1、（ 學(xué) 生 用 本 ） 興 國 縣 社 富 中 心 小 學(xué) 2022 年 4 月 第 1 頁,共 10 頁第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算 1 一,因數(shù)和倍數(shù) 31,假如 a b=ca ,b, c 0 ,a 和 b 就是 c 因數(shù), c 就是 a 和 b 的倍數(shù)； 2,一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的,其中最小的約數(shù)是 1,最大的約數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的 個數(shù)是無限的,其中最小的倍數(shù)是它本身；所以一個數(shù)的最小倍數(shù)等于它的最大因數(shù)； 3,個位上是 0,2, 4, 6, 8 的數(shù),都是 2 的倍數(shù) ,個位上是 個數(shù)的各位上的數(shù)的和是 3 的倍數(shù),這個數(shù)都就是 3 的倍數(shù), 0 或 5 的數(shù),都是 5 的倍數(shù),

2、一 4, 2 的倍數(shù)叫做偶數(shù)；不是 2 的倍數(shù)叫做奇數(shù)；一個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)； 5,一個數(shù), 假如只有 1 和它本身兩個因數(shù), 這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù) （或素數(shù)） ,100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有： 2, 3, 5, 7,11, 13, 17,19, 23,29, 31, 37,41, 43,47, 53, 59, 61, 67,71, 73,79, 83, 89, 97； 5,一個數(shù),假如除了 1 和它本身仍有別的約數(shù),這樣的數(shù)叫做合數(shù),一個合數(shù)至少有 3 個因數(shù)； 6, 1 不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),自然數(shù)除了 1 和 0 外,不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)； 7,每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式；其中每個質(zhì)數(shù)都是

3、這個合數(shù)的因數(shù),叫做這個合 數(shù)的質(zhì)因數(shù),例如 15=3 5,3 和 5 叫做 15 的質(zhì)因數(shù)； 8,把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質(zhì)因數(shù)； 2 7 例如把 28 分解質(zhì)因數(shù) 28=2 9,幾個數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個,叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù), 公約數(shù)只有 1 的兩個數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù),有以下幾種情形： 11 和任何自然數(shù)互質(zhì)； 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì) a-b=1 或 a=b+1 ； 兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時,這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個合數(shù)的公約數(shù)只有 1 時,這兩 個合數(shù)互質(zhì), 10,假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù),它們的最

4、大公約數(shù)就是 1； 11,兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系,較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù),較大的數(shù)是它們的最小公倍數(shù)； 12,兩個數(shù)是互質(zhì)關(guān)系,它們的的最大公因數(shù)是 1,最小公倍數(shù)是它們的乘積； a 0=a a0=a a a=0 a0=0 a a=a 的平方 a 1=a a 1=a oa=0 a a=1 1 1a= a二,數(shù)的意義 小數(shù) 小數(shù)的意義 把整數(shù) 1 平均分成 10 份,100 份,1000 份 得到的特別之幾, 百分之幾, 千分之幾 可 以用小數(shù)表示； 一位小數(shù)表示特別之幾,兩位小數(shù)表示百分之幾,三位小數(shù)表示千分之幾 有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù),叫做有限小數(shù) 無限小數(shù)： 小數(shù)部分的數(shù)位是無

5、限的小數(shù), 叫做無限小數(shù)； 例如： 無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分,數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限,這樣的小數(shù)叫做無限不循 環(huán)小數(shù)； 例如： 循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分,有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)顯現(xiàn),這個數(shù)叫做循環(huán) 小數(shù)； 例如： 一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分,依次不斷重復(fù)顯現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)； 例如： 的循環(huán)節(jié)是 9 , 的循環(huán)節(jié)是 54 ； 純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開頭的,叫做純循環(huán)小數(shù)； 例如： 混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開頭的,叫做混循環(huán)小數(shù)； 分?jǐn)?shù) 1 . 分?jǐn)?shù)的意義 把單位 1 平均分成如干份,表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)； 2. 分?jǐn)?shù)的分

