1、前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理。一類(lèi)比推理 在學(xué)習(xí)空間向量時(shí)，我們是這樣推測(cè)空間向量的根本定理的： 由于平面向量與空間向量都是既有大小又有方向的量，并且兩者具有類(lèi)似(或一致)的運(yùn)算性質(zhì)(如都具有加法的交換律和結(jié)合律等)，因此根據(jù)平面向量的根本定理，我們推測(cè)空間向量也具有類(lèi)似的性質(zhì)： 如果三個(gè)向量 不共面，那么對(duì)于空間任一向量 ，存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使 這種根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似或一致性，推測(cè)其中一類(lèi)事物具有與另一類(lèi)事物類(lèi)似或相同的性質(zhì)的推理，叫做類(lèi)比推理簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比，類(lèi)比屬于合情推理。 下面我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)得出類(lèi)比的一般步驟。 三角形與四面體有如下類(lèi)似的性

2、質(zhì)：1三角形是平面內(nèi)由直線段所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間由平面所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；2三角形可以看作平面上一條線段外一點(diǎn)與這條線段上各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看作三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形。 根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊.四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積 三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心。 四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體的內(nèi)切球的球心。 三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊。 四面體的中截面（以任意三條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角

3、形）的面積等于第四個(gè)面的面積的一半，且平行于第四個(gè)面。 一般地，如果類(lèi)比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類(lèi)比得出的命題就越可能為真。例1找出圓與球的相似性質(zhì)，并用圓的以下性質(zhì)類(lèi)比球的有關(guān)性質(zhì)： 1圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦； 2與圓心距離相等的兩弦相等； 3圓的周長(zhǎng)C=dd是直徑； 4圓的面積S=r2.解：圓與球有以下相似的性質(zhì)：1圓是平面上到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；球面是空間中到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合；2圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對(duì)稱(chēng)圖形；球是空間中封閉曲面是圍成的對(duì)稱(chēng)圖形。 通過(guò)與圓的有關(guān)性質(zhì)類(lèi)比，可以推測(cè)求的有關(guān)性質(zhì)：圓球 圓心

4、與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦 球心與截面圓（不經(jīng)過(guò)球心的小截面圓）圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩弦相等與球心距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等圓的周長(zhǎng)C=d球的表面積S=d2圓的面積S=r2球的體積V=r3 其中前三個(gè)類(lèi)比得到的結(jié)論是正確的，最后一個(gè)猜測(cè)那么是錯(cuò)誤的。由此可見(jiàn)，類(lèi)比的結(jié)論值具有或然性，即可能真，也可能假。 雖然有類(lèi)比所得到的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的有特殊到特殊的認(rèn)識(shí)功能，等于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻是十分有用的。例2試根據(jù)等式的性質(zhì)猜測(cè)不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)： 猜測(cè)不等式的性質(zhì)：(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (

5、2) ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等 (3) aba2b2;等等問(wèn)：這樣猜測(cè)出的結(jié)論是否一定正確？答：(1)對(duì)；(2),(3)不對(duì)。二類(lèi)比推理的一般步驟：(1) 找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；(2) 用一類(lèi)對(duì)象的特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜測(cè)；(3) 檢驗(yàn)猜測(cè)。觀察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新結(jié)論 在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，我們是這樣推導(dǎo)首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式的： a1=a1+0d；a2=a1+1d；a3=a1+2d；a4=a1+3d；等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=a1+(n1)d. 這種根據(jù)一類(lèi)事物的局部對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象

6、都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理簡(jiǎn)稱(chēng)歸納。歸納是從特殊到一般的過(guò)程。二歸納推理的一般步驟： 1通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)； 2從的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題猜測(cè)。 一般地，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題就越可能為真。(三)歸納推理與演繹推理的區(qū)別和聯(lián)系歸納推理與演繹推理的主要區(qū)別是：首先，從思維運(yùn)動(dòng)過(guò)程的方向來(lái)看，演繹推理是從一般性的知識(shí)的前提推出一個(gè)特殊性的知識(shí)的結(jié)論，即從一般過(guò)渡到特殊；而歸納推理那么是從一些特殊性的知識(shí)的前提推出一個(gè)一般性的知識(shí)的結(jié)論，即從特殊過(guò)渡到一般。其實(shí)，從前提與結(jié)論聯(lián)系的性質(zhì)來(lái)看，演繹推理的結(jié)論不超出前提所斷定的范

7、圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是必然的，即其前提真而結(jié)論假是不可能的。一個(gè)演繹推理只要前提真實(shí)并且推理形式正確，那么，其結(jié)論就必然真實(shí)。而歸納推理(完全歸納推理除外)的結(jié)論卻超出了前提所斷定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而結(jié)論假是有可能的。也就是說(shuō)，即使其前提都真也并不能保證結(jié)論是必然真實(shí)的。 歸納推理與演繹推理雖有上述區(qū)別，但它們?cè)谌藗兊恼J(rèn)識(shí)過(guò)程中是緊密的聯(lián)系著的，兩者互相依賴(lài)、互為補(bǔ)充，比方說(shuō)，演繹推理的一般性知識(shí)的大前提必須借助于歸納推理從具體的經(jīng)驗(yàn)中概括出來(lái)，從這個(gè)意義上我們可以說(shuō)，沒(méi)有歸納推理也就沒(méi)有演繹推理。當(dāng)然，歸納推理也離不開(kāi)演繹推理。 比方，

