1、4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用類型類型 一一 直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】【典型例題】1 1.(2013.(2013濟(jì)寧高一檢測濟(jì)寧高一檢測) )一輛卡車寬一輛卡車寬1.6m,1.6m,要經(jīng)過一個(gè)半圓形要經(jīng)過一個(gè)半圓形隧道隧道( (半徑為半徑為3.6m),3.6m),則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過得超過( () )A.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0mA.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0m2.2.某圓拱橋的示意圖如圖所示某圓拱橋的示意圖如圖所示, ,該圓拱的跨度該圓拱的跨度ABAB是

2、是36m,36m,拱高拱高OPOP是是6m,6m,在建造時(shí)在建造時(shí), ,每隔每隔3m3m需用一個(gè)支柱支撐需用一個(gè)支柱支撐, ,求支柱求支柱A A2 2P P2 2的的長長.(.(精確到精確到0.01m)0.01m)【解題探究】【解題探究】1.1.題題1 1中的條件放在圓中相當(dāng)于已知哪些條件中的條件放在圓中相當(dāng)于已知哪些條件? ?2.2.與圓形有關(guān)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程是什么與圓形有關(guān)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.已知圓的半徑及弦長已知圓的半徑及弦長. .2.2.建系建系求點(diǎn)的坐標(biāo)求點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的方程求圓的方程求得實(shí)際問題的結(jié)果求得實(shí)際問題的結(jié)果

3、. .【解析】【解析】1.1.選選B.B.圓半徑圓半徑OAOA3.6,3.6,卡車寬卡車寬1.6,1.6,所以所以ABAB0.8,0.8,所以弦心距所以弦心距OBOB 3.5(m).3.5(m).223.60.82.2.如圖如圖, ,以線段以線段ABAB所在的直線為所在的直線為x x軸軸, ,線段線段ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系, ,那么點(diǎn)那么點(diǎn)A,B,PA,B,P的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-18,0),(-18,0),(18,0),(0,6)(18,0),(0,6)設(shè)圓拱所在的圓的方程是設(shè)圓拱所在的圓的方程是x x2 2y y2 2DxD

4、xEyEyF F0.0.因?yàn)橐驗(yàn)锳,B,PA,B,P在此圓上在此圓上, ,故有故有 解得解得故圓拱所在的圓的方程是故圓拱所在的圓的方程是x x2 2y y2 248y-32448y-3240.0.將點(diǎn)將點(diǎn)P P2 2的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)x x6 6代入上式代入上式, ,解得解得y y-24-24 5.39(m).5.39(m).答：支柱答：支柱A A2 2P P2 2的長約為的長約為5.39 m.5.39 m.2221818DF01818DF066EF0，D0E48F324. ，12 6【拓展提升】【拓展提升】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個(gè)原則建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個(gè)原則(1)(1)若曲

5、線是軸對稱圖形若曲線是軸對稱圖形, ,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸. .(2)(2)常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn). .(3)(3)盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上. .建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系, ,會簡化運(yùn)算過程會簡化運(yùn)算過程. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】如圖所示如圖所示, ,一座圓拱橋一座圓拱橋, ,當(dāng)水面在某位置時(shí)當(dāng)水面在某位置時(shí), ,拱頂拱頂離水面離水面2 m,2 m,水面寬水面寬12 m,12 m,當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1 m1 m后后, ,水面寬為水面寬為m.m.【解析】【解析】如圖所示如圖所示, ,以

6、圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn), ,以過拱頂?shù)呢Q直以過拱頂?shù)呢Q直直線為直線為y y軸軸, ,建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系, ,設(shè)圓心為設(shè)圓心為C,C,水面所在弦的端點(diǎn)為水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,A,B,則由已知得則由已知得A(6,-2),B(-6,-2).A(6,-2),B(-6,-2).設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r,r,則則C(0,C(0,-r),-r),即圓的方程為即圓的方程為x x2 2+(y+r)+(y+r)2 2=r=r2 2. . 將點(diǎn)將點(diǎn)A A的坐標(biāo)的坐標(biāo)(6,-2)(6,-2)代入方程代入方程, ,解得解得r=10.r=10.所以圓的方程為所以圓的方程為x x2 2+(y