6、類 真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)；真分?jǐn)?shù)小于 1； 假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù),叫做假分?jǐn)?shù)；假分?jǐn)?shù)大于或等于 1； 帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù),通常叫做帶分?jǐn)?shù)； （三）百分?jǐn)?shù) 1 . 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù) , 也叫做百分率 或百分比；百分?jǐn)?shù)通常用 %來表示；百分號后面不能帶單位； 三,數(shù)的改寫 把一個數(shù)改寫成作單位的數(shù)只要在“萬位”或“億位”后面點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)帶上單位；省略“萬”或 “億”后面的尾數(shù)或四舍五入到“萬位”或“億位”除了在“萬位”或“億位”后面點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn) 帶上單位外仍要四舍五入取近似值； 四,數(shù)的互化 1. 小數(shù)化成分

7、數(shù)：先把小數(shù)寫成特別之幾,百分之幾,千分之幾 的分?jǐn)?shù),能約分的要約分； 2. 分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：擴(kuò)大成分母是 10, 100, 1000 的分?jǐn)?shù)再化成小數(shù),不能時,用分子去除分母； 能除盡的就化成有限小數(shù),有的不能除盡,不能化成有限小數(shù)的,一般保留三位小數(shù)； 3. 一個最簡分?jǐn)?shù),假如分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),這個分?jǐn)?shù)就能化成有限 小數(shù)；假如分母中含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù),這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)； 4. 小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位,同時在后面添上百分號； 5. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù),只要把百分號去掉,同時把小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位； 6. 分?jǐn)?shù)化

8、成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時,通常保留三位小數(shù) ,再把小數(shù)化成百 分?jǐn)?shù)； 7. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù),能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)； 第 3 頁,共 10 頁五,四就運(yùn)算之間的關(guān)系 加數(shù) +加數(shù) =和 一個加數(shù) =和另一個加數(shù) 被減數(shù)減數(shù) =差 減數(shù) =被減數(shù)差 被減數(shù) =差減數(shù) 一個因數(shù)一個因數(shù) = 積 一個因數(shù) =積另一個因數(shù) 被除數(shù)除數(shù) =商 除數(shù) =被除數(shù)商 被除數(shù) =商除數(shù) 在余數(shù)的除法中,被除數(shù) =商除數(shù) +余數(shù) 被減數(shù)減數(shù)差 =0 被除數(shù)除數(shù)商 =1 六,運(yùn)算定律與性質(zhì) 加法交換律 兩個數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,它們的和不變 三個數(shù)a+b=b+a 加法結(jié)合律

9、相加,先把前兩個數(shù)相加,再加上第三個數(shù)；或 （ a+b+c=a+b+c 者先把后兩個數(shù)相加, 再和第一個數(shù)相加它們的和不變, 乘法交換律 兩個數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置它們的積不變, a b=b a 乘法結(jié)合律 三個數(shù)相乘,先把前兩個數(shù)相乘,再乘以第三個數(shù)；或 a b c=a b c 者先把后兩個數(shù)相乘,再和第一個數(shù)相乘,它們的積不 變, 兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘,可以把兩個加數(shù)分別乘法支配律 與這個 數(shù)相乘再把兩個積相加, 從一個數(shù)里連續(xù)減去a+b c=a c+b c 幾個數(shù),可以從這個數(shù)里減去全部 減法的性質(zhì) 減數(shù)的和,差不變 a-b-c=a-b+c 其次章：應(yīng)用 1,常見的數(shù)量關(guān)系： 每份數(shù)份

10、數(shù)總數(shù) 總數(shù)每份數(shù)份數(shù) 總數(shù)份數(shù)每份數(shù) 1 倍數(shù)倍數(shù)幾倍數(shù) 幾倍數(shù)1 倍數(shù)倍數(shù) 幾倍數(shù)倍數(shù) 1 倍數(shù) 速度時間路程 單路程速度時間 路程時間速度 總價單價數(shù)量 總價數(shù)量單價 價數(shù)量總價 工作效率工作時間工作總量 工作總量工作時間工作效率 工作總量工作效率工作時間 總產(chǎn)量 =單產(chǎn)量數(shù)量 單產(chǎn)量 =總產(chǎn)量數(shù)量 數(shù)量 =總產(chǎn)量單產(chǎn)量 加數(shù)加數(shù)和 和一個加數(shù)另一個加數(shù) 被減數(shù)減數(shù)差 被減數(shù)差減數(shù) 差減數(shù)被減數(shù) 因數(shù)因數(shù)積 積一個因數(shù)另一個因數(shù) 被除數(shù)除數(shù)商 被除數(shù)商除數(shù) 商除數(shù)被除數(shù) 第 4 頁,共 10 頁2,典型應(yīng)用題 （ 1）平均數(shù)問題：平均數(shù) =總數(shù)份數(shù) 平均速度 =總路程總時間 （ 2）相遇

