1、作業(yè)標(biāo)題：期末考核題目 作業(yè)要求：就你認(rèn)為的某個(gè)具有高等數(shù)學(xué)背景的中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行討論，并寫(xiě)成一篇3000字以上的論文。高觀點(diǎn)下的部分中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題155370 林妙紅摘要：隨著高中新課程改革的深入，大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入或者介紹了很多，如選修4部分。中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是密不可分的，若站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)顯得明了簡(jiǎn)單了。隨著高考命題自主化的深入，越來(lái)越多的省和地區(qū)開(kāi)始嘗試自己命題， 而在命題組中高校教師占很重要的地位。他們?cè)诿}時(shí)，會(huì)受到自身研究氛圍的影響，有關(guān) 高等數(shù)學(xué)背景的問(wèn)題會(huì)逐漸增加豐富起來(lái)。本文運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析初等數(shù)學(xué)，著重用 例子把初等數(shù)學(xué)問(wèn)題用高等

2、數(shù)學(xué)解法來(lái)解答，從中找到兩者的聯(lián)系。關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；初等數(shù)學(xué)；函數(shù)的拐點(diǎn)問(wèn)題；函數(shù)的凸凹性；分解因式；數(shù)列；不等式一、引言隨著高中課程的深入改革，大學(xué)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容被引入了很多，如選修部分。而實(shí)際上 在必修部分新增的內(nèi)容就已足夠值得關(guān)注，這些內(nèi)容的變化很有可能是高考試卷今后命題的 趨勢(shì)。比如導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容就豐富了很多。1、函數(shù)的拐點(diǎn)問(wèn)題1 312 .一 .一 一_例1 (2007湖南又21)已知函數(shù)f(x)= -x + ax +bx在區(qū)間1,1), (1,3內(nèi)各有一個(gè)極32值點(diǎn).(II)當(dāng)a2 4b =8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)A(1, f (1)處的切線為l ,若l在點(diǎn)A處穿過(guò)函數(shù)y =

3、f (x)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn) A附近沿曲線y=f(x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù) f(x)的表達(dá)式.解析：(II)思路一：由f(1)=1+a+b知f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線l的方程是 .2 1y f (1) = f (1)(x 1),即 y =(1 +a +b)xa ,3 2因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A(1, f(x)處過(guò)y=f(x)的圖象，1.所以g(x) = f (x) -(1 +a +b)xa在x =1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則2x =1不是g(x)的極值點(diǎn).,、1 31221而 g(x)=-x +-ax +bx(1+a+b)x+a ,且323 2g (x) =x

4、2 +ax +b(1+a+b) =x2 +axa 1 = (x1)(x + 1 + a).=1和x = -1 -a都是g(x)的極值點(diǎn).所以1=1 a ,即2一 一一 . .132a =-2 ,又由 a 4b=8,得 b =-1 ,故 f(x)= x -x x.3解法二：同解法一得,2 1g(x) = f(x)-(1ab)x-13a3a12=-(x-1)x +(1+)x-(2+-a).322因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A(1, f(1)處穿過(guò)y = f(x)的圖象，所以g(x)在x = 1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在 mi, m2 (mi 1 m2).當(dāng) m1x1 時(shí)，g(x) 0 ,當(dāng) 1 x m2 時(shí)

5、，g(x)0；或當(dāng) m10 ,當(dāng) 1 x m2 時(shí)，g(x) 0 .設(shè) h (x) = x2 + 11 + 3a |x - 1 2 + 3a L 則22當(dāng) m1 x0 ,當(dāng) 1cxem2時(shí)，h(x) 0 ；或當(dāng) m1cx1 時(shí)，h(x) 0 ,當(dāng) 1 xm2 時(shí)，h(x)0.3a由h(1)=0知x=1是h(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則 h(1) = 2+1+ = 0,22一.一一 1 32所以 a = 2 ,又由 a -4b =8 ,得 b = -1 ,故 f (x) = x -x -x 33y = x。在x = 0處雖然導(dǎo)函x=0使導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)方程的點(diǎn)評(píng) 本題中“ l在點(diǎn)A處穿過(guò)函數(shù)y= f(x)的

6、圖象”實(shí)際上是指點(diǎn) A處是函數(shù)的拐點(diǎn)。有關(guān)拐點(diǎn)的問(wèn)題，在講解極值點(diǎn)內(nèi)容時(shí)舉的最多的例子就是函數(shù) 數(shù)值為0,但不是極值點(diǎn)，左右兩邊的單調(diào)性相同。從數(shù)來(lái)看, 偶次重根。所以本例中可知 x =1是g(x) =0重根。2、函數(shù)的凸凹性 例2. f (x) =(x+1)ln(x+1)若對(duì)所有的x都有f(x) 士 ax成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是解析：錯(cuò)誤！未找到引用源。設(shè) F(x) = f (x)ax =(x +1)ln(x+1)ax.則 F(x) = ln(x+1)+ 1a ,由 F(x) = 0, 得*=3，,。注意到F(0)=0,若在定義域有極值則比在區(qū)間(0,+ 8)外.即錯(cuò)誤！未找到引用源。另

7、解：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。f(x)的示意圖如圖，由圖可知直線y=ax在區(qū)間(0,+ oo)上恒在y=f(x)圖像下方，所以ab 0時(shí)，不等式nbn(a -b) an -bn 1時(shí)成分析：設(shè)f (x) =xn則f(x) = nxn當(dāng)a b a0時(shí)，對(duì)f (x)在區(qū)間b,a】上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有f(a) f(b) a - bn n a - b= f(8) = nw ,(b6 1 時(shí)， a - bn na - bn -1 0故nb 0時(shí)，ln(1+x) x。此題可用中值定理證，也可用F (x) = x - ln(1 + x)的單調(diào)性來(lái)證.證明：設(shè)f (x) =ln x則f(x

8、)在1,x+1上連續(xù)，在(1,x+1)上可導(dǎo)，由拉格朗日定理知在(1,x+1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，r1名，使得 f (x +1) - f (1) = f (a)x,即 ln(x +1) = x xz從例7,8可以看出，利用中值定理來(lái)證明不等式，較初等解法要相對(duì)簡(jiǎn)單，同時(shí)可以得到一 些常用的公式。三、總結(jié)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的區(qū)別在于研究對(duì)象和方法上的不同：初等數(shù)學(xué)研究的是規(guī)則、平直的幾何對(duì)象 和均勻有限過(guò)程的常量，亦稱(chēng)常量數(shù)學(xué)，思想方法上片面、孤立、靜止地考慮問(wèn)題；高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上研究的是不規(guī)則、彎曲的幾何對(duì)象和非均勻無(wú)限變化過(guò)程的變量，思想方法上是在變化運(yùn)動(dòng)中考 慮問(wèn)題，也就是極限的方法。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)因其所處歷史時(shí)期不同，因此研究對(duì)象不同，研究方法 不同。人們要隨著這種不同轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)時(shí)的思想方法，把初等數(shù)學(xué)的片面、孤立、靜止的思想方法轉(zhuǎn)變成在 變化運(yùn)動(dòng)中考慮問(wèn)題的極限方法，這樣就能很快適應(yīng)