1、第11課函數(shù)及其圖象 基礎(chǔ)知識題型分類要點梳理題型一 確定自變量的取值范圍 助學(xué)微博基礎(chǔ)自測題型二 由自變量取值求函數(shù)值 題型三 確定實際背景下的函數(shù)關(guān)系式題型四 觀察圖象求解實際問題易錯警示7.自變量取值范圍不可忽視答題模板5.函數(shù)建模及函數(shù)應(yīng)用題要點梳理1常量、變量： 在某一過程中，保持一定數(shù)值不變的量叫做_； 可以取不同數(shù)值的量叫做_2函數(shù)： 一般地，設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對 于x的每一個確定的值，y都有_確定的值與它對 應(yīng)，那么就說x是_，y是x的_常量變量唯一自變量函數(shù)首頁要點梳理3函數(shù)自變量取值范圍： 函數(shù)中自變量的取值往往受到某種限制，自變量能取的 數(shù)的全體稱作

2、自變量的取值范圍由解析式給出的函數(shù)， 自變量取值范圍應(yīng)使解析式有意義 (1)函數(shù)解析式如果是一個整式，則自變量可以取_ _； (2)如果函數(shù)解析式中的分母含有自變量，則自變量的 取值范圍是_； (3)如果函數(shù)解析式中含有二次根式，則自變量的取值 范圍是_使被開方式的值為非負(fù)數(shù)的所有實數(shù)全體實數(shù)使分母的值不等于零的所有實數(shù)首頁要點梳理4函數(shù)的圖象： 一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)y的每對 對應(yīng)值分別作為點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描 出這些點，用光滑曲線連接這些點所組成的圖形，就是 這個函數(shù)的圖象首頁要點梳理5函數(shù)的表示方法： 函數(shù)通常有三種表示方法：_；_；_ (1)解析法：用

3、等式來表示一個變量與另一個變量之間的 函數(shù)關(guān)系的方法，這個等式成為函數(shù)的解析式 解析法簡單明了，能使我們從解析式了解整個變化過 程中函數(shù)與自變量之間的全部相依關(guān)系，適合于作理 論分析和計算、推導(dǎo)許多定律、法則都用解析式(即 公式)來表示但在求對應(yīng)值時，需要逐個計算，有時 是很麻煩的，且有不少函數(shù)很難或者無法用解析式表 示出來解析法列表法圖象法首頁要點梳理(2)列表法：用表格形式來表示一個變量與另一個變量之間 函數(shù)關(guān)系的方法 列表法對于表中已有的自變量每一個值，可以直接找到 對應(yīng)的函數(shù)值，它適用于計算函數(shù)值很麻煩或很難找到 函數(shù)關(guān)系式的情況缺點是不能把自變量與函數(shù)的全部 對應(yīng)值都列出來，而且從表

4、格中也不易看出自變量與函 數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律首頁要點梳理(3)圖像法：用圖象來表示一個變量與另一個變量之間函數(shù) 關(guān)系的方法 函數(shù)的變化情況和某些性質(zhì)在圖象上能夠很直觀地顯示 出來，我們通常借助函數(shù)的圖象來探索函數(shù)的性質(zhì)其 缺點在于從圖象上找自變量與函數(shù)的對應(yīng)值一般只是近 似的，且只能反映出變量間關(guān)系的一部分而不是全體 函數(shù)的三種表示法各有優(yōu)缺點，我們常常各取其長，綜 合運用這三種方法來研究有關(guān)函數(shù)問題首頁助學(xué)微博緊抓兩個變量 函數(shù)中有兩個變量，一個是自變量x，另一個是因變量y，這也說明了函數(shù)關(guān)系是某一過程中的兩個變量之間的關(guān)系在具體問題中，要結(jié)合實際意義確定變量 如：在路程問題中svt，當(dāng)速度v