11、問題： 路程 =速度和時間 時間 =路程速度和 甲車的速度 =路程時間乙車的速度 3,植樹問題： 解題規(guī)律： 沿線段植樹 ： 1 兩端都植樹：棵數(shù) =總路程株距 +1=段數(shù) +1 2 一端植樹,另一端不植樹：棵數(shù) =總路程株距 =段數(shù) 3 兩端都不植樹：棵數(shù) =總路程株距 1=段數(shù) 1 沿周長植樹 ： 棵樹 =總路程株距 株距 =總路程棵樹 總路程 =株距棵樹 4,年齡問題： 將差為確定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件,這種應(yīng)用題被稱為 5,雞兔問題： 年齡問題 ； 已知 雞兔 的總頭數(shù)和總腿數(shù)；求 雞 和 兔 各多少只的一類應(yīng)用題；通常稱為 雞兔問題 又稱 雞兔同籠問題； 解題關(guān)鍵： 解答雞兔問

12、題一般接受假設(shè)法,假設(shè)全是一種動物（如全是 的腿數(shù)差除以一只雞兔腿數(shù)的差就可推算出另一種的頭數(shù)； 雞 或全是 兔 ）,然后依據(jù)顯現(xiàn) 方程法：設(shè)其中一種動物只數(shù)為 x ,另一種動物為“總數(shù) x”,用對應(yīng)的動物只數(shù)腿數(shù),再 依據(jù)題意列出方程進(jìn)行解答； 抬腿法：兩種動物各抬起一半的腿,既總腿數(shù) 2,得出的結(jié)果的腿數(shù)與頭數(shù)的相差數(shù)就是腿 更多的動物數(shù),再用頭數(shù)減去已求出的動物數(shù)得出的是另一種動物的數(shù)量； 6 ,儲蓄問題 利息本金利率時間 保險費(fèi)每人的保險金額保險費(fèi)率保險期限人數(shù) 利率 =利息本金 利息稅 =利息 20%（一般情形,具體看提示） 稅后利息 =利息 利息稅 7,比的應(yīng)用 1,已知長方形的周

13、長和長與寬的比,求長和寬；先用周長 2 再按比例支配； 2,已知長方體的棱長總和與長,寬,高之比,求長,寬,高；先用棱長總和 4 再按比例支配； 3,已知兩個數(shù)的平均數(shù)和這兩個數(shù)的比求這兩個數(shù),要先求總數(shù),再用總數(shù)總份數(shù) =每份數(shù), 最終依據(jù)兩個數(shù)的份數(shù)分別求出這兩個數(shù)； 4,已知兩個數(shù)的比和其中一個數(shù),要求另一個數(shù),用已知數(shù)對應(yīng)份數(shù) =每份數(shù),然后用每份數(shù) 未知數(shù)的份數(shù) =未知數(shù) 第 5 頁,共 10 頁8,分?jǐn)?shù),百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 1,分?jǐn)?shù)應(yīng)用題： 依據(jù)題中的關(guān)鍵句找出單位“ 1”,并判定單位“ 1”是已知仍是未知, （ 1）已知單位“ 1”用乘法,既單位“ 1”幾分之幾 =幾分之幾對應(yīng)量, （

14、 2）求單位“ 1”用方程,設(shè)單位“ 1”為 x, 依據(jù)單位“ 1”幾分之幾 =幾分之幾對應(yīng)量列方程 解答,或用幾分之幾對應(yīng)量幾分之幾 2,百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題： 解題方法與 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題相同； 百分率相關(guān)公式 =單位“ 1”用除法解答； 鹽的重量 100% 出勤人數(shù) 100% 出油量 出油率 =原料總重量 100% 含鹽率 = 鹽水的重量 出勤率 = 應(yīng)出勤人數(shù) 第三章：單位及進(jìn)率 1,長度單位換算 1 千米 =1000 米 1 米=10 分米 2,面積單位換算 1 分米 =10 厘米 1 米 =100 厘米 1 厘米 =10 毫米 1 平方千米 =100 公頃 11公頃 =10000 平方米 1平方

