1、楚雄師范學(xué)院(Chuxiong Normal University)高等幾何小論文系(院)：數(shù) 學(xué) 系專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓 名：楊 艷學(xué) 號：200910212022013年1月10日高等幾何中完全四點(diǎn)（線）形的調(diào)和性質(zhì)應(yīng)用于初等幾何中某些問題的初探摘要：本文對高等幾何中的完全四點(diǎn)（線）形的調(diào)和性質(zhì)進(jìn)行了歸納整理，并從初等幾何與高等幾 何之間的本質(zhì)聯(lián)系出發(fā)，主要討論了高等幾何中的完全四點(diǎn)（線）形的調(diào)和性質(zhì)應(yīng)用于初等幾何中 某些問題的作用，以達(dá)到化難為易，拓廣解題思路，并進(jìn)一步獲得某些初等幾何命題的推廣，以更 加充實(shí)和完善初等幾何的內(nèi)容。關(guān)鍵詞：完全四點(diǎn)（線）形；調(diào)和性；應(yīng)用Abstrac

2、t： The paper aims at giving a summary to the harmonicity of the complete quadrangle(line) in Higher Geometry . Based on the essential relationship between Elementary and Higher Geometry，the article discusses some possible problems in the applications of the harmonicity of the complete quadrangle (li

3、ne) in Higher Geometry to Elementary Geometry， in the hope that this will improve the mathematics teaching in the high school .Key Words:complete quadrangle (line) ， harmonicity， application1、引言點(diǎn)（線）形的調(diào)和性質(zhì)在初等幾何證題中的應(yīng)用舉出大量實(shí)例，對“高等幾何”在“初高等 幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課。由于該課程的抽象化、邏輯化程度 較深，學(xué)起來要困難一些，因此大多數(shù)高師類數(shù)學(xué)

4、與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都怕學(xué)這門課程，甚至認(rèn) 為學(xué)好了高等幾何用處也不大，于是抱著一種敷衍的態(tài)度學(xué)習(xí)高等幾何，但任由這種觀念傳播 顯然對培養(yǎng)中學(xué)教師是十分有害的。實(shí)際上，要成為合格的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，教好中學(xué)數(shù)學(xué)，就應(yīng)有 全面的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而高等幾何對中學(xué)數(shù)學(xué)教師幾何基礎(chǔ)的培養(yǎng)、解題觀點(diǎn)的提高、思維方法的 多樣化等都起著重要作用，而且從邏輯上講，高等幾何是初等幾何的延伸，它為初等幾何提供了理 論依據(jù)，拓展了初等幾何的解題途徑，豐富了初等幾何的研究方法，開闊了初等幾何的學(xué)習(xí)視野。 比如，初等幾何中的點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問題，是教學(xué)中的一個重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)，如果單純用初等 幾何的方法去解決，有時會覺得非常復(fù)雜

5、，若采用高等幾何的方法去思考問題，不僅可為解題帶來 了極大的方便，也可在方法上為解決初等幾何的問題開辟新的思路。同理“交比和調(diào)和共軛”與射 影幾何的各部分內(nèi)容密切相關(guān)，運(yùn)用其概念和有關(guān)性質(zhì)，可以比較簡單地解決初等幾何問題，比如 著名的“蝴蝶定理”用交比來證明比較簡便，基于這些原因，本文將針對利用完全四等幾何”中的 應(yīng)用進(jìn)行探討，以引起將來要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的師范類大學(xué)生的高度重視。2、完全四點(diǎn)（線）形的概念2.1完全四點(diǎn)（線）形定義1：平面內(nèi)無三點(diǎn)共線的四點(diǎn)及其兩兩聯(lián)線所構(gòu)成的圖形稱為完全四點(diǎn)形（完全四角形），記作 完全四點(diǎn)形ABCD。定義1：完全四點(diǎn)形含四點(diǎn)六線，每一點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，每一直線稱為

6、邊，不過同一頂點(diǎn)的兩邊稱為對 邊，六邊分為三對，每一對對邊的交點(diǎn)稱為對邊點(diǎn)（對角點(diǎn)），三個對邊點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱 為對角三角形，如圖1。圖1圖2定義2：平面內(nèi)無三線共點(diǎn)的四直線及其兩兩交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。稱為完全四線形（完全四邊形），記作完全四線形sbcd。定義2:完全死線形sbcd含四線六點(diǎn)，每一直線稱為邊，每一點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，不在同一邊上的兩個頂點(diǎn)稱為對頂，六個頂點(diǎn)分為三對，每一對對頂?shù)倪B線稱為對頂線（對角線），三條對頂線 構(gòu)成的三角形稱為對角三角形，如圖2.2.2交比定義3：共線四點(diǎn)A,B,C,D的交比定義為兩個簡比（ABC）與（ABD）的比，記為（AB , CD ）=（ABC ）（ABD ）其

