1、2011一、選擇題(18 小題，每小題 4 分，共 32 分下列每題給出的四個選項中，只有一x3sinxsin3x與cxk )k1,c4(B) k 1,c4(C) k 3,c4 (D) k 3,c 42011一、選擇題(18 小題，每小題 4 分，共 32 分下列每題給出的四個選項中，只有一x3sinxsin3x與cxk )k1,c4(B) k 1,c4(C) k 3,c4 (D) k 3,c 4x2f x2f x3xx0處可導(dǎo)，且 00，則f)2f0 f 0f 0(D) f (xln (x1)(x2)(x)(B) (C) (D) )a(ex ex)(B) ax(ex ex)x(aex bex

2、)(D) x2(aex bex)z f (x)gy在點(0,0)(A) f (0)0,g(0)f (0)0,g(0)(C) f (0)0,g(0)f(0)0,g(0)(6) 設(shè)I lnsinxdx，J lncotxdx ，K lncosxdx ，則I, J , K 的444000)(A) I J K(B) I K J(C) J I K(D) K J I0000P 0，P )121001(A) PP 1 (D) PP12 Ax0A*x0)(A) PP 1 (D) PP12 Ax0A*x0)1,2 1,2,3 2,3,4 二、填空題小題，每小題 4 分，共24 分請將寫指定位置上)1 1) (9)

3、 2微分方程yyexcosx滿足條件y(0)0的解為x曲線ytantdt (0 x)的弧長s 40ex,x 0,則 xf (x)dx f (x0,x設(shè)平面區(qū)域 D yx, x2y22y 及 y xyd D(14) 二次型 f(x x x ) x2 3x2 x2 2x x 2x x 2x x f 的正慣性指1 1 2 三、解答題(1523 小題，共 94 分請將解答寫指定位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)xln(1t 2limF(x limF(x0試求a0 x 1t3t133確定，求 y y(x) 的極值和曲線設(shè)函數(shù) y y(x) 由參數(shù)方程11yt3t33y y(xz f(xyyg

4、(xf g(xx 2 y(x具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線lyy(xyz f(xyyg(xf g(xx 2 y(x具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線lyy(xy x相切于原點，記為曲線在點(x, yd dy, y(x1ln(11 1 (I)證明：對任意的正整數(shù) n，都n11lnn(n12,，證明數(shù)列a 2 n(II)設(shè)nn y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該 曲線由x2 y2 2y(y x2 y2 1(y 122：my2x2 y2 2112Ox1x2 y2 1DD(xy|0 x1,0 y1，計算二重積I xyfxy(x,y)dxdyD設(shè)向量組 (1,0,1T), T3, 12312 (12,3)T (34a) 線性表示T3

5、(I) 求a1,2,3 由1,2,3 線性表示11012rA 2(I) 求a1,2,3 由1,2,3 線性表示11012rA 200A 為三階實對稱矩陣， A 0111(I)A2011一、選擇題(18 小題，每小題4分，共 32 分下列每題給出的四個選項中，只有一】因為lim3sin xsin3x lim3sinxsinxcos2xcosxsin 【sinx3cos2x2cos2 3cos2x2cos2 cxk 32cos2 x12cos2 4sin2kkk41x0 cxk所以c 4,k 3選】x32cos2 x12cos2 4sin2kkk41x0 cxk所以c 4,k 3選】x2fx2f

6、x3】【x3x2fxx2f 02f x32f xfx3ffx f limxxx0 f02f 0f0選故(B3111f (x)xxx3x2 12x(x1)(x2)(x6 f (x) 0，得x1,2 f (x3】微分方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2 2 0 ，解得特征根,r 12y2yexy xaex1y2yexy xbex2y2yex ex y x(aex bex】f y (x)g(y)f (x)g(【 f (0)g(0) 0， 0 ，即0,0 點是可能的f x y y x(aex bex】f y (x)g(y)f (x)g(【 f (0)g(0) 0， 0 ，即0,0 點是可能的f x y

7、2z f (x)gy22z f(x)g(g (y)f (x)，z2xy|(0,0) B 2A C f (0)g(0)f(0)g(0)0|(0,0) 2|(0,0) ACB2 AC 0,A f(0)g(00，所C f (0g(0 0.由題意f (0) 0g(0 0，所以f (0 0g(0) 0，故選(6)】因為0 x 時，0sinxcosx1cotx4又因ln x是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以lnsinx lncosxx故正為(7)【】 0100A0 B1APBABP 11001BE01即PB E,故B P 因此，A PP1，故選2222 】由于(1,0,1,0T)是方程組Ax0的一個基礎(chǔ)解系，所，且

8、r(A 41 ，3即1 3 0 由此A|A|E O，即A (, , , ) O，這說明 , A*x0A A】由于(1,0,1,0T)是方程組Ax0的一個基礎(chǔ)解系，所，且 r(A 41 ，3即1 3 0 由此A|A|E O，即A (, , , ) O，這說明 , A*x0A A*3，1 2,3,4 0 rA又由于 r(A 3rA*1A*x 0的基礎(chǔ)解系中含有413個線性無關(guān)的解向量而 , , A*x0的解，所以 , , A*x0的基礎(chǔ)解系，故選二、填空題(914 小題，每小題 4 分，共 24 分請寫指定位置上】 2(9) lim2x1lnx ex0 2x ex0 2 【y exsinxy ed

