1、主要內(nèi)容第六節(jié) 初 等 矩 陣初等矩陣的定義初等矩陣的性質(zhì)兩個矩陣的等價關(guān)系求逆矩陣的初等行變換法三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.一 、初等矩陣的定義定義 13 由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.這一節(jié)我們來建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系，并在這個基礎(chǔ)上，給出用初等變換求逆矩陣的方法.等矩陣, 記為 P( i , j ) .第 i 行第 j 行1. 對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列把單位矩陣中第 i , j 兩行對調(diào) ( ri rj ), 得初得初等矩陣, 記為 P( i(c) ) .2. 以數(shù) c 0 乘某行或某列以數(shù) c 0 乘單位矩陣 E 的第 i 行 ( ri c ) ,第

2、 i 行初等矩陣, 記為 P( i , j(k) ) .3. 以數(shù) k 乘某行(列)加到另一行(列)上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj )或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( cj + kci ) , 得第 i 行第 j 行第 i 列第 j 列的右邊乘以相應(yīng)的 n 級初等矩陣.二、初等矩陣的性質(zhì)引理 設(shè) A 是一個 s n 矩陣, 對 A 施行一次初等行變換, 相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 s 級初等矩陣;對 A 施行一次初等列變換, 相當(dāng)于在 A 證明我們只看行變換的情形，列變換的情形可同樣證明.令 B = ( bij ) 為任意一個 s

3、s 矩陣,A1 , A2 , , As 為 A 的行向量.由矩陣的分塊乘法,第 i 行第 j 行特別，令 B = P( i , j ) , 得這相當(dāng)于把 A 的 i 行與 j 行互換.第 i 行第 j 行令 B = P( i (c) ) , 得第 i 行這相當(dāng)于用 c 乘 A 的第 i 行.令 B = P( i , j(k) ) , 得這相當(dāng)于把 A 的 j行的 k 倍加到 i 行.1) P( i, j )-1 = P( i, j ); 2) 3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ).推論 初等矩陣都是可逆知陣, 且 在第二章第五節(jié)我們看到，用初等變換可以化簡矩陣

4、.如果同時用行與列的初等變換，那么還可以進一步化簡.為了方便，我們引入：定義 14 矩陣 A 與 B 稱為等價，如果 B 可以由 A 經(jīng)過一系列初等變換得到.三、兩個矩陣的等價關(guān)系1. 定義 2. 等價關(guān)系的性質(zhì) (i) 反身性 A A; (ii) 對稱性 若 A B, 則 B A; (iii) 傳遞性 若 A B, B C, 則 A C.記為 A B .4. 矩陣與其標(biāo)準形的關(guān)系定理 5 任意一個 s n 矩陣 A 都與它的標(biāo)準形等價，并且其標(biāo)準形的主對角線上 1 的個數(shù)等于矩陣 A 的秩 ( 1 的個數(shù)可以是零) .證明如果 A = O，那么它已經(jīng)是標(biāo)準形了.以下無妨假設(shè) A O .經(jīng)過初

5、等變換，A 一定可以變成一左上角元素不為零的矩陣.當(dāng) a11 0 時，把其余的行減去第一行的( i = 2, 3, , s ) 倍，其余的列減去第一列的( j = 2, 3, , s ) 倍.然后，用乘第一行，A就變成A1 是一個 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩陣.對 A1 再重復(fù)以上的步驟.這樣下去就可得出所要的標(biāo)準形.顯然，標(biāo)準形矩陣的秩就等于它主對角線上 1的個數(shù).而初等變換不改變矩陣的秩，所以 1 的個數(shù)也就是矩陣 A 的秩.證畢例 1 任意輸入一個矩陣，用初等變換把它化為標(biāo)準形.單 擊 這 里 開 始5. 兩個矩陣等價的充要條件根據(jù)引理，對一矩陣作初等變換相當(dāng)于用相應(yīng)的

6、初等矩陣去乘這個矩陣.因此，矩陣 A，B 等價的充分必要條件是有初等矩陣 P1 , , Pl , Q1,Qt使A = P1 P2 Pl B Q1 Q2 Qt . (1)n 級可逆矩陣的秩為 n ，所以可逆矩陣的標(biāo)準形為單位矩陣；反過來顯然也是對的.由 (1) 即得定理 6 n 級矩陣 A 為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：A = Q1 Q2 Qm . (2) 由此即得推論 1 兩個 s n 矩陣 A，B 等價的充分必要條件是，存在可逆的 s 級矩陣 P 與可逆的 n 級矩陣 Q 使A = PBQ .推論 2 可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列的初等行變換化成單位矩陣.證明設(shè) A 為可逆矩

7、陣，則由定理 6 知，存在初等矩陣 Q1 , Q2 , , Qm 使A = Q1 Q2 Qm ,把它改寫一個，有Qm-1 Qm -1-1 Q1-1A = E .因為初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣，同時在矩陣 A 的左邊乘初等矩陣就相當(dāng)于對 A 作初等行變換，所以結(jié)論得證.證畢用分塊矩陣形式, (i)、(ii) 兩式可合并為:四、求逆矩陣的初等行變換法當(dāng) |A| 0 時, 由 A = P1P2 . Pl , 有Pl-1Pl-1-1 . P1-1A = E, (i)及 Pl-1Pl-1-1 . P1-1E = A-1. (ii)(i) 式表明 A 經(jīng)一系列初等行變換可變成 E , (ii)式表明 E

8、 經(jīng)這同一系列初等行變換即變成 A-1 . Pl-1Pl-1-1 . P1-1(A E) = ( E A-1) ,求矩陣 A-1B. 由 A-1(A B) = (E A-1B)可知, 若對矩陣(A B)施行初等行變換, 當(dāng)把A 變?yōu)?E 時, B 就變?yōu)?A-1B.A變成 E 時, 原來的 E 就變成 A-1 .即對 n 2n 矩陣 (A E) 施行初等行變換, 當(dāng)把利用初等行變換求逆矩陣的方法, 還可用于 例 2 設(shè)矩陣用初等行變換法, 判斷 A 是否可逆? 若可逆, 求 A-1. 解單 擊 這 里 開 始所以 例 3 任意輸入一個 3 級矩陣 A , 判斷其是否可逆, 若可逆, 求其逆矩陣

9、 A-1 . 解所以單 擊 這 里 開 始 例 4 任意輸入一個 4 級矩陣 A , 判斷其是否可逆, 若可逆, 求其逆矩陣 A-1 . 解所以單 擊 這 里 開 始 例 5 用初等行變換法解矩陣方程 AX = B ,解初等行變換故其中本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.

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