7、中A,B兩點(diǎn)稱為基點(diǎn)，C,D兩點(diǎn)稱為分點(diǎn)。AC根據(jù)交比的定義有（AB,CD ）= BC = BC = AC BD VABD ） AD BC - ADBD不相同的共線四點(diǎn)的交比與點(diǎn)的排列順序有密切的關(guān)系?，F(xiàn)在來討論改變點(diǎn)的順序時，交比所 發(fā)生的變化。3、完全四點(diǎn)（線）形的調(diào)和性質(zhì)3.1完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)定理1：設(shè)s、s是完全四點(diǎn)形ABCD 的一對對邊，它們的交點(diǎn)是對邊點(diǎn)X，若X與其它二對邊點(diǎn)的連線是t、t，則有Css ,tt ）=-1。推論1：在完全四點(diǎn)形的對邊三點(diǎn)形的每條邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn)，其中兩個點(diǎn)是對邊點(diǎn)，另外兩 個點(diǎn)是這條邊與通過第三個對邊點(diǎn)的一對對邊的交點(diǎn)。如圖 1 中，（QR ,

8、 Y ）= -1,（PQ , XE ）= -1 等。推論2：在完全四點(diǎn)形的每條邊上有一組調(diào)和共軛點(diǎn)，其中兩個點(diǎn)是頂點(diǎn)，另一對點(diǎn)偶里，一個點(diǎn) 是對邊點(diǎn)，一個點(diǎn)是對邊點(diǎn)，另一個點(diǎn)是這個邊與對邊三角形的邊的交點(diǎn)。如圖 1 中：AB, YP ）= -1,（AD , ER ）= -1 等。3.2完全四線形的調(diào)和性質(zhì)對偶地，可以得出完全四線形的調(diào)和性質(zhì)。定理2：設(shè)C、D是完全四線形abcd的一對對頂點(diǎn)，它們的連線是對頂線x，若x與其它二對頂點(diǎn)的交點(diǎn)是A、B，則有（AB, CD ） = -1。推論1：到達(dá)完全四線形的對頂三線形的每個頂點(diǎn)有一組調(diào)和共軛線束，其中兩直線是對頂線，另 兩條直線此頂點(diǎn)與第三條對頂線

9、上兩對頂點(diǎn)的連線。如圖2中，（BA，CD）=-1 等。推論2：在完全四線形的每個頂點(diǎn)上，有一組調(diào)和線束，其中兩條邊是過此點(diǎn)的兩邊，在另一對線 偶里，一條是對頂邊，另一條是這個頂點(diǎn)與對頂三線形的頂點(diǎn)的連線。如圖2中，（BA,CD） =-1 等。3.3交比的性質(zhì)定理2：兩基點(diǎn)與分點(diǎn)交換，交比的值不變。即（CD , AB ）=（AB,CD ）定理3：只有兩基點(diǎn)交換或只有兩分點(diǎn)交換，交比的值與原來的交比值互為倒數(shù)。即（BA , CD ）=（AB,DC ）= 1tVAB , CD ）定理4：交換（AB,CD ）中間兩字母順序或交換兩端的兩字母順序所得的交比值與原來交比值和為常數(shù)1，即（AC , BD ）

10、=（DB,CA ）= 1 -（AB , CD ）共線四點(diǎn)A,B,C,D可有4! = 24種不同的排列。由定理4.14.3可得24個交比值只有6個不 同的取值：（AB , CD ）=（BA , DC ）=（CD , AB ）=（DC , BA ）= m ,（AB , CD ）=（BA , CD ）=（CD , BA ）=（DC , AB ）=,（AC , BD ）=（BD , AC ）=（CA , DB ）=（DB , CA ）= 1 - m ,（AC , DB ）=（BD , CA ）=（CA , BD ）=（DB , AC ）=,1 一 m（AD , BC ）=（BC , AD ）=（CB

11、, DA ）=（DA , CB ）=生1,m（ad , CB ）=（BC , DA ）=（CB , AD ）=（DA , BC ）= m 一 1上述定理及推論的證明可祥見于高等幾何（朱德祥編）。利用上述性質(zhì)我們可以較為簡單明了地解決許多初等幾何的問題，以使得初幾與高幾的學(xué)習(xí)能 夠融合貫通，并從中體現(xiàn)高幾對初幾的指導(dǎo)作用。4、應(yīng)用舉例4,1證明平分線段問題例1、四邊形ABCD的對邊AB與CD交于M , M與AB交于N ,直線MN平行于四邊形 ABCD的對角線BD上，求證：另一對角線AC平分線段MN。證明：如圖3所示，設(shè)平行線BD與MN交與Q , AC與MN交于P，視四邊形ABCD為完全8四點(diǎn)形（

