1、PAGE |初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-提高-精英學(xué)生版| 第1講 第頁 PAGE 頁碼 8 / NUMPAGES 總頁數(shù) 85-3-4.分解質(zhì)因數(shù)教學(xué)目標(biāo)六年級奧數(shù)分解質(zhì)因數(shù)二教師版整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu),而且表達(dá)形式唯一”知識點撥一、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)1.質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù),那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù).2.互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù),叫做互質(zhì)數(shù).3.分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來,叫做分解質(zhì)因數(shù).例如：.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如,2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù),其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式,在求一個

2、數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標(biāo)準(zhǔn)式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口,因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征.4.分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法例如：,是短除法的符號 所以；二、唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積,即：其中為質(zhì)數(shù),為自然數(shù),并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).分析：210=2357,可知這三個數(shù)是5、6和7.三、部分特殊數(shù)的分解；.例題精講模塊一、分?jǐn)?shù)的拆分算式“1”中,不同的漢字表示不同的自然數(shù),則“希望杯” ?！究键c】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,初賽,

3、第19題,6分三個分?jǐn)?shù)中一定有大于三分之一的,那個數(shù)是二分之一,剩下的兩個數(shù)必有一個大于四分之一,即是三分之一,那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】個質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是,則這個質(zhì)數(shù)之和為多少【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】3星 【題型】解答設(shè)這個質(zhì)數(shù)從小到大為、,它們的倒數(shù)分別為、,計算它們的和時需通分,且通分后的分母為,求和得到的分?jǐn)?shù)為,如果這個分?jǐn)?shù)能夠約分,那么得到的分?jǐn)?shù)的分母為、或它們之間的積.現(xiàn)在和為,分母,所以一定是,檢驗滿足.所以這個質(zhì)數(shù)的和為【答案】一個分?jǐn)?shù),分母是,分子是一個質(zhì)數(shù)現(xiàn)在有下面兩種方法： 分子和分母各加一個相同的一位數(shù)； 分子和分母各減一個相同的

4、一位數(shù)用其中一種方法組成一個新分?jǐn)?shù),新分?jǐn)?shù)約分后是那么原來分?jǐn)?shù)的分子是多少 【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】3星 【題型】解答因為新分?jǐn)?shù)約分后分母是,而原分母為,由于,所以分母是加上或者減去若是前者則原來分?jǐn)?shù)分子為,但,不是質(zhì)數(shù)；若是后者則原來分?jǐn)?shù)分子是,而是質(zhì)數(shù)所以原來分?jǐn)?shù)分子為【答案】將1到9這9個數(shù)字在算式的每一個括號內(nèi)各填入一個數(shù)字,使得算式成立,并且要求所填每一個括號內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù)? 【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空本題中括號內(nèi)所填的數(shù)字要求為個位質(zhì)數(shù),那么只能是2,3,5,7.將原始代入字母分析有,即有,那么很容易發(fā)現(xiàn)只有35-27=1。符合原式的填法為?！敬鸢浮壳鬂M足條

5、件的a、b的值a、b都是四位數(shù) 【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】解答取1001的兩個不同約數(shù)x、,得到：,因為x、y都是1001的約數(shù),所以、都是整數(shù)所以只需令,就可以了而a、b都要大于1001,要保證a、b都是四位數(shù),所以a、b的比值都要小于10,即x、y的比值小于10而1001的兩個互質(zhì)且比值小于10的約數(shù)有以下幾組：、所以我們依次取x、y為上面所列的數(shù)對中的數(shù),代入a、b的表達(dá)式,得到本題的答案：【答案】若,其中a、b都是四位數(shù),且ab,那么滿足上述條件的所有數(shù)對a,b是 【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空 2004的約數(shù)有：1,2004,2,1002,3,668,

6、4,501,滿足題意的分拆有：【答案】在下面的括號里填上不同的自然數(shù),使等式成立1；2【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空單位分?jǐn)?shù)的拆分,主要方法是從分母的約數(shù)中任意找出兩個數(shù)和,有： ,從分母的約數(shù)中任意找出兩個和 ,有： 本題的約數(shù)有：,10,2,5例如：選1和2,有：；從上面變化的過程可以看出,如果取出的兩組不同的和,它們的數(shù)值雖然不同,但是如果和的比值相同,那么最后得到的和也是相同的本題中,從10的約數(shù)中任取兩個數(shù), 共有種,但是其中比值不同的只有5組：1,1；1,2；1,5；1,10；2,5,所以本題共可拆分成5組具體的解如下： 10的約數(shù)有1、2、5、10,我們可選2和5

