1、 /13例1一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)A=答對(duì)一道題貝IP(A)=14則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn).(八設(shè)：X：該學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)的題數(shù)，則XB5，14164(1_+-14丿二項(xiàng)分布的分布形態(tài)若XB(n，p)，貝IP仗二訃=1+(n+1)P-k(q=1一p)PX=k-1kq由此可知，二項(xiàng)分布的分布先是隨著k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k的增大而減少這個(gè)使得可以證明：PX=k達(dá)到其最大值的k稱為該二項(xiàng)分布的最可能次數(shù)0如果(n+1)p不是整

2、數(shù)，則k=Kn+1)pl；如果(n+1)p是整數(shù)，則k=(n+Dp或(n+1)p一1；例2對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率均為0.44試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？X：300射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)解：對(duì)目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli試驗(yàn)令：則由題意XB(300,044)由于(300+1)x0.44=132.44，它不是整數(shù)因此，最可能射擊的命中次數(shù)為k=1132.44=1320其相應(yīng)的概率為PX=132)=C132X0.44132X0.56168=0.046363003)Poisson分布如果隨機(jī)變量X的分布律為PX=k=e-九(

3、k=0,1，2，)k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的Poisson分布.分布律的驗(yàn)證TOC o 1-5 h z九k,由于九o可知對(duì)任意的自然數(shù)心有_e-九00九k九k又由幕級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，可知乙-kre-入=e-九乙-kr=e-入e九=1k!k!k=0k=0所以px=k=e-入(k=01,2,)是分布律k!Poisson分布的應(yīng)用1、Poisson分布是概率論中重要的分布之一2、自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布3、例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來(lái)到某服務(wù)臺(tái)要求服務(wù)的

4、人數(shù)等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的例3設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的Poisson分布，且已知P（X=1=px=2試求px=4解：隨機(jī)變量X的分布律pix=k=e-九（k=0,1,2,）k!由已知PX=1=Pix=2得第e-九=聳e亠1!2!九2-2九=0解得九=2（另一個(gè)解入=0不合題意，舍去）px=4=e-2=2e-2=0.090224!3例4設(shè)一人在一年內(nèi)的感冒次數(shù)服從參數(shù)九=5的Poio分布，現(xiàn)有一種預(yù)防感冒的藥,它對(duì)30%的人來(lái)講,可將上述參數(shù)九降為九=1（療效顯著）；對(duì)另45%的人來(lái)講，可將參數(shù)九降為九=4（療效一般）；而對(duì)其余25%的人來(lái)講，則是無(wú)效的.現(xiàn)某人服用此

5、藥一年,在這一年中,他得了3次感冒,試求此藥對(duì)他“療效顯著”的概率解：設(shè)B=此人在一年中得3次感冒A=該藥療效顯著A=該藥療效一般A=該藥無(wú)效123則由Bayes公式，得PA1=P（A）P（BA）+P（A）P（BA）+P（A）P（BA）P（A）P（BA）12230.30 xe-1=3!1343530.30 xe-1+0.45xe-4+0.25xe-53!3!3!=0.1301Poisson定理設(shè)在Bernoulli試驗(yàn)中，以p代表事件A在試驗(yàn)中發(fā)生的概率，n它與試驗(yàn)總數(shù)n有關(guān)如果limnp=x0貝QnnT8limCkpkGp一k=e-九nk!knnnT8證明：令：np=xnn則CkpkG-pL

6、-knnnn(n一1)(a-2)(n-k+1)(九nnXknkVa、1-人n丿1-M丫1亠n人n丿n-k對(duì)于固定的k有由lim九=limnp=X得nnnT8nT8lim九k=Xknnfg=limnfg1-Xn卩n丿=e一九 /132 /13所以，limCkpk(1一phknnnnf0-limnfg九n-kn_n丿1k!lim九k.lim1-nsnnxn八1-/lim1-n九nnn-k九k=e一九J!由Poisson定理，可知若隨機(jī)變量XB（n,p）,則當(dāng)n比較大，p比較小時(shí)，令：九=np貝I有px=k=Ckpk（1-p）n-k=二enk!例5設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次

7、，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計(jì)算）.解：設(shè)B=600次射擊至少命中3次目標(biāo)進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗(yàn)X：600次射擊命中目標(biāo)的次數(shù)則XB（600,0.012）用Po歳son分布近似計(jì)算，取九=600 x0.012=7.2P（B）=Pix3=1-Pixv3=1-pix=0-pix=1-px=2=1-e-7.2-7.2e-7.2-空e-仏=0.9745例6為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái)各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可有一人來(lái)處理.問(wèn)至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)

8、設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01？解：設(shè)需配備N人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)為X，則Xb（300，0.01），需要確定最小的N的取值，使得：PXN001PX099k!k=0i一為叱=另竺！P(A)=PX212341丄工=另(02)ke皿=0.0175.JcTk!k=2k=2按第二種方法.以Y記80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則Yb(20,0.01)故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：PY4另(08e亠8=0.0091.k!k=4第二種方法中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小,且維修工人減少一人。運(yùn)用概率論討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)問(wèn)題,可以有效地使用人力、物力資源。一.連續(xù)型隨機(jī)變量的概念

9、與性質(zhì)定義如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有F(x)=fx/(t皿9_8則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)簡(jiǎn)稱概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量X由其密度函數(shù)唯一確定.由定義知道，概率密度f(wàn)(x)具有以下性質(zhì)：10f(x)0.2o卜f(x)dx=1._830PxvXx=F(x)-F(x)=Jx2f(x)dx(x)dxG例1設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)=1解：由密度函數(shù)的性質(zhì)于f(x)dx=1得1=于f(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx+Tf(x)dx一8一8=fcCx一2x2)dx=c(2x2-2x3I3.px

10、1=Tf(xdr=ff(xIdx+Tf(xdr=f；Cx一2x2h=3二.一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1均勻分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為ax0；ff(x)dx=ff(x)dx+jf(x)dx+Tf(x)dx=/dx=1ba一8gaba由此可知,f(x)=axb其它確是密度函數(shù)類似地，我們可以定義區(qū)間(a,b)上的均勻分布;區(qū)間la,b)上的均勻分布;區(qū)間(a,blh的均勻分布.均勻分布的概率背景如果隨機(jī)變量X服從區(qū)間匸，上的均勻分布，則隨機(jī)變量X在區(qū)間R上的任意一個(gè)子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)這時(shí)，可以認(rèn)為隨機(jī)變量X在區(qū)間匸，上取值是等可能的.L_dx=PcvX

11、c+1=Jc+lf(x)dx=fc+1cc例5設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來(lái)一班車,如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量試求該乘客候車時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率解：設(shè)該乘客于7時(shí)X分到達(dá)此站.則X服從區(qū)間1030上的均勻分布.其密度函數(shù)為f1A0 x30fx)=300其它令：B=候車時(shí)間不超過(guò)5分鐘貝IP(B)=P&0X15+P(25X30f3d畀30dx=10252指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=00 x0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為九的指數(shù)分布.密度函數(shù)的驗(yàn)證設(shè)X參數(shù)為九的指數(shù)分布，fCJ是其密度函數(shù)，則有:對(duì)任意的x,有f(x)0；(2).于f(x)dx=ff(x)dx+于f(x)d