15、米 =100 平方分米 1 平方分米 =100 平方厘米 平方厘米 =100 平方毫米 3,體 容 積單位換算 1 立方米 =1000 立方分米 1立方分米 =1000 立方厘米 1立方分米 =1 升 1 立方厘米 =1 毫升 1立方米 =1000 升 4,重量單位換算 1 噸 =1000 千克 1千克 =1000 克 5,人民幣單位換算 1 元 =10 角 1角 =10 分 1元 =100 分 6,時間單位換算 1 世紀(jì) =100 年 1 年=12 月 大月 31 天 有 :1 , 3, 5, 7,8, 10, 12 小月 30 天 的有： 4, 6, 9,11 平年 2 月 28 天 ,

16、平年全年 365 天； 分鐘 =60 秒 1小時 =3600 閏年 2 月 29 天,閏年全年 366 天 1 日 =24 小時 1 小時 =60 分 1地球自轉(zhuǎn)一圈是一天,地球繞太陽公轉(zhuǎn)一圈是一年； 第 6 頁,共 10 頁第四章：圖形 1,正方形 （ C：周長 S ：面積 a ：邊長 ） 正方形周長邊長 4 C=4a 正方形面積 =邊長邊長 S=a a 2,正方體 （ V: 體積 a: 棱長 ） 正方體表面積 =棱長棱長 6 S 表=aa6 正方體體積 =棱長棱長棱長 V=aaa 3,長方形（ C：周長 S ：面積 a ：邊長 ） 長方形周長 = 長 +寬 2 C=2a+b 長方形面積 =

17、長寬 S=ab 4,長方體 （ V: 體積 s: 面積 a: 長 b: 寬 h: 高） 2 長方體表面積 = 長寬 +長高 +寬高 2 S=2ab+ah+bh 長方體體積 =長寬高 V=abh 5,三角形 （ s：面積 a ：底 h ：高） 三角形面積 =底高 2 s=ah 2 三角形高 =面積 2底 h=s 2 a 三角形底 =面積 2高 a=s 2 h 三角形周長 =三條邊之和 6,平行四邊形 （ s：面積 a ：底 h ：高） 平行四邊形面積 =底高 s=ah 平行四邊形周長 =四條邊之和 7,梯形 （ s：面積 a ：上底 b：下底 h：高） 梯形面積 = 上底 +下底 高 2 s=a

18、+b h 2 梯形周長 =四條邊之和 8,圓形 （ S：面積 C ：周長 d= 直徑 r= 半徑） 圓形周長 =直徑 =2半徑 C= d=2r 圓形面積 =半徑半徑 s= r 2 9,圓柱體 （ v: 體積 h: 高 s ：底面積 r: 底面半徑 c: 底面周長） 圓柱體側(cè)面積 =底面周長高 S 側(cè)=ch=2rh= dh 圓柱體表面積 =側(cè)面積 +底面積2 S 柱 = S 側(cè) + S 底 2 圓柱體體積 =底面積高 V 柱 =s h 10,圓錐體 （ v: 體積 h: 高 s ：底面積 r: 底面半徑） 圓錐體體積 =底面積高 1 V 錐 = sh 13 3第 7 頁,共 10 頁11 1 圓

19、錐體底面積 =體積 高 3圓錐體高 =體積 1底面積 3s=v 13 1 h h=v s 3,水中物體體積 水中物體體積 =上升水的體積 =下降水的體積 =溢出的水的體積 （水的形狀就是容器的形狀） 重要結(jié)論： 1,三角形內(nèi)角和 180 度； 2,三角形任意兩邊之和大于第三邊,三角形任意兩邊之差小于第三邊； 3,三角形按角分可以分為銳角三角形,鈍角三角形,直角三角形三種,按邊分可以分為等邊 三角形,等腰三角形和不等邊三角形三種,等邊三角形屬于等腰三角形的特殊情形； 4,四邊形之間的關(guān)系： 5,兩圓半徑比,直徑比,周長比相等,面積比等于半徑比,直徑比,周長比的平方； 兩個正方形周長比等于邊長的比

