1、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示一、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使得p=xa+yb+zc.空間所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量。二、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用 i , j , k 表示 空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底 i、j、k 。以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i、j、k的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就

2、建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz 點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量I、j、k都叫做坐標(biāo)向量.通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。 在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)，A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量OA，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使 OA=xi+yj+zk 在單位正交基底i, j, k中與向量OA對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).三、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算.設(shè)則設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,

3、y2-y1,z2-z1). 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo). 空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，關(guān)鍵是注意空間幾何關(guān)系與向量坐標(biāo)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，為此在利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷空間幾何關(guān)系時(shí)，首先要選定單位正交基，進(jìn)而確定各向量的坐標(biāo)。四、距離與夾角1.距離公式（1）向量的長(zhǎng)度（模）公式設(shè)則（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式 兩個(gè)向量的夾角的定義OAB兩個(gè)向量的數(shù)量積注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。兩個(gè)向量夾角公式注意：（1）當(dāng) 時(shí)，同向；（2）當(dāng) 時(shí)，反向；（3）當(dāng) 時(shí)，。3）射影BAA1B1注意：是軸l上的正射影,A1B1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，它的符號(hào)代表向量與l的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代表在l上射影的長(zhǎng)度。4)空間向量的數(shù)量積