5、是定值時，s與t是變量；當(dāng)時間t是定值時，s與v是變量首頁助學(xué)微博正確理解“唯一” 函數(shù)概念中，“對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)”這句話，說明了兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，對于x在取值范圍內(nèi)每取一個值，都有且只有一個y值與之對應(yīng)，否則y就不是x的函數(shù) 對于“唯一性”可從以下兩方面理解： 從函數(shù)關(guān)系方面理解； 從圖象方面理解首頁助學(xué)微博兩種思想方法 (1)函數(shù)思想 研究一個實際問題時，首先從問題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為“函數(shù)模型”，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應(yīng)用到實際問題中去，從而得到實際問題的研究結(jié)果 (2)數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合，直觀形象，為分析問題和解決問題創(chuàng)造

6、了有利條件，如用函數(shù)圖象解答相關(guān)問題是典型的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用首頁基礎(chǔ)自測()Ax1 Bx1 Cx1 Dx0解析考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮： (1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)； (2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0； (3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù) 根據(jù)題意得，x10，解得x1.故選C.C首頁基礎(chǔ)自測2(2013湘西)小芳的爺爺每天堅持體育鍛煉，某天他慢步 行走到離家較遠(yuǎn)的公園，打了一會兒太極拳，然后沿原路 跑步到家里，下面能夠反映當(dāng)天小芳爺爺離家的距離y(米) 與時間x(分鐘)之間的關(guān)系的大致圖象是 ()ABCD首頁基礎(chǔ)自測2(201

7、3湘西)小芳的爺爺每天堅持體育鍛煉，某天他慢步 行走到離家較遠(yuǎn)的公園，打了一會兒太極拳，然后沿原路 跑步到家里，下面能夠反映當(dāng)天小芳爺爺離家的距離y(米) 與時間x(分鐘)之間的關(guān)系的大致圖象是 ()ABCD解析本題考查了函數(shù)的圖象，理解每階段中，離家的距離 與時間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵 分三段考慮，漫步到公園，此時y隨x的增大緩慢增大； 打太極，y隨x的增大，不變；跑步回家，y隨x的增大 快速減小 結(jié)合圖象可得選項C中的圖象符合題意故選C.首頁基礎(chǔ)自測2(2013湘西)小芳的爺爺每天堅持體育鍛煉，某天他慢步 行走到離家較遠(yuǎn)的公園，打了一會兒太極拳，然后沿原路 跑步到家里，下面能夠反映當(dāng)天小芳

8、爺爺離家的距離y(米) 與時間x(分鐘)之間的關(guān)系的大致圖象是 ()ABCDC首頁基礎(chǔ)自測3(2013衢州)如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊 上一動點，沿ADCBA 的路徑勻速移動，設(shè)P點經(jīng) 過的路徑長為x，APD的面積是y，則下列圖象能大致反 映y與x的函數(shù)關(guān)系的是 ()ABCD首頁基礎(chǔ)自測3(2013衢州)如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊 上一動點，沿ADCBA 的路徑勻速移動，設(shè)P點經(jīng) 過的路徑長為x，APD的面積是y，則下列圖象能大致反 映y與x的函數(shù)關(guān)系的是 ()ABCD解析當(dāng)點P由點A向點D運動時，y的值為0； 當(dāng)點P在DC上運動時，y隨著x的增大而增大；

9、當(dāng)點P在CB上運動時，y不變； 當(dāng)點P在BA上運動時，y隨x的增大而減小 故選B.首頁基礎(chǔ)自測3(2013衢州)如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊 上一動點，沿ADCBA 的路徑勻速移動，設(shè)P點經(jīng) 過的路徑長為x，APD的面積是y，則下列圖象能大致反 映y與x的函數(shù)關(guān)系的是 ()ABCDB首頁基礎(chǔ)自測4(2013山西模擬)在一定溫度下的飽和溶液中，溶質(zhì)、溶 劑質(zhì)量和溶解度之間存在下列關(guān)系： 已知20時，硝酸鉀的溶解度是31.6克，在此溫度下，設(shè)x克水可溶解硝酸鉀y克，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()解析將各數(shù)值代入公式即可求得即y0.316x.故選A.A首頁基礎(chǔ)自測則 ()A正確的命題是

