1、曲線積分曲線積分 習(xí)題課習(xí)題課一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容曲線積分曲線積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義定義性質(zhì)性質(zhì)計算公式計算公式兩者關(guān)系兩者關(guān)系曲線積分曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義實質(zhì) 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 變力沿曲線作功性質(zhì) 線性、可加、無方向 可加、有方向計算 一代、二換、三定限 一代、二換、三定限聯(lián)系iiiniLsfdsyxf ),(),(10lim ),(),(10limiiiiiniiLyQxPdyQPdx LLdsQPdyQPdx)coscos( 與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條

2、條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系曲線積分曲線積分定積分定積分計算計算重積分重積分Green公式計算計算曲面積分曲面積分Guass公式公式計算計算Stokes公式公式積分概念的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系點點函函數(shù)數(shù))(,)(lim)(10MfM

3、fdMfnii 定積分定積分.)()(,1 badxxfdMfbaR 時時上區(qū)間上區(qū)間當(dāng)當(dāng)二重積分二重積分.),()(,2 DdyxfdMfDR 時時上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時時上平面曲線上平面曲線當(dāng)當(dāng)三重積分三重積分 dVzyxfdMfR),()(,3 時時上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分.),()(,3 dszyxfdMfR 時時上空間曲線上空間曲線當(dāng)當(dāng)曲面積分曲面積分.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時時上曲面上曲面當(dāng)當(dāng)計算上的聯(lián)系計算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)

4、( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),()(曲曲面元素面元素dS xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),()(投影投影面元素面元素dxdy其中其中dsQPQdyPdxLL)coscos( dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 理論上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1.定積分與

5、不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系 baaFbFdxxf)()()(牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系dyQPdxdyPxQLD )(格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系dxdyRQdzdxPdydzdVzRyQxP )(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(斯托克斯公式斯托克斯公式（三）（三）場論初步場論初步梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量 RdxdyQdzdxPdydz散度散度zRy

6、QxPAdiv 環(huán)流量環(huán)流量 RdzQdyPdx旋度旋度kyPxQjxRzPizQyRArot)()()( 關(guān)于對稱性關(guān)于對稱性對弧長的曲線積分與方向無關(guān)，對弧長的曲線積分與方向無關(guān)，可以利用對稱性可以利用對稱性簡化計算簡化計算設(shè)設(shè)L 關(guān)于關(guān)于 x ( y ) 軸對稱軸對稱若若 f( x ,y ) 關(guān)于關(guān)于 y ( x ) 是奇函數(shù)是奇函數(shù)即即),(),(),(),(yxfyxfyxfyxf 則則 Ldsyxf0),(若若 f( x ,y ) 關(guān)于關(guān)于 y ( x ) 是偶函數(shù)是偶函數(shù)即即),(),(),(),(yxfyxfyxfyxf 則則 LLdsyxfdsyxf1),(2),( 對坐標(biāo)的

7、曲線積分與方向有關(guān)，所以對坐標(biāo)的曲線積分與方向有關(guān)，所以在考慮對稱性時既要考慮被積函數(shù)與曲線在考慮對稱性時既要考慮被積函數(shù)與曲線的對稱性，還要考慮曲線的方向，因此直的對稱性，還要考慮曲線的方向，因此直接應(yīng)用比較困難，一般是先轉(zhuǎn)化為對弧長接應(yīng)用比較困難，一般是先轉(zhuǎn)化為對弧長的曲線積分，然后再考慮使用對稱性。的曲線積分，然后再考慮使用對稱性。其中其中L1 是位于對稱軸一側(cè)的部分是位于對稱軸一側(cè)的部分關(guān)于第二類曲線積分的計算關(guān)于第二類曲線積分的計算若曲線封閉，首先考慮使用若曲線封閉，首先考慮使用Green公式公式若曲線不封閉，可考慮添加輔助曲線使之封閉，若曲線不封閉，可考慮添加輔助曲線使之封閉，然后

8、再使用然后再使用Green公式公式此時應(yīng)注意兩點：此時應(yīng)注意兩點：輔助線上的積分應(yīng)容易輔助線上的積分應(yīng)容易計算，計算，輔助線的方向與曲線的方向相容，輔助線的方向與曲線的方向相容，化成第一類曲線積分計算化成第一類曲線積分計算按第二類曲線積分的計算公式直接計算按第二類曲線積分的計算公式直接計算二、二、典型例題典型例題例例1 計算計算dseLyx 220,:222 yxyayxL所圍成的在第三象限的扇形的整個邊界所圍成的在第三象限的扇形的整個邊界解解如圖如圖a 2a L1 L1L2 L2L3L30, 0 xay taytaxsincos45 t02, xaxyL=L1+L2+L3dsedseLyxL

9、LLyx 3222122)( 0axdxe 45 adteadxeax 0222141 aaaeeae 242 aea 例例2 2 計計算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其其中中L為為由由點點) 0 , 0(O到到點點) 1 , 1 (A的的曲曲線線xy2sin . . 解解 dyyxdxxyxI)()2(422由由xxyxyyP2)2(2 知知xyo11AxyxxxQ2)(42 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xQyP 例例 3 3 計算計算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , 其中其中L為由點為由點)0 ,(a到點到點)0 ,

10、0(的上半圓周的上半圓周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP ( (如下圖如下圖) )xyo)0 ,(aAM AMOAAOAOAOLIdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 AMOAAOI082 am.82am Lyxdyyxdxyx22)()(其中其中L為為不包圍也不通過原點的任意閉曲線不包圍也不通過原點的任意閉曲線以原點為中心的正向單位圓周以原點為中心的正向單位圓周包圍原點的任意正向閉曲線包圍原點的任意正向閉曲線解解 22yxyxP 22yxxyQ 22

11、222)(2yxxyyxyPxQ 若若D )0 , 0(則由則由Green公式公式 LQdyPdx0例例4 計算計算若若D )0 , 0(則以原點為心，作一半徑充分小的正向圓周則以原點為心，作一半徑充分小的正向圓周0 記記L和和 所為成的區(qū)域為所為成的區(qū)域為D1 ，由，由Green公式公式0 dxdyyPxQQdyPdxQdyPdxLD)(01 LQdyPdxQdyPdx0 dttrtrtrtrtrtrtrtr 2022)sin()cos()cos)(cossin()sin)(sincos( 2 L122 yx,sin,costytx 20 tdtttttttttI 2022sincos)(coscos(sin)sin)(sin(cos 2 xQyP 在原點不連續(xù)，在原點不連續(xù)，記記L和和 所為成的區(qū)域為所為成的區(qū)域為D1 ，由，由Green公式公式 以原點為心，作一半徑充分小的正向圓周以原點為心，作一半徑充分小的正向圓周 LQdyPdxQdyPdx 2 由于由于 L 所圍區(qū)域包含原點所圍區(qū)域包含原點解解)()(22212222 yxyxyyxyP )(2)(211223222 yxxyxxyxQ令令xQyP 得得0)(12(22 yx 由由210 y 0 y使得在不經(jīng)過使得在不經(jīng)過的值的值dyyyxxdxyyxxIL 222222)()( 的區(qū)域上的區(qū)域上與路徑無關(guān)與