1、數(shù)學實驗Mathematical Experiments實驗1 數(shù)學建模初步清 華 大 學 數(shù) 學 科 學 系 謝金星辦公室：理科樓1202# 電話：62787812E-mail: jxiehttp: /jxie1內(nèi)容提要數(shù)學模型的基本概念 數(shù)學建模實例 數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的一般步驟如何培養(yǎng)數(shù)學建模能力剎車距離 生產(chǎn)計劃蛛網(wǎng)模型人口預測2數(shù)學模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學建模（Mathematical Modeling)數(shù)學模型: 對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的,作出必要的簡化假設，根據(jù)對象的內(nèi)在規(guī)律，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。現(xiàn)實對象的信息數(shù)

2、學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)數(shù)學建模的全過程3例2 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型問 題供大于求現(xiàn)象 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應求數(shù)量與價格在振蕩 建立一個簡化的數(shù)學模型描述這種現(xiàn)象 4例2 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型y0 x0P0 xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格消費者的需求關系 需求函數(shù)生產(chǎn)者的供應關系 供應函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)f 與g 的交點 P0(x0, y0) 平衡點一旦 xk= x0，則yk= y0，xk+1= x0，yk+1=y0, fxy0g簡化： f 與

3、g 線性5x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3xy0y0 x0P0fg設x1偏離x0P0是穩(wěn)定平衡點P0是不穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4xy0y0 x0P0fg例2 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型6方程模型P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定與蛛網(wǎng)模型對比例2 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型7平衡狀態(tài)：x0=100，y0=10 ，=0.1, =5 =0.1, =5 =0.24, =5 =0.24, =5 x1=110 例例2 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型8考察, 的含義 消費者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度 小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定 小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度價格上漲1單位,(下時段)供應

4、的增量例2 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型9經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使 盡量小，如 =0以行政手段控制商品價格不變2. 使 盡量小，如 =0靠經(jīng)濟實力控制商品數(shù)量不變需求曲線變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直xy0y0gfxy0 x0gf例2 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型10例3 汽車廠生產(chǎn)計劃 如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)80輛， 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應作何改變？汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量 ： 小型 中型 大型 現(xiàn)有量鋼材（噸） 1.5 3 5 600勞動時間（小時） 280 250 400 60000利潤（萬元） 2 3 4 制訂月生產(chǎn)計劃，使

5、工廠的利潤最大。11基本模型 小型 中型 大型 現(xiàn)有量鋼材 1.5 3 5 600時間 280 250 400 60000利潤 2 3 4 整數(shù)線性規(guī)劃模型（ILP）設每月生產(chǎn)小、中、大型汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3決策變量約束條件目標函數(shù)例3 汽車廠生產(chǎn)計劃 12模型求解 第一種辦法 整數(shù)線性規(guī)劃（ILP）松弛線性規(guī)劃（LP）MATLABLINDO/LINGO 為了得到 x1, x2, x3的整數(shù)解，在實數(shù)解附近試探： x1=64.52, x2=167.74, x3=0,z=632.26 x1=65, x2=167, x3=0;在滿足約束條件前提下，計算并比較目標函數(shù)的大小 x1=6

6、4，x2=168, x3=0; 結(jié)果: x1=64, x2=168, x3=0; z=632 例3 汽車廠生產(chǎn)計劃 13模型求解 第二種辦法 利用直接求解整數(shù)線性規(guī)劃的軟件 （如：LINDO/LINGO）求解整數(shù)線性規(guī)劃的復雜程度比線性規(guī)劃大得多結(jié)果與上面相同用普通軟件能求解的整數(shù)線性規(guī)劃的規(guī)模受到限制 例3 汽車廠生產(chǎn)計劃 14其中3個子模型易去掉，然后逐一求解，比較目標函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：方法1：分解為8個LP子模型 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計劃。x1,x2, x3=0 或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值z=610例3 汽車廠生產(chǎn)計劃 15

7、方法2：引入0-1變量，化為整數(shù)線性規(guī)劃(ILP) M為大的正數(shù)，如1000 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80NLP可用LINGO, MATLAB求解，其結(jié)果常依賴于初值的選擇，且一般不能保證得到全局最優(yōu)解。 方法3：化為非線性規(guī)劃（ NLP） x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80例3 汽車廠生產(chǎn)計劃 16例4 人口預報背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長 年 1908 1933 1953 1

8、964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.017指數(shù)增長模型（馬爾薩斯1798年提出）常用的計算公式x(t) 時刻t的人口基本假設 : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù)今年人口 x0, 年增長率 rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長例4 人口預報18指數(shù)增長模型參數(shù)估計(r, x0) 專家估計；利用實際數(shù)據(jù)作擬合 r =0.2743/10年x0 =4.1884 美國1790年至1900年數(shù)據(jù) r =0.2022/10年x0 =6.0450 美國1790年至2000年數(shù)據(jù) 線性最小二乘法例4 人口預報1

9、9 與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后美國及其它地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預測較長期的人口增長過程人口增長到一定數(shù)量后，增長率r 逐漸下降指數(shù)增長模型結(jié)果分析 能描述十九世紀以前美國人口的增長 例4 人口預報20阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設r 固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)例4 人口預報21x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0txxm0 xm

10、/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0 xmxm/2例4 人口預報22阻滯增長模型參數(shù)估計(r, xm) r=0.2557/10年xm =392.0886 美國1790年至1990年數(shù)據(jù) 線性最小二乘法例4 人口預報23模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為 281.4 (百萬)模型應用預報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0例4 人口預報24 數(shù)學建模的基本方法 機理分析 測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找

11、出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律。將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型。機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析。 二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu), 用測試分析確定模型參數(shù)。25數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備 了解實際背景 明確建模目的 搜集有關信息 掌握對象特征形成一個比較清晰的問題26模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想象力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具數(shù)學建模的一般步驟

12、27 數(shù)學建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用28數(shù)學建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學建模越來越受到人們的重視：1. 在一般工程技術領域數(shù)學建模仍然大有用武之地；2. 在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；3. 數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。29數(shù)學建模的重要意義 分析與設計 預報與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學建模知識經(jīng)濟如虎添翼計算機技術30怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術