1、3條件概率與獨(dú)立事件課后篇鞏固提升A組1.設(shè)A與B是相互獨(dú)立事件,則下列命題正確的是()A.A與B是對(duì)立事件B.A與B是互斥事件C.A與B不相互獨(dú)立D.A與B是相互獨(dú)立事件解析:若A與B是相互獨(dú)立事件,則A與B也是相互獨(dú)立事件.答案:D2.國(guó)慶節(jié)放假,甲去北京旅游的概率為13,乙、丙去北京旅游的概率分別為14,15.假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響,那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A.5960B.35C.12D.160解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為13,14,15.因此,他們不去北京旅游的概率分別為23,34,45,所以,至少有1人去北京旅游的概率為P=1-233445=

2、35.答案:B3.如圖,用K,A1,A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1,A2至少有一個(gè)正常工作時(shí),系統(tǒng)正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576解析:方法一由題意知K,A1,A2正常工作的概率分別為P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,K,A1,A2相互獨(dú)立,A1,A2至少有一個(gè)正常工作的概率為P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2)=(1-0.8)0.8+0.8(1-0.8)+0.80.8=0.96.系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)P(A1A

3、2)+P(A1A2)+P(A1A2)=0.90.96=0.864.方法二A1,A2至少有一個(gè)正常工作的概率為1-P(A1 A2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)1-P(A1 A2)=0.90.96=0.864.答案:B4.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A,B都不發(fā)生的概率為19,A發(fā)生B不發(fā)生的概率等于B發(fā)生A不發(fā)生的概率,則事件A發(fā)生的概率P(A)是.解析:由已知可得1-P(A)1-P(B)=19,P(A)1-P(B)=P(B)1-P(A),解得P(A)=P(B)=23.答案:235.甲、乙二人進(jìn)行射擊游戲,目標(biāo)靶上有三個(gè)區(qū)域,分別涂有紅、黃、藍(lán)三色,已知甲

4、擊中紅、黃、藍(lán)三區(qū)域的概率依次是15,25,15,乙擊中紅、黃、藍(lán)三區(qū)域的概率依次是16,12,14,二人射擊情況互不影響,若甲、乙各射擊一次,試預(yù)測(cè)二人命中同色區(qū)域的概率為.解析:同命中紅色區(qū)域的概率為1516=130,同命中黃色區(qū)域的概率為2512=15,同命中藍(lán)色區(qū)域的概率為1514=120,二人命中同色區(qū)域的概率為130+15+120=2+12+360=1760.答案:17606.某項(xiàng)選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題,能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考試,否則即被淘汰,已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為45,35,25,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.(1)求該選手順利通

5、過(guò)三輪考核的概率;(2)該選手在選拔中回答兩個(gè)問(wèn)題被淘汰的概率是多少?解:(1)設(shè)“該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”的事件記為Ai(i=1,2,3),且它們相互獨(dú)立.則P(A1)=45,P(A2)=35,P(A3)=25,設(shè)“該選手順利通過(guò)三輪考核”為A事件,則P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=453525=24125.(2)因?yàn)榛卮?個(gè)問(wèn)題被淘汰即第一輪答對(duì),第二輪答錯(cuò),概率是P=451-35=825.7.某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門選修課,學(xué)生之間是否選修哪門課互不影響.已知學(xué)生小張只選甲的概率為0.08,只選甲和乙的概率為0.12,至少選一門的概率為0.88,用表示

6、小張選修的課程門數(shù)和沒(méi)有選修的課程門數(shù)的乘積.(1)求學(xué)生小張選修甲的概率;(2)記“函數(shù)f(x)=x2+x為R上的偶函數(shù)”為事件A,求事件A的概率;(3)求的分布列.解:(1)由題意知,學(xué)生小張三門選修課一門也不選的概率為1-0.88=0.12.設(shè)學(xué)生小張選修甲、乙、丙三門選修課的概率分別為x,y,z.則x(1-y)(1-z)=0.08,xy(1-z)=0.12,(1-x)(1-y)(1-z)=0.12,解得x=0.4,y=0.6,z=0.5.所以學(xué)生小張選修甲的概率為0.4.(2)若函數(shù)f(x)=x2+x為R上的偶函數(shù),則=0,當(dāng)=0時(shí),表示小張選修了三門課或三門課都不選.所以P(A)=P