7、+10)+(y+10)2 2=100.=100. 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m1m后后, ,可設(shè)點(diǎn)可設(shè)點(diǎn)AA的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x(x0 0,-3)(x,-3)(x0 00),0),將將AA的的坐標(biāo)坐標(biāo)(x(x0 0,-3),-3)代入方程代入方程, ,求得求得x x0 0= .= .所以所以, ,水面下降水面下降1m1m后后, ,水面寬為水面寬為2x2x0 0=2 (m).=2 (m).答案答案: :2 2515151類型類型 二二 坐標(biāo)法的應(yīng)用坐標(biāo)法的應(yīng)用 【典型例題】【典型例題】1.1.在圓在圓x x2 2+y+y2 2-2x-6y=0-2x-6y=0內(nèi)內(nèi), ,過點(diǎn)過點(diǎn)E(0,1)E(0,1)

8、的最長弦和最短弦分別為的最長弦和最短弦分別為ACAC和和BD,BD,則四邊形則四邊形ABCDABCD的面積為的面積為( () )A.5 B.10 C.15 D.20A.5 B.10 C.15 D.202.2.如圖如圖, ,直角直角ABCABC的斜邊長為定值的斜邊長為定值2m,2m,以斜邊以斜邊的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O為圓心作半徑為為圓心作半徑為n n的圓的圓, ,直線直線BCBC交圓于交圓于P,QP,Q兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,求證求證:|AP|:|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2為定值為定值. .2222【解題探究】【解題探究】1.1.過圓內(nèi)某點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是什么過圓內(nèi)

9、某點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是什么? ?2.2.與圓有關(guān)的平面幾何問題能否轉(zhuǎn)化為與圓的方程有關(guān)的問與圓有關(guān)的平面幾何問題能否轉(zhuǎn)化為與圓的方程有關(guān)的問題求解題求解? ?探究提示探究提示: :1.1.過圓內(nèi)某點(diǎn)的最長弦為過該點(diǎn)的直徑過圓內(nèi)某點(diǎn)的最長弦為過該點(diǎn)的直徑, ,最短弦為與此直徑垂最短弦為與此直徑垂直的弦直的弦. .2.2.與圓有關(guān)的平面幾何問題可通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)與圓有關(guān)的平面幾何問題可通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系轉(zhuǎn)化為與圓的方程有關(guān)的問題來求解系轉(zhuǎn)化為與圓的方程有關(guān)的問題來求解. .【解析】【解析】1.1.選選B.B.圓的方程化為圓的方程化為(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(

10、y-3)2 2=10,=10,設(shè)圓心為設(shè)圓心為G,G,易知易知G(1,3),G(1,3),最長弦最長弦ACAC為過為過E E的直徑的直徑, ,則則|AC|=|AC|=最短弦最短弦BDBD為與為與GEGE垂直的弦垂直的弦, ,如圖所示如圖所示, ,易得易得|BG|= ,|EG|=|BG|= ,|EG|=|BD|=2|BE|=|BD|=2|BE|=所以四邊形所以四邊形ABCDABCD的面積為的面積為S S |AC|BD|AC|BD|2 10,10220 11 35,222BGEG2 5.1210 2.2.2.如圖如圖, ,以以O(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), ,以直線以直線BCBC為為x x軸軸, ,

11、建立平面直角坐標(biāo)系建立平面直角坐標(biāo)系, ,于是有于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).Q(n,0).設(shè)設(shè)A(x,y),A(x,y),由已知由已知, ,點(diǎn)點(diǎn)A A在圓在圓x x2 2+y+y2 2=m=m2 2上上. .|AP|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2=(x+n)=(x+n)2 2+y+y2 2+(x-n)+(x-n)2 2+y+y2 2+4n+4n2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2+6n+6n2 2=2m=2m2 2+6n+6n2 2( (定值定值).).【拓展提升】【拓展

12、提升】用坐標(biāo)法解決幾何問題的思路用坐標(biāo)法解決幾何問題的思路用坐標(biāo)法解決幾何問題用坐標(biāo)法解決幾何問題, ,要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系要先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系, ,用坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示出相應(yīng)的幾何元素出相應(yīng)的幾何元素, ,如點(diǎn)、直線、圓等如點(diǎn)、直線、圓等, ,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決數(shù)問題來解決, ,通過代數(shù)的運(yùn)算得到結(jié)果通過代數(shù)的運(yùn)算得到結(jié)果, ,分析結(jié)果的幾何意分析結(jié)果的幾何意義義, ,得到幾何結(jié)論得到幾何結(jié)論. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】ABAB為圓的定直徑為圓的定直徑,CD,CD為圓的動(dòng)直徑為圓的動(dòng)直徑, ,過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作ABAB的的垂線垂線DE,DE,延長延長EDED到