12、四線形），則MN為完全四點(diǎn)形ABCD的對邊三點(diǎn)行的一條邊，由定理1的推論1 或定理2,易得：（MN , PQ ） = -1,即（MN , PQ ） = （MNP ） = = -18NP故P為線段MN的中點(diǎn)，從而對角線AC平分線段MN。由此題的證明過程不難證明其逆命題成立。逆命題：四邊形ABCD的對邊AB、CD交于M , BC、AD交于N ,對角線AC平分線段MN , 求證：直接MN平行于四邊形ABCD的對角線BD。由以上說明，這一類初等幾何問題通過構(gòu)造四邊形，進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為完全四點(diǎn)（線）形的問題， 然后用其調(diào)和性極易得到解決。圖4圖5圖64.2證明平分角度問題例2設(shè)X為A ABC的高線AD上

13、的任一點(diǎn)，BX、CX延長線交對邊于Y、Z，則DA平分Z YDZ。證明：如圖4，設(shè)DY與CZ交于。，則DCYZ為完全四點(diǎn)形，由完全四點(diǎn)行的調(diào)和性，有（CX , OZ ） = -1以D為射影中心向這四點(diǎn)投影得（DC、DX , DO、DZ ） = -1又因DX 1 DC，則知DX，DC分別為ZODZ的內(nèi)、外角平分線，即DA平分/ YDZ當(dāng)A ABC為鈍角三角形時，仿上同理可證。例3兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，過A引AB的垂線，交兩圓于C、D，連BC、BD交兩圓于E、F，證明 AB平分zeaf或其外角。設(shè)AF交CB于G，視ABGD為完全四點(diǎn)形，仿上例可同理證明本題結(jié)論。由以上兩例不難看出，利用完全四點(diǎn)（線）

14、形的調(diào)和性解決某些初等幾何平分角問題時，主要在 于完成兩個步驟，一是構(gòu)造四邊形，得四直線調(diào)和分割，二是設(shè)法建立交錯二直線相互垂直關(guān)系， 由此即可證明平分角結(jié)論。4,3證線共點(diǎn)問題例4設(shè)X、Y、Z是完全四點(diǎn)形ABCD的三個對邊點(diǎn)，XZ分別交AC、BD于L、M，證明 YZ、BL、CM 共點(diǎn)。證明：如圖5，在完全四點(diǎn)形ABCD中，據(jù)定理1的推論1知，邊AC上的四個點(diǎn)A、C、Y、L是 一組調(diào)和點(diǎn)，即（AC，YL）=-1。又在完全四點(diǎn)形YBZL中，設(shè)LB與YZ交于N，MN交YL于C，據(jù)定理1的推論1知，邊YL 上的四點(diǎn)Y、L、C，、A是一組調(diào)和點(diǎn)，即（YL，AC，）=-1。由于（YL，AC）=1，故C三

15、C ，所以YZ，BL,CM共點(diǎn)與N。4.4證共線點(diǎn)問題例5設(shè)D,E,F分別是A ABC的三邊BC,CA,AB或者延長線上的點(diǎn)，且DB -里 FA = 1，則它們DC EA FB三點(diǎn)共線（梅尼勞斯定理的逆定理）。證明：如圖6，因?yàn)镈B引,則FA。EA，故EF必與BC相交。DC FB ECAA設(shè)EF交BC于D ,連BE交于H點(diǎn)，連AH交BC于F,得到完全四點(diǎn)形AFHE,由定理1的推論有（D F ,BC）= D-B - -C = -1DC F B.F B EC FA又AF BE , CF共點(diǎn)于H，由賽瓦定理有 - =-1x得D B EC FA 寸 DB EC FAD B DBD在BC上，- =1,又

16、- =1，故有=DC EA FB DC EA FBDC DC從而DC = DC，所以D, D，重合，即F, E, D共線。仿此可證朱德祥編高等幾何P66第4,8題。由以上說明處理共點(diǎn)、共線的問題，最常用的方法一是把平行四邊形視為四點(diǎn)形或四線形，二是 用重合法進(jìn)行證明。4,5證線平行問題例6如圖7在 ABC中，AD是/ A的內(nèi)角平分線，在AD上任取點(diǎn)P，連BP交AC于F，連CP 交AB于E，EF交BC于H，求證：垂直于AH的直線平行于AD。證明：如圖 7，設(shè)/ BAD= / DAC= a，/ DAH= 0，/ CAH= p。視四邊形AEPF為完全四邊形，則由定理2的推論2或定理1有（AB、 AC

