1、全等三角形（一）SSS 如【典型例題】,B5 cmAD【學(xué)問要點(diǎn)】1全等圖形定義：兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形例 1如圖,ABC ADC ,點(diǎn) B與點(diǎn) D是對應(yīng)點(diǎn),2全等圖形的性質(zhì)：BAC26, 且B20,SABC1, 求C（1）全等圖形的外形和大小都相同,對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等CAD,D,ACD的度數(shù)及ACD 的面積（2）全等圖形的面積相等CE,求EDF 的例 2如圖,ABC DEF ,A50,BC9 cm3全等三角形：兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形（1）表示方法：兩個三角形全等用符號“ ” 來表示,讀作“ 全等于”度數(shù)及 CF的長ADFABC與DEF全等,記作ABC DEFB（2

2、）符號“ ” 的含義： “ ” 表示外形相同, “ =” 表示大小相等,合起來就EC是外形相同,大小也相等,這就是全等（ 3）兩個全等三角形重合時,相互重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn),相互重合的邊叫做對應(yīng)邊,相互重合的角叫做對應(yīng)角例 3如圖,已知：AB=AD,AC=AE,BC=DE,求證：BAECAD（4）證兩個三角形全等時,通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上A4全等三角形的判定（一）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等,簡與成“ 邊邊邊”DF例 4如圖 AB=DE,BC=EF,AD=CF,求證：BCD或“SSS” AE如圖,在ABC 和ABDEDEF 中BCEFBCEABC DEFACDF（1）AB

3、C DEFA D（D CC2 A A E ADE AB A ABC ABDB E A CDB E D ABD和 CD FD A B D ABD第 8 題圖 C E C CBD D BBA E ABC F CCBAD 85 35 60 80 C AC ABCB 第 9 題題圖 DEFC 第 3 題圖 F ACD DA AE BC 第 6 題圖 ABCD）3如圖,ABC DEF ,AF=2cm,CF=5cm,就 AD= 證：D CDBABABC中C90,AACDB CBBABD和 EBAD4如圖,ABE ACD ,A100,B25,求BDC 的度數(shù)BBCE E BE C60,ABD35 DABE

4、BF 第 4 題圖 A DCFAEDAB第 7 題圖 40 , EAB30,C45, 就BACDDACABEACDDEAEBBAEBADABCDEFC90C與F互余BCAF=CD ,求C與F互補(bǔ)A與E互余B與D互余ACFDBE5如圖 A A A,已知,AB=DE ,BC=EF ,E30,ACF110,AD9 cm ,CD5.2 cmDABC與ABDABCAEBDABDEABCABDABCCDA 就 AD的長是（）AB B ABC D FD A B E D DEF SAS BFED ECBADE CC C DECAEABCDEF A、 7cm B、5cm C、8cm D、無法確定BEFFBCEF

5、2如圖,ABCDCE,A48,E62,點(diǎn) B、C、 E 在同始終線上,CB就ACD 的度數(shù)為（）、 110 D、 62 A、 48 B、 38 C【例 2】 如圖,已知：點(diǎn)D、E 在 BC上,且 BD=CE,BD1A2ECAD=AE, 1=2,由此你能得出哪些結(jié)論給出證明. 【例 3】 如圖已知： AE=AF,AB=AC, A=60 , B=24 ,求 BOE的度數(shù) . BEOABC, ADE是等邊三角形,AFC【例 4】 如圖, B, C,D在同一條直線上,求證： CE=AC+DC ECD=60 . E ABCDABC、 BDE均為等邊三角形；求證：BD CD=AD；【例 5】如圖,已知AE

6、B C【鞏固練習(xí)】 1 在 ABC和ABC中,如 AB=AB,AC=AC,仍要加一個角的條件,使A5如圖, AE是BAC的平分線,AB=AC. ABCABC,那么你加的條件是（） A A= A B.B= B C.C= C D.A= B 2 以下各組條件中,能判定ABC DEF的是（）（1）如 D是 AE上任意一點(diǎn),就ABD ACD,說明理由 . A AB=DE,BC=EF； CA=CD =CD ； C= F；AC=EF（2）如 D是 AE反向延長線上一點(diǎn),結(jié)論仍成立嗎請說明理由 C CA=CD； B=E =DE；BC=EF,兩個三角形周長相等 3閱讀懂得題：B如圖：已知AC,BD相交于 O,O