13、點(diǎn)到點(diǎn)P,P,使使|PD|=|AB|,|PD|=|AB|,求證求證: :直線直線CPCP必過一定點(diǎn)必過一定點(diǎn). .【解題指南】【解題指南】由題意建立平面直角坐標(biāo)系由題意建立平面直角坐標(biāo)系, ,將平面幾何問題轉(zhuǎn)將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為解析幾何知識求解化為解析幾何知識求解. .【證明】【證明】以以ABAB為為x x軸軸, ,圓心圓心O O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系, ,設(shè)圓設(shè)圓的半徑為的半徑為r.r.則則A(r,0),A(r,0),B(-r,0),B(-r,0),設(shè)設(shè)C(xC(x0 0,y,y0 0),),則則D(-xD(-x0 0,-y,-y0 0),),所以所以P(-xP(-

14、x0 0,-y,-y0 0-2r),-2r),當(dāng)當(dāng)x x0 000時(shí)時(shí), ,直線直線CPCP的方程為的方程為y-yy-y0 0= (x-x= (x-x0 0),),即即x x0 0(y+r)=x(y(y+r)=x(y0 0+r),+r),002y2r2x所以所以CPCP過直線過直線y+r=0y+r=0和和x=0 x=0的交點(diǎn)的交點(diǎn), ,即直線過定點(diǎn)即直線過定點(diǎn)(0,-r).(0,-r).經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)x x0 0=0=0時(shí)時(shí),CP,CP也過點(diǎn)也過點(diǎn)(0,-r),(0,-r),故直線故直線CPCP必過一定點(diǎn)必過一定點(diǎn). . 與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題 【典型例題】【典型例題】1.1.

15、已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(3,0)A(3,0)及圓及圓x x2 2+y+y2 2=4,=4,則圓上一點(diǎn)則圓上一點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)A A距離的最大值距離的最大值是是, ,最小值是最小值是. .2.2.已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)x,yx,y滿足滿足x x2 2+y+y2 2-4x+1=0,-4x+1=0,則則x-yx-y的最大值和最小值分的最大值和最小值分別是別是_和和_. _. 的最大值和最小值分別是的最大值和最小值分別是_和和_.x_.x2 2+y+y2 2的最大值和最小值分別是的最大值和最小值分別是_和和_._.yx【解析】【解析】1.1.方法一方法一( (幾何法幾何法):):圓的半徑為圓的半徑為2,2,圓心到點(diǎn)

16、圓心到點(diǎn)A A的距離的距離為為3,3,結(jié)合圖形可知結(jié)合圖形可知, ,圓上一點(diǎn)圓上一點(diǎn)P P到點(diǎn)到點(diǎn)A A距離的最大值是距離的最大值是3+2=5,3+2=5,最最小值是小值是3-2=1.3-2=1.方法二方法二( (代數(shù)法代數(shù)法):):設(shè)設(shè)P(x,y)P(x,y)是圓上任意一點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn), ,則則|PA|PA|2 2=(x-3)=(x-3)2 2+y+y2 2=(x-3)=(x-3)2 2+4-x+4-x2 2=13-6x,=13-6x,因?yàn)橐驗(yàn)?2x2,-2x2,所以當(dāng)所以當(dāng)x=-2x=-2時(shí)時(shí),|PA|,|PA|maxmax2 2=25,=25,則則|PA|PA|maxmax=5;=5;

17、當(dāng)當(dāng)x=2x=2時(shí)時(shí),|PA|,|PA|minmin2 2=1,=1,則則|PA|PA|minmin=1.=1.答案答案: :5 51 12.(1)2.(1)設(shè)設(shè)x-yx-yb b，則，則y yx-bx-b與圓與圓x x2 2y y2 2-4x-4x1 10 0有公共點(diǎn)有公共點(diǎn), ,即即 所以所以故故x-yx-y最大值為最大值為2 2 , ,最小值為最小值為2- .2- .(2)(2)設(shè)設(shè) k,k,則則y ykxkx與與x x2 2y y2 2-4x-4x1 10 0有公共點(diǎn)有公共點(diǎn), ,即即所以所以 , ,故故 最大值為最大值為 , ,最小值為最小值為222b3,1126b26. +66yx

18、22k3,1k3k3yx33.(3)(3)圓心圓心(2,0)(2,0)到原點(diǎn)距離為到原點(diǎn)距離為2,2,半徑半徑r r故故(2- )(2- )2 2xx2 2y y2 2(2(2 ) )2 2. .由此由此x x2 2y y2 2最大值為最大值為7 74 ,4 ,最小值為最小值為7-4 .7-4 .答案：答案：333326263374 374 33,【拓展提升】【拓展提升】利用直線與圓的方程解決最值問題的方法利用直線與圓的方程解決最值問題的方法(1)(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義, ,然后利用直線然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)知識并結(jié)合圖形