10、 B錯誤的命題是C正確的命題是 D錯誤的命題只有首頁解析先確定出三函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為(1，1)，再根據(jù)二 次函數(shù)與不等式組的關(guān)系求解即可易求x1時，三個函 數(shù)的函數(shù)值都是1，所以，交點坐標(biāo)為(1，1)在第三象限的交點坐標(biāo)為(1，1)綜上所述，正確的命題是.故選A.首頁基礎(chǔ)自測則 ()A正確的命題是 B錯誤的命題是C正確的命題是 D錯誤的命題只有A首頁題型分類題型一確定自變量的取值范圍自變量x的取值范圍是_解析根據(jù)題意得：x10， 解得x1.x1首頁題型分類題型一確定自變量的取值范圍()解析根據(jù)題意得：5x10，C首頁探究提高 代數(shù)式有意義的條件問題： (1)若解析式是整式，則自變量取全體實數(shù)

11、； (2)若解析式是分式，則自變量取使分母不為0的全體實數(shù)； (3)若解析式是偶次根式，則自變量只取使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的全體實數(shù)； (4)若解析式含有零指數(shù)或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，則自變量應(yīng)是使底數(shù)不等于0的全體實數(shù)； (5)若解析式是由多個條件限制，必須首先求出式子中各部分自變量的取值范圍，然后再取其公共部分，此類問題要特別注意，只能就已知的解析式進(jìn)行求解，而不能進(jìn)行化簡變形，特別是不能輕易地乘或除以含自變量的因式 首頁題型分類題型一確定自變量的取值范圍自變量x的取值范圍是_ 解析x20，解得x2.x2首頁題型分類題型一確定自變量的取值范圍x0且x1x的取值范圍是x0且x1.首頁題型分類題型二由自變

12、量取值求函數(shù)值【例 2】已知y2x4，且1x3，求函數(shù)值y的 取值范圍 解解法一：1x64， y2x4，22x6，即62x42.6y2，即2y6.首頁題型分類題型二由自變量取值求函數(shù)值【例 2】已知y2x4，且1x3，求函數(shù)值y的 取值范圍24y64，6y2，2y6.首頁探究提高 結(jié)合不等式的性質(zhì)，由自變量的取值范圍，可確定函數(shù)的取值范圍首頁題型分類題型二由自變量取值求函數(shù)值f(1)_ 那么首頁題型分類題型三 確定實際背景下的函數(shù)關(guān)系式【例 3】(2013麗水)如圖，科技小組準(zhǔn)備用材料圍建一 個面積為60m2的矩形科技園ABCD，其中一邊AB靠墻，墻長 為12m，設(shè)AD的長為x m，DC的長為

13、y m. (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長不超過26m，材 料AD和DC的長都是整米數(shù)，求出滿足條件的所有圍建 方案首頁解(1)如圖，AD 的長為x m，DC的長為y m，首頁x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，又2xy26，0y12，符合條件的有：x5時，y12；x6時，y10；x10時，y6.答：滿足條件的所有圍建方案有：AD5m，DC12m或AD6m，DC10m或AD10m，DC6m.首頁探究提高 本題利用了幾何中的面積公式，用函數(shù)表示自變量與函數(shù)之間的關(guān)系主要考察由實際問題列函數(shù)解析式，應(yīng)用不等式求滿足條件的方

14、案首頁題型分類題型三 確定實際背景下的函數(shù)關(guān)系式知能遷移3(2012上海)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量 至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本y(萬元/噸)與 生產(chǎn)數(shù)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系式如圖所示 (1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域； (2)當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為280 萬元時，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量 (注：總成本每噸的成本 生產(chǎn)數(shù)量)首頁解(1)設(shè)y關(guān)于x的解析式是ykxb，由題意得x2110 x28000，解得x40或x70.x70不在定義域10 x50范圍內(nèi)，舍去x70，該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量是40噸首頁題型分類題型四 觀察圖象求解實際問題【例 4】(2012梅州)一輛警車在高

