1、2021-2022學(xué)年湖南省益陽市浪拔湖中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 已知R上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為(A). (B). (C). (D).參考答案：D2. 已知函數(shù)，（）那么下面命題中真命題的序號是 的最大值為 的最小值為 在上是減函數(shù) 在上是減函數(shù)A B C D參考答案：B3. 已知集合P=x|0，集合Q=x|x2+x20，則x是x的A.是充分條件但不是必要條件 B.是必要條件但是不充分條件 C.充要條件 D.既不是充分條件又不是必要條件參考答案：D4. 在的展開式中

2、，含項的系數(shù)為（ ）（A） ( B ) (C) (D) 參考答案：C 因為，所以項只能在展開式中，即為，系數(shù)為故選C5. 的外接圓圓心為,半徑為2，,且,方向上的投影為 （ ） A B C D參考答案：C由得，所以四邊形為平行四邊形。又，所以三角形為正三角形，因為外接圓的半徑為2，所以四邊形為邊長為2的菱形。所以，所以在的投影為，選C.6. 已知角的終邊經(jīng)過點，且，則的值為（ ）A.B. C.D.參考答案：A略7. 下列說法正確的是（）A命題“?x0R+，x02x00”的否定是“?xR，x2x0”B命題“若ab，則a2b2”的否命題是“若ab，則a2=b2”Cx11且x21的充要條件是x1+x

3、22Dp，q為兩個命題，若pq為真且pq為假，則p，q兩個命題中必有一個為真，一個為假參考答案：D【分析】A命題“?x0R+，x02x00”的否定是“?xR，x2x0”；B，命題“若ab，則a2b2”的否命題是“若a=b，則a2=b2”；C，當x1+x22時不能得到x11且x21；D，根據(jù)pq、pq的真值表可以判斷【解答】解：對于A命題“?x0R+，x02x00”的否定是“?xR+，x2x0”，故錯；對于B，命題“若ab，則a2b2”的否命題是“若a=b，則a2=b2”，故錯；對于C，當x1+x22時不能得到x11且x21，故錯；對于D，根據(jù)pq、pq的真值表可以判斷，D正確故選：D【點評】本

4、題考查了命題真假的判定，涉及到命題的否定，命題的四種形式、充要條件的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題8. 已知，i為虛數(shù)單位，且，則的值為（ ） A B-1 C2008+2008i D參考答案：B略9. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為（）ABCD3參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED平面BCDE，四棱錐ABCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，分別計算側(cè)面積，即可得出結(jié)論【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED平面BCDE，四棱錐ABCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，

5、則SAED=，SABC=SADE=，SACD=，故選：B10. = （ ） A B C D參考答案：C二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知，當時，參考答案：12. 設(shè)集合，則AB=參考答案：x|1x1略13. 設(shè)復(fù)數(shù)，若，則實數(shù)a的值為 參考答案：214. 若一個圓錐的母線與底面所成的角為，體積為125，則此圓錐的高為 參考答案：5【考點】L5：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）【分析】設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑為h，利用體積為125，建立方程，即可求出此圓錐的高【解答】解：設(shè)圓錐的高為h，則底面圓的半徑為h，體積為125，=125，h=5故答案為：5【點評】本題考查圓錐

6、體積的計算，考查方程思想，比較基礎(chǔ)15. 直線關(guān)于直線對稱的直線方程是 參考答案：x+2y-3=016. 某高校進行自主招生面試時的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對給10分、答錯倒扣5分（每道題都必須回答，但相互不影響）設(shè)某學(xué)生對每道題答對的概率都為，則該學(xué)生在面試時得分的期望值為 分參考答案：1517. 已知點，橢圓與直線交于點、，則的周長為_參考答案：8三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時間利用問題，某校從2014-2015學(xué)年高二年級100名學(xué)生（其中走讀生450名，住宿生550名）中，采用分層抽樣的方法抽取n

7、名學(xué)生進行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組0，30），30，60）60，90）90，120）120，150）150，180）180，210）210，240），得到頻率布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學(xué)生，完成下列22列聯(lián)表：利用時間充分利用時間不充分合計走讀生301545住校生451055合計7525100據(jù)此資料，你是否認為學(xué)生“利用時間是否充分”與走讀、住校有關(guān)？（3）若

8、在第組、第組共抽出2人調(diào)查影響有效利用時間的原因，求抽出的2人中第組第組各有1人的概率參考答案：考點：頻率分布直方圖；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）由分層抽樣及頻率分布直方圖的特點即可求得結(jié)果；（2）由分布直方圖可完成表格，再將數(shù)據(jù)帶入給定的公式即可；（3）先列出基本事件總數(shù)的情況，再挑出滿足條件的情況即可解答：解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，8），由圖可知：P1=，P2=，學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的頻率為P1+P2=，由題意：n=5n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，P4=1（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，第組的高