7、A=OB,OC=OD.1E那么AOD與 BOC全等嗎請說明理由. ABC與 BAD全等嗎請說明理由.小明的解答：OA=OB2D1OD=OC 2SAS AOD BOCC而 BAD= AOD+ ADB ABC= BOC+ AOBDC6如圖,已知AB=AC,EB=EC,請說明 BD=CD的理由所以ABC BAD1O2A（1）你認(rèn)為小明的解答有無錯誤；（2）如有錯誤給出正確解答；A BE4如圖,點(diǎn)C是 AB中點(diǎn), CD BE,且 CD=BE,摸索究 AD與 CE的關(guān)系；BDCAC D全等三角形（二）作業(yè)1如圖,已知AB=AC,AD=AE,BF=CF,求證：BDF CEF ；4已知：如圖1,AD BC,

8、AE=CF,AD=BC,E、F 在直線 AC上,求證： DE BF；A5. 如圖,已知DCFDE12FEABBCABAC, ADAE,AB=AC,AD=AE,B2如圖,ABC, BDF為等腰直角三角形；求證：（1）CF=AD；（ 2）CE AD；求證：（1）BE=DC,（2）BEDC. CFAEDDAQCBPE3如圖, AB=AC,AD=AE,BE和 CD相交于點(diǎn) O, AO的延長線交BC于點(diǎn) F；6、已知,如圖A、F、C、D四點(diǎn)在始終線上,求證： BF=FC；AF=CD,AB證:BD=CEAD EOBFC8、如圖,正方形ABCD的邊 CD在正方形 ECGF的邊 CE上,連接 BE、DG,11

9、、已知如圖, F 在正方形ABCD的邊 BC邊上, E 在 ABDC（1）觀看猜想BE與 DG之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論；（2）圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠相互重合的兩個三角形如存在,請說出旋轉(zhuǎn)過程,如不存在,說明理由；的延長線上, FB EB,AF交 CE于 G,求 AGC的度數(shù) .FG12、 如圖,ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四邊形ABECDEF是正方形,連接AF、 BD.1 觀看圖形,猜想 AF 與 BD之間有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想；9、已知 : 如圖 ,AD 是 BC上的中線 , 且 DF=DE求證 :BE CF2 如將正方形 CDEF繞點(diǎn) C 按順時針方向旋轉(zhuǎn),使正方

10、形 CDEF的一邊落在ABC的內(nèi)部,請你畫出一個變換后的圖形,并對比已知圖形標(biāo)記字母,題 1 中猜想的結(jié)論是否仍舊成立如成立,直接寫出結(jié)論,不必證明；如不成立,請說明理由 .AD10、已知 C為 AB上一點(diǎn) , ACN和 BCM是正三角形 . 求證：（ 1）AM=BNEFCB（ 2）求 AFN大小；NFMD全等三角形（三）ASACF【例 3】如圖, AB=AC,B2,C,求證： AD=AEE【學(xué)問要點(diǎn)】AAASA公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等D如圖,在ABC 與DEF 中BAD【例 4】已知如圖,13BCABDEDBE4,點(diǎn) P 在 AB上,可以得出ABCDEFASA EPC

11、=PD嗎試證ASA公理推論（AAS公理）：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等明之B1 2【典型例題】【例 1】以下條件不行推得ABC 和ABC全等的條件是（）F【例 5】如圖,123,AC=AE,求證： DE=BCDOPC3 4A、AB=A B ,AA,CCAB、AB= A B ,AC=A C ,BC= B C C、AB= A B ,AC=A C ,BBD、AB= A B ,ADA3EA,BBA【例2】已知如圖,12CAD,ABDE,AB/DE,求證： BC=EFBE4BDC【例 6】如圖,AD,12,AC,BD相交于 O,D2C9、 已知：如圖 , AB=AC , AD=AE ,

12、 求證：OBD OCE求證： AB=CD A OA=ODO1B【鞏固練習(xí)】1EAC如 E圖A,D A AA AAABB DBC10、已知：如圖 , AB=CD , AD=BC ,O為 BD中點(diǎn) , 過 O 作直線分別與DA、BCEGAA13 DDFA DF12ADONC1B 2B E C4 CF MD O C DE CC D AFC DD BEB B ABC CDFCCBDBB（圖）AOED C COFEB CB E,12的延長線交于E、F求證： OE=OFABEODFOBAD,12,AFCDAEDADE,BAECAD11、如圖在ABC和 DBC中 , 1=2 , 3=4 , P 是 BC上任

13、意一點(diǎn)求證：BD,BADCAEABCBAC ,ADBCACDABDACBDBC,DCAABD,AC10cmABC證： EDN CDN EMNPA=PD.12、已知：如圖 , 四邊形 ABCD中 , AD BC , F 是 AB的中點(diǎn) , DF交 CB延長線 于 E , CE=CD求證： ADE=EDC13、已知：如圖 , OA=OE , OB=OF , 直線 FA 與 BE 交于 C , AB 和 EF 交于 O , 求證： 1=2全等三角形（四）說明理由強(qiáng)化訓(xùn)練1、如圖,ABC是等邊三角形,點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點(diǎn),（1）如 ADBECF,問DEF是等邊三角形嗎試證明你的