15、速公路的A處加滿油， 以每小時60千米的速度勻速行駛已知警車一次加滿油 后，油箱內(nèi)的余油量y(升)與行駛時間x(小時)的函數(shù)關(guān) 系的圖象如圖所示的直線l 上的一部分 (1)求直線l 的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果警車要回到A處，且要求警車 中的余油量不能少于10升，那么 警車可以行駛到離A處的最遠(yuǎn)距離 是多少？首頁解(1)設(shè)直線l 的解析式是ykxb，由題意得y6x60.首頁探究提高 要學(xué)會閱讀圖象，正確理解圖象中點的坐標(biāo)的實際意義，由圖象分析變量的變化趨勢，從而確定實際情況 分析變量之間的關(guān)系、加深對圖象表示函數(shù)的理解，進(jìn)一步提高從圖象中獲取信息的能力，運用數(shù)形結(jié)合的思想觀察圖象求解首頁題型分類

16、題型四 觀察圖象求解實際問題知能遷移4(2013吉林)在如圖所示的三個函數(shù)圖像中， 有兩個函數(shù)圖像能近似地刻畫如下a、b兩個情境： 情境a：小芳離開家不久，發(fā)現(xiàn)把作業(yè)本忘在家里，于是 返回家里找到了作業(yè)本再去學(xué)校； 情境b：小芳從家出發(fā)，走了一段路程后，為了趕時間， 以更快的速度前進(jìn)(1)情境a、b所對應(yīng)的函數(shù)圖像分別為_，_ (填寫序號)首頁(2)請你為剩下的函數(shù)圖像寫出一個適合的情境 答案小芳從家出發(fā)，到學(xué)校上學(xué)，放學(xué)回到了家 解析函數(shù)的圖象能形象、直觀、清晰地呈現(xiàn)函數(shù)的 一些性質(zhì) ()情境a：對應(yīng)的函數(shù)圖像為； 情境b：對應(yīng)的函數(shù)圖像為； ()函數(shù)圖像能近似地刻畫為：小芳從家出發(fā)，到 學(xué)

17、校上學(xué)，放學(xué)回到了家此問答案不唯一，只要注 意到是從家里出發(fā)，出去后有停留，然后返回到家， 滿足了這三條就行了首頁答題模版5.函數(shù)建模及函數(shù)應(yīng)用題 試題(2012義烏)周末，小明騎自行車從家里出發(fā)到野外郊 游從家出發(fā)0.5小時后到達(dá)甲地，游玩一段時間后按原速 前往乙地小明離家1小時20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線 前往乙地，如圖是他們離家的路程y(km)與小明離家時間x(h) 的函數(shù)圖象已知媽媽駕車的速度是小明騎車速度的3倍 (1)求小明騎車的速度和在甲地游玩的時間； (2)小明從家出發(fā)多少小時后被媽媽追上？ 此時離家多遠(yuǎn)？ (3)若媽媽比小明早10分鐘到達(dá)乙地，求 從家到乙地的路程首頁審題視角

18、 (1)認(rèn)真閱讀題干內(nèi)容，理清數(shù)量關(guān)系； (2)分析圖形提供的信息，從圖形可看出函數(shù)是分段的； (3)建立函數(shù)模型，確定解決模型的方法首頁規(guī)范解答在甲地游玩的時間是0.5(h)(2)媽媽駕車速度：20360(km/h)設(shè)直線BC 解析式為y20 xb1，把點B(1，10)代入，得b110，y20 x10.設(shè)直線DE 解析式為y60 xb2，首頁答：小明出發(fā)1.75小時(105分鐘)被媽媽追上，此時離家25 km.(3)方法一：設(shè)從家到乙地的路程為m(km)將點E(x1，m)，點C(x2，m)分別代入y60 x80，y20 x10中， 即從家到乙地的路程為30 km.首頁方法二：設(shè)從媽媽追上小明的地點到乙地的路程為n(km)，解得n5.從家到乙地的路程為52530(km)首頁答題模板解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序是：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù) 量關(guān)系；第二步：建模將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué) 知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求模求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際 問題的意義；第五步：反思回顧對于數(shù)學(xué)模必須驗證這