19、的直觀性來分與圓的方程及解析幾何的有關(guān)知識并結(jié)合圖形的直觀性來分析解決問題析解決問題, ,常涉及的幾何量有斜率、截距、距離等常涉及的幾何量有斜率、截距、距離等. .(2)(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式, ,利用函數(shù)的性質(zhì)解決利用函數(shù)的性質(zhì)解決. .【易錯(cuò)誤區(qū)】【易錯(cuò)誤區(qū)】利用數(shù)形結(jié)合的解題誤區(qū)利用數(shù)形結(jié)合的解題誤區(qū)【典例】【典例】方程方程 kxkx2 2有惟一解有惟一解, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)k k的范圍是的范圍是( )( )A.kA.k B.k(-2,2) B.k(-2,2)C.k-2C.k2 D.k2 D.k2k2或或k k3 321x3【解析】【解析】選選D.D.由題意知由題意知, ,

20、直線直線y ykxkx2 2與半圓與半圓x x2 2y y2 21(1(y0y0) )只有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖形易得只有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖形易得k-2k2k2或或k k3.【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】【防范措施】【防范措施】1.1.數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用解答此類問題主要方法是數(shù)形結(jié)合解答此類問題主要方法是數(shù)形結(jié)合, ,以形助數(shù)以形助數(shù), ,通過對圖形的通過對圖形的分析來尋找解題思路分析來尋找解題思路. .同時(shí)注意關(guān)鍵點(diǎn)的取舍同時(shí)注意關(guān)鍵點(diǎn)的取舍, ,如本例漏掉相如本例漏掉相切的情況或相交時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)的情況而致錯(cuò)切的情況或相交時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)的情況而致錯(cuò). .2.2.注意隱含條件的挖掘注意隱含條件的挖掘

21、本例中所給等式本身隱含著本例中所給等式本身隱含著 這一條件這一條件, ,若不注意挖若不注意挖掘則可能出現(xiàn)只根據(jù)直線與圓相切求解掘則可能出現(xiàn)只根據(jù)直線與圓相切求解k k而致錯(cuò)而致錯(cuò). .21x0【類題試解】【類題試解】方程方程 表示的曲線為表示的曲線為( () )A.A.兩個(gè)半圓兩個(gè)半圓 B.B.一個(gè)圓一個(gè)圓C.C.半個(gè)圓半個(gè)圓 D.D.兩個(gè)圓兩個(gè)圓【解析】【解析】選選A.A.兩邊平方整理得兩邊平方整理得:(|x|-1):(|x|-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,由由|x|-|x|-1010得得x1x1或或x-1,x-1,所以所以(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-

22、1)2 2=1(x1)=1(x1)或或(x+1)(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1(x-1),=1(x-1),所以為兩個(gè)半圓所以為兩個(gè)半圓, ,故選故選A.A.2x12yy1.1.若直線若直線y=ax+by=ax+b通過第一、二、四象限通過第一、二、四象限, ,則圓則圓(x-a)(x-a)2 2+(y-+(y-b)b)2 2=r=r2 2(r0)(r0)的圓心位于第的圓心位于第象限象限( () )A.A.一一B.B.二二C.C.三三D.D.四四【解析】【解析】選選B.B.由于直線通過第一、二、四象限由于直線通過第一、二、四象限, ,所以所以a0,a0,故圓心位于第二象限故圓心位

23、于第二象限. .2.2.若圓若圓x x2 2+y+y2 2-2x-4y=0-2x-4y=0的圓心到直線的圓心到直線x-y+a=0 x-y+a=0的距離為的距離為 則則a a的值為的值為( )( )A.-2A.-2或或2 B. 2 B. 或或 C.2C.2或或0 D.-20 D.-2或或0 0【解析】【解析】選選C.C.圓心為圓心為(1,2),(1,2),利用點(diǎn)到直線的距離公式得利用點(diǎn)到直線的距離公式得 化簡得化簡得|a-1|=1,|a-1|=1,解得解得a=0a=0或或a=2.a=2.2,2123212a2,223.3.過點(diǎn)過點(diǎn)M(1,2)M(1,2)的直線的直線l將圓將圓(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=9=9分成兩段弧分成兩段弧, ,其中的劣其中的劣弧最短時(shí)弧最短時(shí), ,直線直線l的方程為的方程為. .【解析】【解析】設(shè)圓心為設(shè)圓心為N(2,0),N(2,0),由圓的性質(zhì)得直線由圓的性質(zhì)得直線lMNMN時(shí)時(shí), ,形成的形成的劣弧最短劣弧最短, ,由點(diǎn)斜式得直線由點(diǎn)斜式得直線l的方程為的方程為x-2y