7、(=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.40.60.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,故事件A的概率為0.24.(3)依題意知=0,2,所以的分布列為02P0.240.768.甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率;(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布.解:用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,Ak表示“第k局甲獲勝”,Bk表示“第k局乙獲勝”,則P(Ak)=2

8、3,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13232+2313232=5681.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2

9、)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.所以X的分布列為X2345P59291081881B組1.如圖所示,在兩個(gè)圓盤中,指針落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等,那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A.49B.29C.23D.13解析:設(shè)A表示“第一個(gè)圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”,則P(A)=23,B表示“第二個(gè)圓盤的指針落在奇數(shù)所在的區(qū)域”,則P(B)=23.則P(AB)=P(A)P(B)=2323=49.答案:A2.拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子,設(shè)事件A表示“紅骰子出現(xiàn)4點(diǎn)”,事件B表示

10、“藍(lán)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”,則P(A|B)為()A.12B.536C.112D.16解析:先求出P(B),P(AB),再利用條件概率公式P(A|B)=P(AB)P(B)來(lái)計(jì)算.P(B)=12,P(AB)=112,則P(A|B)=P(AB)P(B)=16.答案:D3.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率是()A.29B.118C.13D.23解析:設(shè)事件A發(fā)生的概率為x,事件B發(fā)生的概率為y,則由題意得(1-x)(1-y)=19,x(1-y)=(1-x)y,聯(lián)立解得x=23,故事件A發(fā)生的概率為23.答案:D4.把一枚質(zhì)地均

11、勻的硬幣任意拋擲兩次,事件A表示第一次出現(xiàn)正面,事件B表示第二次出現(xiàn)正面,則P(B|A)=()A.12B.14C.16D.18解析:P(A)=12,P(AB)=14,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=12.故選A.答案:A5.從某地區(qū)的兒童中預(yù)選體操學(xué)員,已知這些兒童體型合格的概率為15,身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為14.從中任挑一名兒童,這兩項(xiàng)至少有一項(xiàng)合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒(méi)有影響)()A.1320B.15C.14D.25解析:這兩項(xiàng)都不合格的概率是1-151-14=35,則至少有一項(xiàng)合格的概率是1-35=25.答案:D6.分別用集合M=2,4,5,6,7,8

12、,11,12中的任意兩個(gè)元素作分子與分母構(gòu)成真分?jǐn)?shù),已知取出的一個(gè)元素是12,則取出的另一個(gè)元素與之構(gòu)成可約分?jǐn)?shù)的概率是.解析:設(shè)“取出的兩個(gè)元素中有一個(gè)是12為事件A,取出的兩個(gè)元素構(gòu)成可約分?jǐn)?shù)”為事件B,則n(A)=7,n(AB)=4,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=47.答案:477.已知甲袋中裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球,乙袋中裝有1個(gè)白球和4個(gè)紅球.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各摸一個(gè)球,試求:(1)兩球都是紅球的概率;(2)恰有一個(gè)是紅球的概率;(3)至少有一個(gè)是紅球的概率.解:記事件A表示“從甲袋中摸出一個(gè)紅球”,事件B表示“從乙袋中摸出一個(gè)紅球”,事件C表示“從甲、乙

13、兩袋中各摸一個(gè)球,恰好摸出一個(gè)紅球”,事件D表示“至少摸出一個(gè)紅球”.(1)由題意,A,B相互獨(dú)立,且P(A)=25,P(B)=45,所以兩球都是紅球的概率為P(AB)=P(A)P(B)=2545=825=0.32.(2)由已知C=ABAB,且AB與AB為互斥事件,而P(A)=35,P(B)=15,則P(C)=P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=2515+3545=1425=0.56.(3)由已知D=CAB,且C與AB為互斥事件,則P(D)=P(CAB)=P(C)+P(AB)=0.56+0.32=0.88.8.設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備

14、的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立.(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率;(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù),求X的分布列.解:記Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備,i=0,1,2.B表示事件:甲需使用設(shè)備.C表示事件:丁需使用設(shè)備.D表示事件:同一工作日至少3人需使用設(shè)備.(1)D=A1BC+A2BC+A2B.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2i0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2BC)=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,P(X=0)=P(BA0C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06.P(X=1)=P(BA0C+BA0C+BA1C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A