20、,面積比等于邊長的平方比； 兩個正方體表面積之比等于棱長的平方比,體積比等于棱長的立方比； 6,一個圓的半徑擴(kuò)大到原先的 n 倍,直徑,周長也擴(kuò)大到原先的 n 倍,而面積擴(kuò)大到原先的 2 n倍 7,在正方形中畫一個最大的圓,邊長作圓的直徑,在長方形中畫一個最大的圓,短邊作直徑； 8,周長相等的平面圖形,圓的面積最大；反之,面積相等的平面圖形,圓的周長最小； 9,當(dāng)圓的直徑與正方形的邊長相等時,正方形面積最大； 10,鐘面上的數(shù)學(xué) （ 1）求針尖轉(zhuǎn)動如干周轉(zhuǎn)動的路程或求分針時針轉(zhuǎn)動如干周掃過的面積； 秒針 60 秒一周,分針 1 小時 1 周；時針 12 小時 1 周,一天（一晝夜） 2 周；

21、（ 2）從某個時間,分針或時針轉(zhuǎn)動的角度進(jìn)而求出幾分之幾個圓； 11,以正方形的邊長為半徑畫一個圓,這個圓的面積是正方形面積的 倍； 12,在正方形圓里畫一個最大的圓,再在圓里畫一個最大的正方形,圓外正方形的面積是 4 r 2, 圓內(nèi)正方形的面積是 2 r 2, 2,圓的面積是 r 13,把圓柱的側(cè)面開放得到一個長方形,長等于圓柱的底面周長,寬等于圓柱的高；當(dāng)?shù)酌嬷荛L 等于高時,側(cè)面開放后是一個正方形,此時正方形的邊長既是圓柱的底面周長又是圓柱的高； 14,圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的 1,圓柱的體積等于和它等底等高的圓錐體積的 33 倍； 第 8 頁,共 10 頁15,體積相等,底

22、面積相等的圓錐體的高是圓柱高的 3 倍； 16,體積相等,高相等的圓錐體的底面積是圓柱底面積的 3 倍； 17,把長方體,正方體,圓柱體切成兩段,表面積增加了兩個底面； 18,沿圓柱的直徑切開,得到兩個長方形,長方形的長等于底面直徑,寬等于圓柱的高；沿圓錐 的高線切開,得到兩個等腰三角形,三角形的底等于底面直徑,高等于圓錐的高； 19,立體圖形橫截面的面積等于左右面的面積； 20,以長方形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周可以得到一個圓柱體,軸邊為高,另一邊為底面半徑； 21,以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周可以得到一個圓錐體,軸邊為高,另一邊為底面半 徑； 第五章：數(shù)學(xué)廣角 1,循環(huán)賽：競賽場次隊(duì)數(shù)（

23、隊(duì)數(shù) 1） 2 留意： AB 與 BA 所指相同時,應(yīng) 2,剔除賽：競賽場次隊(duì)數(shù) 12,不同時不要 2 如：車票問題； 3,通知問題：先懂得下一次通知人數(shù)是前一次通知人數(shù)的幾倍,再畫出通知人數(shù)示意圖,最終 求出在某一個時段可通知到的總?cè)藬?shù)（前幾次通知人數(shù)的和） ,留意通知人數(shù)要大于或等于要通 知的人數(shù)；（留意細(xì)胞分裂問題,分裂的個數(shù)最終一次分裂的個數(shù)） 4,跑道問題 彎道是半圓形,一個彎道的長度 經(jīng)過一個彎道,相鄰跑道的長度相差數(shù) r, 彎道的總長度 r 彎道的個數(shù) =一個跑道寬度；經(jīng)過兩個彎道,相鄰跑道的長度 相差數(shù) =2 個跑道寬度 ；所以競賽時為公平,起跑線前移跑道寬度的 倍；在運(yùn)算相鄰起 跑線的相差長度時,要先確定經(jīng)過幾個彎道； 第 n 個彎道的半徑第 1 個彎道的半徑 +（ n1）個跑道寬度 5,搭配問題：搭配方法共有 A B 種 6,等侯時