1、習(xí)題課級數(shù)的收斂、求和與展開 三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 四、函數(shù)的冪級數(shù)和傅式級數(shù) 展開法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 第十二章 求和展開(在收斂域內(nèi)進行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.為傅里葉級數(shù).為傅氏系數(shù)) 時,時為數(shù)項級數(shù);時為冪級數(shù);一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發(fā) 散不定 比較審斂法用它法判別積分審斂法部分和極限3. 任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz審斂法: 若且則交錯級數(shù)收斂 ,概念:且余項若收斂 ,稱絕對收斂若發(fā)散 ,稱條件收斂例1.

2、若級數(shù)均收斂 , 且證明級數(shù)收斂 .證: 則由題設(shè)收斂收斂收斂練習(xí)題: P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5解答提示:P320 題2. 判別下列級數(shù)的斂散性:提示: (1) 據(jù)比較審斂法的極限形式, 原級數(shù)發(fā)散 .原級數(shù)發(fā)散 故原級數(shù)收斂發(fā)散,收斂,用洛必達法則, 原級數(shù)發(fā)散 時收斂 ;時, 為 p 級數(shù)時收斂;時發(fā)散.時發(fā)散.P320 題3. 設(shè)正項級數(shù)和也收斂 .法1 由題設(shè)根據(jù)比較審斂法的極限形式知結(jié)論正確.都收斂, 證明級數(shù)法2 因 故存在 N 0,當(dāng)n N 時從而 再利用比較法可得結(jié)論P320 題4. 設(shè)級數(shù)收斂 , 且是否也收斂？說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 .問級

3、數(shù)提示: 對正項級數(shù),由比較判別法可知級數(shù)收斂 ,收斂,級數(shù)發(fā)散 .例如, 取P320 題5.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:提示: (1) p 1 時, 絕對收斂 ;0 p1 時, 條件收斂 ;p0 時, 發(fā)散 .(2)故原級數(shù)絕對收斂.因單調(diào)遞減, 且但對所以原級數(shù)僅條件收斂 .由Leibniz審斂法知級數(shù)收斂 ;因所以原級數(shù)絕對收斂 .二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R : 再討論 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .P320 題7. 求下列級數(shù)的斂散域:練習(xí):(自證) 解:當(dāng)因此級數(shù)在端點發(fā)散 ,時,時原級數(shù)收斂 .故

4、收斂域為解: 因故收斂域為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散; 例2.解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)極限不存在 原級數(shù) = 其收斂半徑注意: 此題 求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項求導(dǎo)或求積分對和函數(shù)求積或求導(dǎo)難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項級數(shù) 求和例3. 求冪級數(shù)法1 易求出級數(shù)的收斂域為法2先求出收斂區(qū)間則設(shè)和函數(shù)為練習(xí):解: (1) 顯然 x = 0 時上式也正確,故和函數(shù)為而在x0P320 題8. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散,(4)x0顯然 x = 0

5、時, 級數(shù)收斂于0, 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有x = 1 時,級數(shù)也收斂 . 即得又 練習(xí):解: 原式=的和 .P320 題9(2). 求級數(shù)注: 本題也可利用例3間接求和.例3 四、函數(shù)的冪級數(shù)和傅式級數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法練習(xí):1) 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解:1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法2) 設(shè), 將 f (x)展開成x 的冪級數(shù) ,的和. ( 2001考研 )解:于是并求級數(shù)2. 函數(shù)的傅式級數(shù)展開法系數(shù)公式及計算技巧;收斂定理;延拓方法練習(xí): 上的表達式為將其展為傅氏級數(shù) .P321 題11. 設(shè) f (x)是周期為2的函數(shù), 它在解答提示思考: 如何利用本題結(jié)果求級數(shù)根據(jù)傅式級數(shù)收斂定理 , 當(dāng) x = 0 時, 有提示:P320 6 (2); 7 (3); 8 (1), (3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12