāng) Fs=24Hz ,混疊可忽略不計混疊可忽略不計,為為什么混什么混疊疊呢呢? 模擬濾波器的頻率響應(yīng)為模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:222()( )(1)(3)(3)4asjHjH sjjj 3342()()( )1 ()jTTjjTTjTjz eeeeH eH zeeeee ()jH e 例例 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾器，要求通帶與阻帶用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾器，要求通帶與阻帶具有單調(diào)特

39、性。指標(biāo)如下：具有單調(diào)特性。指標(biāo)如下：設(shè)計基本步驟：設(shè)計基本步驟：（1）將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為）將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為過渡過渡模擬濾波器指標(biāo)：模擬濾波器指標(biāo)：0.2rad,1dB,0.35rad,10 dBppss/,/,ppsspsTTT 由保持不變（2）設(shè)計相應(yīng)的）設(shè)計相應(yīng)的過渡過渡模擬濾波器：模擬濾波器： （根據(jù)單調(diào)特性，應(yīng)選用巴特沃思濾波器）（根據(jù)單調(diào)特性，應(yīng)選用巴特沃思濾波器）（3）由由過渡過渡模擬濾波器模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)： 1( )NkakkAHsss 11( )1kNks TkAH zez 例例 （續(xù)）（續(xù)）注意：當(dāng)注意：當(dāng)給定數(shù)字濾波器

40、技術(shù)指標(biāo)時，數(shù)字濾波器的設(shè)計中，給定數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)時，數(shù)字濾波器的設(shè)計中，采樣周期采樣周期 T 的取值對頻譜混疊程度影響很小（如例中的取值對頻譜混疊程度影響很?。ㄈ缋蠺=1s 和和 T=0.1s 的濾波器特性一致）。的濾波器特性一致）。 這是因為數(shù)字濾波器指標(biāo)中有這是因為數(shù)字濾波器指標(biāo)中有 ，轉(zhuǎn)換到過渡模擬，轉(zhuǎn)換到過渡模擬濾波器指標(biāo)中，濾波器指標(biāo)中，T 取不同值時一定有取不同值時一定有 ，模擬濾波器在模擬濾波器在1/2采樣頻率以上響應(yīng)特性一定都很?。ㄗ璨蓸宇l率以上響應(yīng)特性一定都很小（阻帶），再變換到數(shù)字濾波器時引起的混疊都較小。帶），再變換到數(shù)字濾波器時引起的混疊都較小。s /2sssT

41、TF 小結(jié)：小結(jié)：( )( )()( )( )aaaH sh th nTh nzH z 模模擬擬濾濾波波器器采采樣樣變變換換得得數(shù)數(shù)字字濾濾波波器器1( )NkakkAHsss 若若 1) 脈沖響應(yīng)不變法的一個重要特點是頻率坐標(biāo)的變換是線性脈沖響應(yīng)不變法的一個重要特點是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，的，與與是線性關(guān)系。是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法得例

42、如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。()()/jaH eHjT 11( )1kNks TkAH zez 則則 2) 在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實現(xiàn)時域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)的功能時，如要實現(xiàn)時域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。不變法。 3) 如果如果Ha(s) 是穩(wěn)定的，即其極點在是穩(wěn)定的，即其極點在 S 平面的左半平面，映平面的左半平面，映射后得到的射后得到的 H(z) 也是穩(wěn)定的，其極點在也是穩(wěn)定的，其極

43、點在 Z 平面單位圓內(nèi)。平面單位圓內(nèi)。 4) 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點：有頻響特性的周期延拓效應(yīng)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點：有頻響特性的周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性。如衰減特性很好的低通或帶，因此只能用于帶限的頻響特性。如衰減特性很好的低通或帶通濾波器，高頻衰減越大，頻響的混疊效應(yīng)越??；至于高通和通濾波器，高頻衰減越大，頻響的混疊效應(yīng)越小；至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。因此不能用于設(shè)計高通和帶阻濾波器。低頻響應(yīng)中。因此不能用于設(shè)計高通和帶阻濾波器。 6.3.2 雙線性變換法設(shè)計雙線性變

44、換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器n克服脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象，采用非線性頻率壓克服脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法。縮方法。n雙線性變換法的基本設(shè)計思想雙線性變換法的基本設(shè)計思想脈沖響應(yīng)不變法：波形逼近脈沖響應(yīng)不變法：波形逼近雙線性變換法：算法逼近。雙線性變換法：算法逼近。用線性常系數(shù)差分方程用線性常系數(shù)差分方程逼近逼近線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程n微分方程到差分方程的近似微分方程到差分方程的近似微分方程微分方程近似近似差分方程差分方程11( )( )NNkaakkkkAHsHsss ( )kakkAHsss ( )( )( )akakadyts ytA x

45、tdt ( ) ( )(1)/,( )()( ) ( )(1)/ 2( ) ( )(1)/ 2,( )()aaaaadyty ny nTy nynTdtyty ny nxtx nx nx nxnT ( )(1)/ ( )(1)/ 2 ( )(1)/ 2kky ny nTsy ny nA x nx n n系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)n 有有nS 域到域到 Z 域的映射為雙線性變換域的映射為雙線性變換112 1111( )( )2 11kzkaksTzkAHzHszsTz 112 11( )( )zasTzH zHs 112 11zsTz 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻響交疊產(chǎn)生的混淆，這脈沖響應(yīng)不變法的主要缺

46、點是頻響交疊產(chǎn)生的混淆，這是從是從S平面到平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zesT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點，設(shè)想變換分為兩步：為了克服這一缺點，設(shè)想變換分為兩步： 第一步：將整個第一步：將整個S平面壓縮到平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；平面的一條橫帶里； 第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面平面上去。上去。 由此建立由此建立S平面與平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。性，也就消除了混淆現(xiàn)象。雙線性變換法的映射關(guān)系雙線性變換法的映射關(guān)系n 正切變

47、換實現(xiàn)頻率壓縮：正切變換實現(xiàn)頻率壓縮：121tan()2TT 式中式中T仍是采樣間隔，當(dāng)仍是采樣間隔，當(dāng)1從從-/T經(jīng)過經(jīng)過0變化到變化到/T時，時，則由則由-經(jīng)過經(jīng)過0變化到變化到+，實現(xiàn)了，實現(xiàn)了S平面上整個虛軸完全壓平面上整個虛軸完全壓縮到縮到S1平面上虛軸的平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。之間的轉(zhuǎn)換。考慮到：考慮到：令令 s=j ， s1=j 1則有則有111212 1()21s Ts TesthTTTe11111221122sin()22212th()2cos()2TTjjTTjjTeejjTTTTTee n 再通過再通過 轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到Z平面上，得到：平面上，得到：1s Tze112 11zsTz雙線性變換的性能分析雙線性變換的性能分析n穩(wěn)定性穩(wěn)定性映射關(guān)系映射關(guān)系1122TTzSS 1()1()22TTjj 222221/ 2(/ 2)1/ 2(/ 2)TTzTT 010101zzz 因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定( )aHs因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定( )H z非線性頻率壓縮非線性頻率壓縮n非線性關(guān)系消除了頻率混疊，但會帶來幅度和相位失真。非線性關(guān)系消除了頻率混疊，但會帶來幅度和相位失真。/2/2/2/2/2/