7、： 另外的解讓學(xué)生去嘗試練習(xí)【答案】1 2如果,均為正整數(shù),則最大是多少？【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】101中學(xué),分班考試 從前面的例題我們知道,要將按照如下規(guī)則寫成的形式：,其中和都是的約數(shù)。 如果要讓盡可能地大,實際上就是讓上面的式子中的盡可能地小而盡可能地大,因此應(yīng)當(dāng) 取最大的約數(shù),而應(yīng)取最小的約數(shù),因此,所以.【答案】【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空【答案】在下面的括號里填上不同的自然數(shù),使等式成立【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】4星 【題型】填空先選10的三個約數(shù),比如5、2和1,表示成連減式和連加式則：如果選10、5、2,那么有：另外,對于這類

8、題還有個方法,就是先將單位分?jǐn)?shù)拆分,拆成兩個單位分?jǐn)?shù)的和或差,再將其中的一個單位分?jǐn)?shù)拆成兩個單位分?jǐn)?shù)的和或差,這樣就將原來的單位分?jǐn)?shù)拆成了3個單位分?jǐn)?shù)的和或差了比如,要得到,根據(jù)前面的拆分隨意選取一組,比如,再選擇其中的一個分?jǐn)?shù)進(jìn)行拆分,比如,所以【答案】已知等式其中a,b是非零自然數(shù),求a+b的最大值。【考點】分?jǐn)?shù)的拆分 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽,決賽,第13題易知,令m,n為互質(zhì)的一對數(shù),現(xiàn)在要讓分母為1,只需m,n是15的一對互質(zhì)的約數(shù)即可。當(dāng)m,n=1,1時,此時,a+b=60；當(dāng)m,n=1,3時,此時,a+b=80；當(dāng)m,n=1,5時,此時,a+b=108；當(dāng)m,n

9、=1,15時,此時,a+b=256；當(dāng)m,n=3,5時,此時,a+b=64；所以,a+b的最大值為256。【答案】模塊四、分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用,都是整數(shù),大于,且,那么的最大值為 ,最小值為 ?！究键c】 【難度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,初賽最大值為最小值為【答案】最大為,最小為寫出所有數(shù)字和為11,數(shù)字乘積為20的四位偶數(shù)：_【考點】 【難度】 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,3年級,初賽本題屬于數(shù)字拆分,目的就是講11拆成四個數(shù)字和,20拆成4個數(shù)字的乘積,需要確定的是個位數(shù)字為偶數(shù)。根據(jù)拆分的特點應(yīng)該從20開始拆分。先將20分解質(zhì)因數(shù)為：,所以各個數(shù)位數(shù)字乘積為20的數(shù)字有：

10、2、2、5、1；4、5、1、1；數(shù)字和分別為10和11,符合條件的是4、5、1、1這四個數(shù)字組成的四位偶數(shù),所以答案為1154、1514、5114這3個答案?！敬鸢浮?154、1514、5114在做一道兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的乘法題時,小馬虎把一乘數(shù)中的數(shù)字5看成8,由此得乘積為1872那么原來的乘積是多少? 【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答1872=22223313=口口口口,其中某個口為8,一一驗證只有：1872=4839,1872=7824滿足當(dāng)為1872=4839時,小馬虎錯把5看成8,也就是錯把45看成48,所以正確的乘積應(yīng)該是4539=1755當(dāng)為1872=782

11、4時,小馬虎錯把5看成8,也就是錯把75看成78,所以正確的乘積應(yīng)該是7524=1800所以原來的積為1755或1800【答案】1755或1800兩個學(xué)生抄寫同一個乘法算式,兩個乘數(shù)都是兩位數(shù),他們各抄錯了一個數(shù)字,于是得到兩個不同的算式,但巧合的是,他們計算的結(jié)果都是936.如果正確的乘積不能被6整除,那么它等于多少？ 【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】4星 【題型】解答注意936中有質(zhì)因數(shù)13,故易見將其分解成兩個兩位數(shù)相乘的形式有,這5種可能,由于兩人各抄錯了一個數(shù)字,因此兩人的算式中應(yīng)有兩個位置上的數(shù)字相同.經(jīng)枚舉可知,他們所抄錯的算式可能是,或,.對于第一種情況,兩人抄錯的是第一