9、x(ex cosxedxdx ex(cos xdx ex(sinx【y(0)0,故C=0yexsinx1y2dx 1tan2 xdxsec40所以ssecxdxln secxtan2) 401(12)】 】原式dx【001 xe 0dx 00 x lim 1 1 10 x ee7rcosrsinrdrrsin】原式22441sin 16sin4d 4sin sin d55222444447sin646】 【131f A7rcosrsinrdrrsin】原式22441sin 16sin4d 4sin sin d55222444447sin646】 【131f A1000E 14故10,2 1,3

10、 4 f x ,x ,x x 3x x 2xx 2xx 2x 2221 1 32x x 2x x2 3x2 x2 2x 2 2 2x 2x 22y1 x1 x2 令 y x f y2 2y2f 12 x 三、解答題(1523 小題，共 94 分請將解答寫指定位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)a【】如果時，x)ln( t2x l2ln(1)x ，故a0a當(dāng)時，又因為xln(1t2 ln(1 x2 1a 0 0所以3a 0a a【】如果時，x)ln( t2x l2ln(1)x ，故a0a當(dāng)時，又因為xln(1t2 ln(1 x2 1a 0 0所以3a 0a xln(1t2ln(1 x2

11、2 lim12又因為0 0 x a(aa(a1) x1所以3a2a 1，綜合得1a3 t21dt y (x 【td(t2 1 1 2t(t2 1)(t2 1)2t 1 t2 (x)dx t2 (t2y(t2 y(x0得t 當(dāng)t1x 5y 1y0y 1333當(dāng)t1x1y 1y0y1y(x0得t0 x y13當(dāng)t0 x1y0；當(dāng)t0 x1y033111 所以曲線的凸區(qū)間為 ，凹區(qū)間 ，拐點為( , ) 33 f xy,z 【z fxy, yg(x)y f xy, yg(x)122fxy, yg(x) y(xy, (xy, yg(x)x 1g(x) f2xy, yg(x) yg(x)f12xy,yg

12、(x)x f22xy, g(xx1可導(dǎo)，且為極值,g(1)2fxy, yg(x) y(xy, (xy, yg(x)x 1g(x) f2xy, yg(x) yg(x)f12xy,yg(x)x f22xy, g(xx1可導(dǎo)，且為極值,g(1)0d2 1x0y0y(0)1ytan【 y d arctany dy1 dp p3 y py p dxdp pdp dxln| p|1ln(p2 1) xc p2 1ce2x p2 121x 0p 1，代入得c2，所以 y，2e2x xxy(x y(0) 02e2t 02d 4etexx |x0220212又因為y(0) 0，所以y(x) e x24f xln

13、1x, x0,1【 nf (x在0,1 n1 f 0ln11ln1ln11 1 1,0,1fnnnn1 1所以 時n11 1 11 11 111 1 1 10 n1n111ln nnf (x在0,1 n1 f 0ln11ln1ln11 1 1,0,1fnnnn1 1所以 時n11 1 11 11 111 1 1 10 n1n111ln nnn111n1（II）設(shè)an lnnlnnnk1 先證數(shù)列an 單調(diào)遞減1 lnn 1 ln n 1 ln1kn1a ln nnn1nnkkk利用（I） 1 ln(11ln1 101a nnnn數(shù)列an 單調(diào)遞再證數(shù)列an 有下nk1 lnnln n1lnna

14、k nkkkn1nn3 klnn1 ln k1 kk2 a 1 lnnln 1nnk lnnln n1 lnn0nkkk得到數(shù)列an 有下界利用單調(diào)遞減數(shù)列且有下界得到收斂【12V V V 2y y dyy 2221212y3y3 19y =53 = + y23 3442(II)dwg(2y)(1y2)dyg(2y)(2y12w(2y)(1y )dy(2 y)(2y y 2221212【12V V V 2y y dyy 2221212y3y3 19y =53 = + y23 3442(II)dwg(2y)(1y2)dyg(2y)(2y12w(2y)(1y )dy(2 y)(2y y 22212

15、12(y 2y y2)dyy 4y 4323221211122221g2222y1 2 1212 27103 g 8】因為f(x,1)0，f(1,y)0，所以fx(x,1)01111I yfxy(x,ydfx(x, 0000(x, y)dy11f11xdx x,y 1x001111111fx(x, y)dy xf (x,dy xf(x,y)| f (x,x000000011dy f(1,y)f (x, f(x,y)dxdy a0D】(I)由于1,2,3 不能123 線性表示，對(123,1,2,3進行【434223412334a101011),1111231a1011031a102 240112334a101011),1111231a1011031a102 2401 故1,2,3123 (II(1,2,3, 1, 2, 進行初等行30111351111234( , , , , , )1101220101311112034 4220100012412051012142321223 51 102 231110 1,0,1T 0 ，設(shè) 1,0,T【121 1A1,21,2A1 1A2 2 ，而10,2 0，1 12 1，對應(yīng)的特征k11 k1 0k22 k2 0由于rA2A 0，所