1、第三章多維隨機(jī)變量及其分布一、填空題1、隨機(jī)點(diǎn)(x ,Y)落在矩形域XI X X2,yi y y2 的概率為F ( X2 , y2) F ( X2 , yi )F ( xi, yi ) F (xi, y2 )2、(X,Y)的分布函數(shù)為F ( x, y),則 F (，y)o .3、(X,Y )的分布函數(shù)為F ( x, y),貝J F ( xo,y)F ( x, y)4、(X,Y )的分布函數(shù)為F ( x, y),則 F ( x,)F x(x)5、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為k(6 xy) 0 x 2,2 y 4ff(x, y)，則k丄.0其它一8一6、隨機(jī)變量(X,Y)的分布如下，寫出其邊緣

2、分布7、設(shè)f ( x, y)是X ,Y的聯(lián)合分布密度，f x ( x)是X的邊緣分布密度，則 f ( x) 8、二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y), X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)9、如果隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率分布為貝9 ，應(yīng)滿足的條件是_a|3 若X與Y相互獨(dú)立，則 _4_,二18 1810、設(shè)X, Y相互獨(dú)立，X N（0,l）, YN（0.1）,則（X, Y ）的聯(lián)合概率密度解：PX 1, Y 1 -1 0PX1, Y2133_2JJPX2, Y1323_2_1丄PX2, Y231 13 232、三封信隨機(jī)地投入編號(hào)為X為投入1號(hào)信箱的信數(shù),1,2,3的三個(gè)信箱中，設(shè)Y為投入27?廠X2f(

3、x,y) _+e 2 _,ZX Y的概率密度f(wàn)z(Z)1c 4 廠丄廠 e二212、設(shè)（、)的聯(lián)合分布函數(shù)為A11 1x 0, y 022 2F x, y1 Xy1 X1 y則 A_1O0二、證明和計(jì)算題1、袋中有三個(gè)球，分別標(biāo)著數(shù)字122,從袋中任取一球，不放回，再取一球,設(shè)第一次取的上標(biāo)的數(shù)字為 X,第二次取的球上標(biāo)的數(shù)字 Y,求（X,Y）的聯(lián)合分布律.號(hào)信箱的信數(shù)，求（X,Y ）的聯(lián)合分布律.解：X的可能取值為0,1,2,3Y的可能取值為0,1,2,3PX 0, Y 0-1-33PX 0, Y 1 T PX 0, Y 2 3 T333333000PXo, Y333PX1, YPX1, Y

4、23133PX1, YPX2, Y1333PX2, Y33 2033PX1, Y133Cs230 PX2, Y03320PX2, Y301PX3, Y2 PX3,301233丄1272727_630272700270009問F(x,y)是不是某二維隨機(jī)變0)解:F(x , y)因P0是某二機(jī)變量的聯(lián)合2,1= F(2, 1)F(0,1)0)+ F(01 1 +0 =1 0F(x , y)是某二量的聯(lián)合4、設(shè) g( x) 0,且g( x)dx 1,有 f(x, y)分布2g(Vx2y2X2x，y0,其它證明：f ( x, y)可作為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。證明：易驗(yàn)證 f(x, y)

5、0 ,又f (x, y)dxdy必 dxdvJ x2 y2g-X)rdrg(r)dr 1符合概率密度函數(shù)的性質(zhì)，可以是二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。5、在0,上均勻地任取兩數(shù)X與 Y ,求 Pcos(X Y) 0 的值。解：f(x, y) 肝， x, y , pcos(X Y) 0 = P- X Y )- 0, 其它224ke (3x 4y) X 0, V 06、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y )的密度函數(shù)為f(x, y)、0 其它(1)確定常數(shù)k(2)求(X,Y)的分布函數(shù) (3)求P0 X 1,0 Y 2解：(1) dy k e(3x 4y)dx i0 0k e 4 ydye 3xdxk 一宀0