12、個乘數(shù)的個位數(shù)字和第二個乘數(shù)的十位數(shù)字,正確的算式應(yīng)是或,后者乘積是6的倍數(shù),與題意不符,故原算式應(yīng)為前者,正確的乘法算式是.對后三種情況作類似分析,可得出種可能的原乘法算式,但它們的結(jié)果都是6的倍數(shù),不合題意.因此676即為所求.【答案】676在射箭運動中,每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”脫靶,或者是不超過10的自然數(shù)甲、乙兩名運動員各射了5箭,每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是1764,但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)求甲、乙的總環(huán)數(shù)各是多少？ 【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】4星 【題型】解答應(yīng)對應(yīng)為5個小于10的自然數(shù)乘積通常我們會考慮將1764的6個質(zhì)因數(shù)組合為5個因數(shù),從而這5個因數(shù)一定都是大

13、于1的,于是得到了如下幾種分解情況1764=43377 =26377=22977但是發(fā)現(xiàn)其中任何兩組的和的差均不是4.原因是我們忽略了在題目敘述實際環(huán)境中還會有1環(huán)存在,從而要考慮含有因數(shù)1的另外2種情況1784=16677=14977所以總的情況對應(yīng)的和依次為4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,l+4+9+7+7=28對應(yīng)的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭環(huán)數(shù)為4、3、3、7、7,乙的5箭環(huán)數(shù)為1、4、9、7、7所以甲的總環(huán)數(shù)為24,乙的總環(huán)數(shù)為28?！敬鸢浮考椎目偔h(huán)數(shù)為24,乙的總環(huán)數(shù)為28某校師生為貧困地區(qū)捐款19

14、95元這個學(xué)校共有35名教師,14個教學(xué)班各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人不超過45人如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù),那么平均每人捐款多少元? 【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答這個學(xué)校最少有35+1430=455名師生,最多有35+1445=665名師生,并且?guī)熒側(cè)藬?shù)能整除19951995=35133,在455665之間的約數(shù)只有5133=665,所以師生總數(shù)為665人,則平均每人捐款1995665=3元【答案】3張老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹,學(xué)生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學(xué)生共種樹312棵,老師與學(xué)生每人種的樹一樣多,并且不超過10棵.問：一共有多少學(xué)生？每人種了幾棵樹？

15、【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答因為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)乘積,而每個人種的棵數(shù)又不超過10所以通過枚舉法來解注意人數(shù)是減去1后是3的倍數(shù)：,不是3的倍數(shù)；,不是3的倍數(shù)；,不是3的倍數(shù)；,不是3的倍數(shù)；,是3的倍數(shù)；,不是3的倍數(shù)；共有51個學(xué)生,每個人種了6棵樹.【答案】共有51個學(xué)生,每個人種了6棵樹某班同學(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹,學(xué)生恰好平均分成三組,如果老師與學(xué)生每人種樹一樣多,共種了1073棵,那么平均每人種了棵樹？【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答因為總棵數(shù)是每人種的棵數(shù)和人數(shù)的乘積,所以首先想到的是把1073數(shù)相乘,一個數(shù)為人

16、數(shù)一個數(shù)為每人種的棵數(shù),注意到人數(shù)是減去1是3倍數(shù),所以人數(shù)是37均每人種了29棵?！敬鸢浮?9幼兒園里給小朋友分蘋果,420個蘋果正好均分。但今天剛好又新人園一位小朋友,這樣每個小朋友就要少分2個蘋果。原來有 個小朋友。【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,6年級,決賽,第8題,10分上式中只有1430=14+130-2=1528符合題意,所以原有14個小朋友?！敬鸢浮?006個彈珠,平均分給若干個人,正好分完若有1人退出,不參加分球,并且彈珠增加10個,則每人可以多分8個原來有 人 【考點】分解質(zhì)因數(shù)的綜合應(yīng)用 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,5年級,決賽,第4題,8分對2006進(jìn)行分解質(zhì)因式,得到2006=21759；對2016進(jìn)行分解質(zhì)因式得到, 2016=,發(fā)現(xiàn)只有1