14、結(jié)論；M4、已知：如圖,ABC中,ABC45 ,CDAB 于 D , BE 平分ABC ,（2）如DEF是等邊三角形,問ADBECF成立嗎試證明你的結(jié)論A F 且 BEAC 于 E ,與 CD 相交于點(diǎn) F,H是 BCA E D 邊的中點(diǎn),連結(jié)DH 與 BE 相交于點(diǎn) G B E C （1）求證： BFAC ；（2）求證：CE1BF ；D F 2G 2、如下列圖, 已知 1=2,EFAD于 P,B H C 交 BC延長線于 M,求證： 2M=（ ACB-12A5、 如圖, 點(diǎn) O 是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn),AOB110o,BOC將BOCB）EPFBDC3、 ABC中, A=90 , AB=AC,D為

15、 BC中點(diǎn), E、F 分別CFDB繞點(diǎn) C 按順時針方向旋轉(zhuǎn)60o 得ADC,連接 OD 在 AC、AB上,且 DE DF,試判定 DE、DF的數(shù)量關(guān)系,并E（1）求證：COD是等邊三角形；A（2）當(dāng)150o時,試判定AOD的外形,并說明理A 由；（3）探究：當(dāng)為多少度時,AOD是等腰三角形B 110oO D C 7、過等腰直角三角形直角頂點(diǎn) A作直線 AM平行于斜邊 BC,在 AM上取點(diǎn) D,使 BD=BC,且 DB與 AC所在直線交于 E,求證： CD=CE；A D ME過 A 作 AFBC于 F,過 D作 DGBC于BCG,就 DG=AF=1/2BC=1/2BD在 Rt BDG中, DG

16、=1/2BD =DBC=30 = BDC=BCD=1/2180 - 30 =75 ,即 EDC=7510、已知：如圖,點(diǎn) D在 ABC的邊 CA的延長線上,點(diǎn) E 在 BA的延長線上, CF、DEC=DBC+BCA=30 +45 =75 EDC=DEC =CD=CE EF分別是 ACB、 AED的平分線,且B=30 , D=40 ,求 F 的度數(shù)；8、Rt ABC,AB=AC,BM是中線, ADBM交 BC于 D,求證： AMB=CMD；AMBDCBDC120o ,說明 AD=BD+CD的理由；9、如圖,已知ABC是等邊三角形,11、等邊三角形ABC和等邊三角形DEC,D在 AC邊上；延長BD

17、交 CE延長線于 N,延長 AE交 BC延長線于 M；求證： CM=CN N易證 BCD ACE 所以 DBC=EACBADCEM再證 BCN ACM ASA CM=CN12、操作：如圖,ABC是正三角形,BDC是頂角 BDC120 的等腰三角形,以 D 為頂點(diǎn)作一個 60 角,角的兩邊分別交 AB、AC邊于 M、N兩點(diǎn),連接 MN探究：線段 BM、MN、NC之間的關(guān)系,并加以證明13、如圖等邊ABC和等邊CDE,點(diǎn) P 為射線 BC一動點(diǎn),角 APK=60 ,PK交直線14 、（ 涉 及 相 似 三 角 形 ） 如P 為ABC所 在 平 面 上 一 點(diǎn) , 且APBBPCCPA120 ,就點(diǎn)

18、 P 叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn) . 如圖,在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB 連結(jié) BB ；求證： BB 過ABC的費(fèi)馬點(diǎn) P ,且 BB = PAPBPC .ABCD于 K；（1）摸索究 AP、 PK之間的數(shù)量關(guān)系；ABCDK15、如圖 ,ABC 是等腰直角三角形, C900, 點(diǎn) M,N分別是邊 AC和 BC的中點(diǎn) , 點(diǎn)D在射線 BM上, 且 BD2BM, 點(diǎn) E 在射線 NA上, 且 NE 2NA.求證 :BDDE.ADKBPCEAED（2）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到 BC延長線上時,上題結(jié)論是否依舊成立為什么；MBCPEBNC第五章 全等三角形拓展延長例 2：在 ABC中,BAC=90 ,AB=AC,AE是過點(diǎn) A的直線,BDAE,CEAE,假如 CE=5,BD=11,請你求出 DE的長度；分析：三角形全等的證明及其運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)在于“ 把相等的邊 （角）A思路：抓住題目中所給的一組相等線段AB=AC進(jìn)行分析,對放入正確的三角形中” ,去說明“ 相等的邊（角）所在的三角形它們的位置進(jìn)行分析,發(fā)覺AB、AC分別位于一個 Rt 中,所以全等”,利用三角形全等來說明兩個角相等（兩