1、2008高考數學復習多面體與旋轉體部分知識梳理及重要題型目的要求：對本章簡單幾何體知識進行梳理和總結，突出知識間的聯系，提高學生綜合運用知 識的能力和邏輯思維能力.內容分析：1、這部分主要涉及棱柱、棱錐、多面體和球的知識.其內容大致可分為定義、分類、 性質、面積和體積幾個方面.除此之外還有簡單多面體的歐拉公式、球面上兩點問 的球面距離等重要概念、定理，這些知識牽涉的面很廣，但并不十分復雜，有些內 容可用類比法進行復習.然而復習中一定要弄清楚，不可混淆.2、如果說前節(jié)課所復習的知識還是一些立體圖形的元件的話，那么本課所復習的 內容就是幾何體了 .應當說，這節(jié)課的空間觀念更綜合、更形象了.復習中也

2、應該重 視畫圖、識圖(包括圖形的綜合和分解).只有做到這一點，學生才會把圖形在頭 腦中“立體化”.復習中這個任務依然應予以重視.3、球的體積和表面積計算公式所涉及的重要數學思想方法是數學教學的重要內容， 但教學目標僅為了解，而且新授不久，因此，在這次復習中不是重點，復習的重點 是各種幾何體的基本性質.4、與前節(jié)課一樣，本課作為復習課，應有針對性，所以重點、難點的確定和內容 的調整應根據學生學習中掌握的情況而定.教學過程：1、內容小結(1)針對簡單幾何體的知識內容，教師預先擬訂提綱，讓學生課前按提綱進行復習.提綱可按教科書的學習要求和需要注意的問題中學習要求擬定.(2)課堂復習中，讓學生比較棱柱

3、、棱錐、球三種幾何體的形狀、表面、截面、面積、體積，比較前兩種幾何體的分類、直觀圖的畫法 .(3)讓學生填寫下表FVE過頂點的 棱數各面的邊 數面的特征正四面體44634正三角形正六面體681234正方形正八面體861243正三角形正十二面 體12203035正五邊形正二十面 體20123053正三角形2、應用舉例例題1 如圖8-3,三棱錐 PABC中， ABC是正三角形，/ PCA=90 , D為PA的中點，二面角 P AC B 為 120 , PC=2 AB=2*3。(1)求證：ACL BQ(2)求BD與底面ABC所成的角(用反正弦表示)；(3)求三棱錐P ABC的體積。解 (1)如圖8-

4、4,取AC中點E,連DE BE,則DE/ PC, PCX AC,DEL AG.ABC是正三角形，BEX AG又 DEC 平面 DEB BEC 平面 DEB DEA BE=EAd平面 DEB DB匚平面 DEB 1 ACL DR(2)法一：: AC1平面DEB AC5底面ABC，平面 DEBL底面ABCEB是DB在底面ABC內的射影，/ DBE BD與底面ABC所成的角。又DEL AC, BE! AC,. / DEB即為二面角 P- AC-B 的平面角。 TOC o 1-5 h z ,13在 DEB中， DE=PC=1, BE=AB=3,，由余弦定理，得BD2=12+32 - 2X1X3cos1

5、20 =13, BD=vJ，t3 ,i由正弦定理，得1=13 ,sin DBE sin120一1.39解得sin / DBE=,即BD與底面ABC所成的角為arcsin2626法二： AC!平面 DEB AC1平面 ABC平面 DEBL平面 ABC彳DFL平面 ABC F為垂足，貝U F在BE的延長線上，/ DBF是BD與平面 ABC所成的角。: DEL AC, BE! AC, / DEB是二面角P- AC- B的平面角。在.3BE= AB=3,1 .RtDBF 中，DE=- PC=1,2/DEB=120 , / DEF=60 ,DF=-。2在 DEB中，由余弦定理得BD=vT3 ，/ DF

6、39 3sin / DBF=, 故DB 26BD與底面ABC所成的角為arcsin,3926(3) ,AC1 平面 DEB A.平面 PAC平面DEBL平面PAC .過點 垂足G在DE的延長線上。B作平面PAC的垂線段BG.在 RtBEG中，/ BEG=60 ,BE=3BG=3-32- Vp- abcfV pa= Sa pacX BG=1 x2 2.33.3x =3。2例題2 如圖8-5,三棱錐P ABC中，已知PAL BC, PA=BC=,PA BC的公垂線DE丸求三棱錐 PABC的體積。分析：思路一直接求三棱錐P-ABC的體積比較困難。考慮到是棱PA和BC的公垂線，可把原棱錐分割成兩個三棱