8、歸納活動(dòng)的目的、任務(wù)和方向是歸納過(guò)程本身所不能解決和提供的，這只有借助于理論思維，依靠人們先前積累的一般性理論知識(shí)的指導(dǎo)，而這本身就是一種演繹活動(dòng)。而且，單靠歸納推理是不能證明必然性的，因此，在歸納推理的過(guò)程中，人們常常需要應(yīng)用演繹推理對(duì)某些歸納的前提或者結(jié)論加以論證。從這個(gè)意義上我們也可以說(shuō)，沒(méi)有演繹推理也就不可能有歸納推理。 分析上述推理過(guò)程，可以看出，推理的每一個(gè)步驟都是根據(jù)一般性命題如“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等推出特殊性命題如“B=C。 這類(lèi)根據(jù)一般性的真命題或邏輯規(guī)那么導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。 用符號(hào)表示這種推理規(guī)那么就是“如果pq，p真，那么q真。 這種推理規(guī)那么叫做假

9、言推理。假言推理的本質(zhì)是，通過(guò)證明結(jié)論的充分條件為真，判斷結(jié)論為真。1假言推理 2三段論推理 三段論是指由兩個(gè)簡(jiǎn)單判斷作前提和一個(gè)簡(jiǎn)單判斷作結(jié)論組成的演繹推理。三段論中三個(gè)簡(jiǎn)單判斷只包含三個(gè)不同的概念，每個(gè)概念都重復(fù)出現(xiàn)一次。這三個(gè)概念都有專(zhuān)門(mén)名稱(chēng)：結(jié)論中的賓詞叫“大詞，結(jié)論中的主詞叫“小詞，結(jié)論不出現(xiàn)的那個(gè)概念叫“中詞，在兩個(gè)前提中，包含大詞的叫“大前提，包含小詞的叫“小前提。用符號(hào)表示，這兩步都遵循如下推理規(guī)那么： “如果bc，由ab，那么ac.這種推理規(guī)那么，叫做三段論推理。 3傳遞性關(guān)系推理 傳遞性關(guān)系推理指前提中至少有一個(gè)是關(guān)系判斷的推理，它是根據(jù)關(guān)系的邏輯性質(zhì)進(jìn)行推演的?？煞譃榧冴P(guān)

10、系推理和混合關(guān)系推理。純關(guān)系推理就是前提和結(jié)論都是關(guān)系判斷的推理，包括對(duì)稱(chēng)性關(guān)系推理、反對(duì)稱(chēng)性關(guān)系推理、傳遞性關(guān)系推理和反傳遞性關(guān)系推理。 這里用到的推理規(guī)那么是“如果aRb, bRc,那么aRc，其中“R表示具有傳遞性的關(guān)系。這種推理規(guī)那么叫做傳遞性關(guān)系推理。 又如由a/b，b/c，推出a/c，也是傳遞性關(guān)系推理。4完全歸納推理 完全歸納推理是這樣一種歸納推理：根據(jù)對(duì)某類(lèi)事物的全部個(gè)別對(duì)象的考察，它們都具有某種性質(zhì)，由此得出結(jié)論說(shuō)：該類(lèi)事物都具有某種性質(zhì)。例4證明函數(shù)f(x)=x6x3+x2x+1的值恒為正數(shù)。1綜合法 綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，而分析法是一種從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)

11、果的原因的思維方法。具體地說(shuō)，綜合法是從條件出法，經(jīng)過(guò)逐步的推理，最后到達(dá)待證結(jié)論。分析法那么是從待證結(jié)論出法，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后到達(dá)題設(shè)的條件或已被證明的事實(shí)。例1求證： 證明：因?yàn)?所以 左式=log195+2log193+3log192 =log19(53223)=log19360.因?yàn)閘og19360log19361=2，所以 例2如圖，設(shè)四面體PABC中, ABC=90，PA=PB=PC，D是AC的中點(diǎn)，求證：PD垂直于ABC所在的平面。證明：連接PD，BD，因?yàn)锽D是RtABC斜邊上的中線，所以 DA=DB=DC，又因?yàn)?PA=PB=PC， 而PD是PDA、PBD

12、、PCD的公共邊,所以PDAPBDPCD，于是PDA=PDB=PDC，而PDA=PDC=90，可見(jiàn)PDAC，PDBD，由此可知，PD垂直于ABC所在的平面.這個(gè)證明的步驟是：1由BD是RtABC斜邊上的中線,推出DA=DB=DC，記為P0()P1;2由DA=DB=DC，和條件，推出三個(gè)三角形全等，記為P1P2；3由三個(gè)三角形全等，推出PDA=PDB=PDC=90,記為P2P3;4由PDA=PDB=PDC=90,推出PD垂直于ABC所在的平面，記為P3 P4(結(jié)論)； 這個(gè)證明步驟用符號(hào)表示就是P0()P1P2P3P4(結(jié)論). 2分析法例3求證：證明：因?yàn)?都是正數(shù)， 所以為了證明 只需證明 展開(kāi)得即只需證明2125，因?yàn)?12，那么有a2b，從而 a3812b+6b2