17、、 AD、 AH） =-1又由線束交比的幾何意義，即得（AB、AC，AD、AH）=偵 AB，AD 讖 AC，AH ） = sin sin P =-1sin（ AB , AH ） sin（ AC , AD ） sin（ a + 0 ） - sin（ -a ）故 sin p =sin （ a + 0），又 sinp =sin （ 0 -a）所以 sin （ 0 -a）= sin （ a + 0）兀即 cos 0 - sin a = 0，故 cos 0 = 0 或 sin a = 0，于是0 =或a =兀。2兀但a是 ABC的一個內(nèi)角，不可能等于兀，所以0 =一，從而AH 1 AD，即垂直于AH 2

18、的直線平行于AD，并且AH即為/ A的外角平分線。由例1及本例不難得到利用完全四點(diǎn)（線）形的調(diào)和性質(zhì)證明二直線平行的一般方法。4.6證比例線段問題例7已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AF = 1DF , EF交AC于G ,求證:2AG = 1 AC。5證明：如圖8,連BD交AC于H,過E作EE H BD交AD于E ,連E G交AB于A ，視AF GF 為完全四點(diǎn)形。因E為AB中點(diǎn)，且EE II BD，所以EE 為 ABC之中位線，A”為EE之中點(diǎn)，由 初等幾何知識易證EE I FF，所以AFAA2AA 31AF = AD3(AG , A A )= -1由定理1，得即(AG , A

19、A)=AA GA2-AA (AA3-AG )=-1AA -GAAA -(AG -2 -AA) 3411即AG =AA，又 AA，AH=AC524,所以411。AG=XAC =AC545由此題的證明，不難得到更一般性的結(jié)論成立。推廣：在平行四邊形ABCD 中,E在 AB上，F(xiàn) 在 AD 上，11EF交AC 于 G ，AE =AB,af =AD ,mn(AG , AA) = 1且則1AG = ACm + n證明略。4.7解決作圖問題從以上可以看出，利用完全四點(diǎn)（線）形的調(diào)和性質(zhì)可以使我們由純粹幾何方法得到調(diào)和共軛點(diǎn) 列或調(diào)和共軛線束，即僅用直尺可作出已知點(diǎn)列上的三點(diǎn)的第四調(diào)和點(diǎn)或已知線束中三直線的

20、第四 調(diào)和直線的方法。我們知道，一直線l上的點(diǎn)偶P , P與Q , Q成為調(diào)和共軛的充要條件是：“ P和P是一個完全 121212四點(diǎn)形的對邊點(diǎn)，Q1和Q 2是通過第三個對邊點(diǎn)的一對對邊與l的交點(diǎn)”（參見文1）。為此，可通 過完全四點(diǎn)形的作圖來作第四調(diào)和點(diǎn)。利用完全四點(diǎn)形和完全四線形的調(diào)和性質(zhì)在初等幾何作圖中 的一些具體應(yīng)用如下：例1、已知A、B、C三點(diǎn)共線于l，在直線l上求作點(diǎn)C關(guān)于A、B的調(diào)和共軛點(diǎn)，有以下幾 種方法。限于篇幅，只給出作法，具體作圖過程及證明從略。利用完全四點(diǎn)形和完全四線形的調(diào)和性質(zhì)過點(diǎn)C任作一直線，在其上任取異于C的兩點(diǎn)Q、S，分別連接S、A ； Q、B交于點(diǎn)R，連接Q、

21、A ； S、B交于點(diǎn)T，再連接A、B ； R、T交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)D即為所求。利用“線段的中點(diǎn)與其所在直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)成調(diào)和共軛”過點(diǎn)C任作一直線，在其上取兩點(diǎn)A、B分別位于點(diǎn)C的兩側(cè)，并且A、B到C的距離相等。1111連A與A、B與B相交于S點(diǎn)，過點(diǎn)S作直線AB的平行線交A、B、C所在直線l于點(diǎn)D，則 1111點(diǎn)D即為所求（參見文2）。利用“角的內(nèi)、外角平分線關(guān)于角的兩邊成調(diào)和共軛”過點(diǎn)C任作一條不與l垂直的直線l1，作線段AB的垂直平分線與直線l1相交于E點(diǎn)，過不共線三點(diǎn)A、B、E作一圓，交直線l1于另點(diǎn)F，再作ZAFB的外角平分線與A、B、C所在直線l相交于D，則點(diǎn)D即為所求。利用二次曲線極點(diǎn)、極線的作圖法過A、B兩點(diǎn)任作一圓，作出點(diǎn)C關(guān)于此圓的極 線，與A、B、C所在直線l相交于D，則點(diǎn)D 即為所求。例8、已知共線三點(diǎn)F、E、G，求作第四點(diǎn)p，使得或EG - FP=