9、度為：h=，頻率分布直方圖如右圖（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“走讀生”有45人，利用時間不充分的有40人，從而22列聯(lián)表如下：利用時間充分 利用時間不充分 總計 走讀生30 15 45 住宿生45 10 55 總計75 25 100 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得 K2=3.030，因為3.0303.841，所以沒有理由認為學(xué)生“利用時間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)；（3）記第組2人為A1、A2，第組的3人為B1、B2、B2，則“從5人中抽取2人”所構(gòu)成的基本事件空間=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”

10、，共10個基本事件；記“抽取2人中第組、第組各有1人”記作事件A，則事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3共6個基本事件，P（A）=，即抽出的2人中第組第組各有1人的概率為點評：本題考查頻率分布直方圖及概率的計算，做題時要認真審題，弄清題意，屬基礎(chǔ)題19. 如圖，直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1=AC=CB=AB（）證明：BC1平面A1CD（）求二面角DA1CE的正弦值參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定【分析】（）通過證明BC1平行平面A1CD內(nèi)的直線DF，利用直線與平面平行的判定定理證明

11、BC1平面A1CD（）證明DE平面A1DC，作出二面角DA1CE的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可【解答】解：（）證明：連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點，又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1DF，因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1平面A1CD（）因為直棱柱ABCA1B1C1，所以AA1CD，由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CDAB，又AA1AB=A，于是，CD平面ABB1A1，設(shè)AB=2，則AA1=AC=CB=2，得ACB=90，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DEA1D，所以DE平面A1DC，又A1C=2，過D

12、作DFA1C于F，DFE為二面角DA1CE的平面角，在A1DC中，DF=，EF=，所以二面角DA1CE的正弦值sinDFE=20. 本小題滿分12分，（）小問5分，（）小問7分）已知橢圓的中心為原點，長軸在軸上，上頂點為，左、右焦點分別為，線段 的中點分別為，且是面積為4的直角三角形。（）求該橢圓的離心率和標準方程；（）過作直線交橢圓于，求的面積參考答案：（）+=1（）21. （13分）設(shè)函數(shù)f（x）=x2alnx（aR），g（x）=x2（a+1）x（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當a0時，討論函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的交點個數(shù)參考答案：【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【分析】（1）求

13、出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）令F（x）=f（x）g（x），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）的零點個數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)F（x）的零點個數(shù)即f（x），g（x）的交點即可【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+），f（x）=，當a0時，f（x）0，所以 f（x）的增區(qū)間是（0，+），無減區(qū)間；當a0時，f（x）=；當0 x時，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當x時，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增綜上，當a0時，函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，+），無減區(qū)間；當a0時，f（x）的增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）令F（x）=f（x）g（

14、x）=，問題等價于求函數(shù)F（x）的零點個數(shù)當a=0時，F(xiàn)（x）=+x，x0，F(xiàn)（x）有唯一零點；當a0時，F(xiàn)（x）=當a=1時，F(xiàn)（x）0，當且僅當x=1時取等號，所以F（x）為減函數(shù)注意到F（1）=0，F(xiàn)（4）=ln40，所以F（x）在（1，4）內(nèi)有唯一零點；當a1時，當0 x1，或xa時，F(xiàn)（x）0；1xa時，F(xiàn)（x）0所以F（x）在（0，1）和（a，+）上單調(diào)遞減，在（1，a）上單調(diào)遞增注意到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）內(nèi)有唯一零點；當0a1時，0 xa，或x1時，F(xiàn)（x）0；ax1時，F(xiàn)（x）0所以F（x）在（0，a）和（1，+）上單調(diào)遞減，在（a，1）上單調(diào)遞增注意

15、到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）內(nèi)有唯一零點綜上，F(xiàn)（x）有唯一零點，即函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個交點【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、零點問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題22. 某市高二年級學(xué)生進行數(shù)學(xué)競賽，競賽分為初賽和決賽，規(guī)定成績在110分及110分以上的學(xué)生進入決賽，110分以下的學(xué)生則被淘汰，現(xiàn)隨機抽取500名學(xué)生的初賽成績按30，50），50，70），70，90），90，110），110，130），130，150做成頻率副本直方圖，如圖所示：（假設(shè)成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）（1）求這500名學(xué)生中進入決賽的人數(shù)

16、，及進入決賽學(xué)生的平均分（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）用頻率估計概率，在全市進入決賽的學(xué)生中選取三人，其中成績在130，150的學(xué)生數(shù)為X，試寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望及方差參考答案：【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列【分析】（1）由題意和頻率分布直方圖列出方程，求出a，由此能求出這500名學(xué)生中進入決賽的人數(shù)，及進入決賽學(xué)生的平均分（2）成績在130分以上的學(xué)生數(shù)X是一個隨機變量，其可能取值為0，1，2，3，XB（3，），由此能求出X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差【解答】解：（1）由題意和頻率分布直方圖，得：4+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，解得a=0.0020，這500名學(xué)生中進入決賽的人數(shù)為：（0.0040+0.0020）50020=60，進入決賽學(xué)生的平均分為：400.005620+600.012820+800.014420+1