7、錐 EBC和A EBC利用PAL截面 EBC且 EBC的面積易 求，從而體積可求。DE解 如圖8-51,連結BE,CEDE是PABC的公垂線，PA!DE=又PALBC,PA1截面 EBCVf-ebc= 1 Saebc - PE, VA ebc= 1 Saebc AEoDE BC,SaEB(= 1 BC , DE= lh ,VpAB(=VEBc+VaEB(=工 SaEBC . ( PE+AE= PA , SaEBC= - l 2h O注 本例的解法稱為分割法，把原三棱錐分割為兩個三棱錐，它們有公共的底面EBG而高的和恰為PA,因而計算簡便。思路二本題也可用補形法求解。解 如圖85 2,將 ABC

8、#成平行四邊形 ABCD連結PD則PAX AD,且BC/平面PAD 故C到平面PAD的距離即為BC和平面PAD的距離。. MNL PA,又 MNL BC, BC/ AD, . MNL AD, MNL平面 PAD故 V P AB(=VP- AD(=VC PA= - SA PAD, MN=1 ( - - PA- AD) MN=1 l 2h。3326注本題的解法稱為補形法，將原三棱錐補形成四棱錐，利用體積互等的技巧進行轉換，以達到求體積的目的。本題也可將三棱錐補成三棱柱求積。想一想，怎樣做？例題3 如圖817,已知正四棱柱ABCD-ABCD,點E在棱DD上，截面EAC/DB,且面EAC與底面ABC所

9、成角為45 , AB=a。(1)求截面EAC的面積；(2)求異面直線 AB與AC之間的距離；(3)求三棱錐B EAC的體積。(1999年全國高考試題)解 (1)如圖818,連結DB交AC于O,連結EQ底面 ABCD正方形，DOLAG 又 EDL底面 AC,EOLAG/EO喇是面EAC與底面AC所成的二面角的平面角，/EOD=45 。又 DO=-a, AC= V2 a, EO=asec45 =a,故 Seac=-?- a2。(2)由題設 ABCD-ABCD是正四棱柱，得 AAL底面 AC AiAAC 又AiALAiB, AiA是異面直線 AB與AC之間的公垂線。d DiB/W EAC 且面 DB

10、D與面EAC交線為EQ.DiB/EO又O是DB的中點，E是DiD的中點,DB=2EO=a。DD=D1B2 - DB2 = 22 a,即異面直線 AE與AC之間的距離為 J2 a。(3)法一：如圖 8- 18,連結 DB,DD=DBAB =AC,可知 &VBC是正三角形 考查方向：考查三棱錐體積的常用求法。分析一：作點P在底面上的射影 O,求PO和三角形ABC的面積；，2把PBC作為底，則PA為高分析二：注意到 PA= 1 AB且/ PAB = 60知PA1PB如圖，作底面三角形頂角A的平分線AD,BC于D,過P點作底面同理PB_PC, 分析三：割法、補法 解法一：（用公式法解）的垂線，垂足為

11、Q由分析知射影 O必在AD上，易知AB=2q- S.abc =-3a2過P作PEJAB,垂足為E,連OE,則OE_LAB在 RtiPAE 中,3.PE = a,2/PAE =60，PA =aa -v 3AE = , OE =AE tg300=a HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 26在Rt妒OE中,PO = ；PE2 -OE2- 6=a3ABC是正三角形,1c -2 3PAB中 V p sbc = Sabc PO = a 33解法二：(利用等積轉換法解)在4PA =a, AB =2a, . PAB =60. PB2 =a2 (2a)2 -2 a

12、(2a) cos60=3a2.PAB是直角三角形，PA1PB,同理可證PA1PC,又PBPlPC=P ,PA _平面 PBC在.PBC中，PB = PC= 3a, BC=2a , S pBc=.；2a2 VpSBC -VA _PBC2 3S PBC PA = -3- a解法三：（用分割求積法解）由解法二知，PB = PC = T3a, D是BC中點，連結PDBC-LPD, BCJAD , PDAD=DBC,平面PAD- Vp-ABC =Vb_PAD VC -PAD= 2Vb_PAD =S PAD3、2 3BD = a33解法四：（用補形求積法解）延長AP到Q,使PQ=a連結QB QC可得一個棱

13、長為2a的正四面體1V p &BC = _ v q _ABC223石（2a）- 2 3二 a3例題6 過半徑為R的球面上一點作兩兩垂直的弦SB、SGSA(1)求證：SA2 + SB2 + SC2 為定值;（2）求三棱錐S-ABC的體積的最大值。解題：（1）如圖2,設SA SB確定的平面截球面為球小圓 QSA1SBAB為小圓直徑，連結 SO并延長交小圓于 D,連結SDSC-LSA, SC-LSBSC _L 平面 SAB 又由 SA 平面 SABSC -LSD截面SCM球大圓，即CD過球心OCD 2 = SD2 SC2 = SA2 SB2 SC2而 CD =2R 故 SA2 +SB2 +SC2 =4R2(2)三棱錐