1、第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十一章 AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求

2、極限” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) 是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作szyxfd),(若通過(guò)對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

3、束 如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意注意:(1) 對(duì)于第一類曲線積分，應(yīng)注意函數(shù)是定義在曲線上的，因此其自變量要滿足曲線方程式。以后我們常利用曲線方程式來(lái)對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變形,以此來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。(2) 可以證明

4、,只要函數(shù)在曲線上連續(xù),其第一類曲線 積分就存在。（P187 定理） 3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfkd),() 1 (（k 為常數(shù))szyxfkd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 szyxfd ),()2(),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長(zhǎng)度)l21d),(d),(szyxfszyxf則(5). 若在 上),(zyxf, ),(zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 szyxszyxfd),(d),(特別的，有.d| ),(|d),(szyxfszyxf則(6). 若在 上,),(MzyxfmlM

5、szyxflmd),(7).(第一類曲線積分的中值定理),(zyxf設(shè)在曲線 上連續(xù), l 為的弧長(zhǎng),則存在,),(使得szyxfd),(lf),(8. 設(shè)函數(shù)),(zyxf在空間曲線 上連續(xù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若關(guān)于xoy面對(duì)稱,記1為位于xoy面上方的部分. 在上),(),() 1 (zyxfzyxf則szyxfd),(1d),(2szyxf),(),()2(zyxfzyxf則szyxfd),(0當(dāng)曲線關(guān)于 yoz 面對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性； 仍有類似結(jié)果.或者,曲線關(guān)于 zox 面對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 y 有奇偶性時(shí), 8設(shè)函數(shù)),(yxf記 L1為L(zhǎng) 位于

6、 x 軸上方的部分, ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfLsyxfd),(0d),(Lsyxf當(dāng)曲線關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍在 L 上1d),(2Lsyxf在曲線 L 上連續(xù), L關(guān)于x 軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 平面曲線的情形：tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),* *證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyx

7、f求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到

8、22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 第一類曲線積分計(jì)算時(shí)應(yīng)遵循以下步驟

9、(1)注意利用對(duì)稱性、曲線方程、性質(zhì)和形心公式；(2)選取合適的曲線表示形式,抓住弧長(zhǎng)微元.平面曲線直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系參數(shù)化方程22)(d)(ddyxs空間曲線 （參數(shù)化方程）222)(d)(d)(ddzyxs(3)代入,轉(zhuǎn)化為定積分,注意上限要大于下限.例例1. 計(jì)算,dLsy其中 L 是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo例例2. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲

10、線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 解解: 分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注：逐段光滑的曲線求曲線積分時(shí)要注意利用性質(zhì)3.例例3. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 計(jì)算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的

11、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

12、回 結(jié)束 例例6. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 d d s例例7. 計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)

13、方程 21cos2x sin2y則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明：說(shuō)明：對(duì)于第一類曲線積分,仍有三個(gè)以下經(jīng)常使用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的公式:（只對(duì)空間曲線進(jìn)行描述,平面曲線類似）(1)若對(duì)于曲線 ,作 xy 后表示方式不變,則szyxfd),(szxyfd),(同樣地,若對(duì)于曲線 ,作 xz (或yz )后表示方式不變,則仍有類似的結(jié)論.(2)作坐標(biāo)平移或旋轉(zhuǎn)(x, y, z)(u, v, w),則szyxfd),(.d),(swvuf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3)對(duì)于一些能知道形心和弧長(zhǎng)的特殊曲線 ,可利用以下形心公式：,dlsxx,dlsyylszzd

14、的弧長(zhǎng)為sld來(lái)求曲線積分.d,d,dszsysx例例8. 計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考: 例8中 改為0)1()1(2222zyxazyx計(jì)算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點(diǎn), 故0XaX22, 如何機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義

15、定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)

16、光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P190 3第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyo備用題備用題1. 設(shè) C 是由極坐