6、-e3xok 12004312 F ( x, y)y x12 e(3u 4v)dudv 121(1 e3x)(le心)0 012(1 e 3x)(le 4y)X 0, y0F ( x, y) 0(3) P0 X1,0Y2F(l,2)F (0,0) F(l,0)F (0,2)(1 e 3)(1e8)00.950217、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為x2xy / 30 x 1, 0y 2f(x, y)求PXY 10其它解：PXY 1f ( x, y)dxdydx1 2(X2Xy)dyXy i01 x31 丄 2 -5 3,-5(XX)dx0236728、設(shè)隨機(jī)變量（X,Y ）在矩形區(qū)域D （ x

7、, y）l ax b, c y d內(nèi)服從均勻分布,（1）求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度（2）問隨機(jī)變量X,Y是否獨(dú)立？解：（1）根據(jù)題意可設(shè)（X,Y）的概率密度為f(x, y)Ma x b, cy d0其它bd1f (x,y)dxdyMdx dyacM(ba)(d c)于是M1，故 f (x, y)l/(ba)(d c) a x b, c y d0其它(b a)(dC)fx( X)ddy1I (X，y)ciyc (b a)(dc) ba1ax b即 fx(x)b a0其它bdx1fv(y)f(x, y)dxa(b a)(d c)dc1 /(dc)c y d即 fy (y)0其它f (v)(2)因

8、為f (x, y)fx（x） Y,故X與Y是相互獨(dú)M的1 3 x3 y 3 x y , x 0, y 09隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)為F （ x, y）求:0,其它2F(x,y/ x y（1）邊緣密度；（2）驗(yàn)證X,Y是否獨(dú)立。解：（1） F（x, y）/ x In 3 （3 x 3 x y ）,x 0, y 0f（X，y）In 2 3 3 x y x 0, 0 y0其它fx(x)00In 2 3 3 x dy In 3 3 x x 0其它茂(X)oln23 3xydxln3 3y,yO0其它(2)因?yàn)閒 ( x, y) f x ( x) f y ( y)，故X與Y是相互獨(dú)立的.10、一電子

9、器件包含兩部分，分別以 X,Y記這兩部分的壽命(以小時(shí)記)，設(shè)(X,Y)的分布函1數(shù)為F ( x, y)e 0.01Xe O.OIyeooi(xy) x 0, y 00其它(1)問X和Y是否相互獨(dú)!立？(2) 并求PX120, Y 1201 e ooix x0解：(1) Fx( x) F ( x,)0 x 01e O.OIyy0Fy ( y) F (0oy易證 Fx ( x)Fy ( y)F (x, y),故 X, Y 相互，獨(dú)立.(2)由(1) X, Y相互獨(dú)立PX 120, Y 120 PX 120 PY 120 1 PX 120 1 P Y 120 TOC o 1-5 h z 1 Fx(

10、120) 1 Fy(120) e 240.091xy11、設(shè)隨機(jī)變量(，(1 )系數(shù)A,B 及C的值)的分布函數(shù)為 F( x , y) A (B arctg_ )( C arctg _)求:23(2 )(,)的聯(lián)合概率密度(x, y)o)A(B -)(C ) 1F(, ) A(B -)(C -) 022F(, ) A(B - )(C -) 0221由此解得A 2-，B(2)(x，y)62 ( 4 x2 )( 9 y2)試寫出（X,Y）的聯(lián)合分布律.12、設(shè)（X ,Y ）相互獨(dú)立且分別具有下列表格所定的分布律X21012Y1213Pk1111Pk11143123244解：X12Y121111Pk22Pk22求ZX Y的分布律解：PX k Pkk 0,1,2,PY q0,1,2,Z X Y的分布律為PZ i Pkqi ki 0,1,2,Z的全部取值為2,3,41 1 1PZ 2 PX 1,Y1 PX 1PY1000PZ 3PX1,Y2PX 2，Y1PX1PY2PX2PY1-2121 122PZ 4PX2, Y2PX 2PY2_1 i_2214、X,Y相互獨(dú)立,其分布密度函數(shù)各自為1X1y1e2X0丄e 3y ofx(x)2fY(y)30X00y oY的密度函數(shù)1214求z XY的密度函數(shù)為fz(Z) f X (