1、第3講 三角函數(shù)與解三角形 一、單選題1（2022全國(guó)高考真題（理）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，可判斷在雙曲線的右支，設(shè)，即可求出，在中由求出，再由正弦定理求出，最后根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得解；【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，所以，設(shè)，由，即，則，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C2（2022全國(guó)高考真題）若，則（）ABCD【答案】C

2、【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：C3（2022全國(guó)高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A1BCD3【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，所以.故選：A4（2022全國(guó)高考真題（理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組

3、，解得即可【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即故選：C5（2022全國(guó)高考真題（理）沈括的夢(mèng)溪筆談是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點(diǎn)，D在上，“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：當(dāng)時(shí)，（）ABCD【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.6（2022全國(guó)高考真題（理）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）ABCD【答案】A【

4、解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)時(shí)，所以，排除C.故選：A.7（2022全國(guó)高考真題（文）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對(duì)稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.8（2021全國(guó)高考真題（文）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A和B和2C和D和2【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小

5、正周期和最大值.【詳解】由題，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C9（2021全國(guó)高考真題（文）（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.10（2021全國(guó)高考真題（理）把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（）ABCD【答案】B【解析】【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐

6、標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.11（2021全國(guó)高考真題（理）魏晉時(shí)劉徽撰寫的海島算經(jīng)是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高如圖，點(diǎn)，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A表高B表高C表距D表距【答案】A【解

7、析】【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出【詳解】如圖所示：由平面相似可知，而 ，所以，而 ，即 故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出12（2021全國(guó)高考真題（文）在中，已知，則（）A1BCD3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形13（2021全國(guó)高考

8、真題（文）若，則（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，解得，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出.14（2021全國(guó)高考真題（理）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A346B

9、373C446D473【答案】B【解析】【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以所以因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以故選：B【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為15（2021全國(guó)高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，CD選項(xiàng)均

10、不滿足條件.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)16（2021全國(guó)高考真題）若，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論二、多選題17（2022全國(guó)高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A在區(qū)間單調(diào)遞減B在區(qū)間有兩個(gè)極

11、值點(diǎn)C直線是曲線的對(duì)稱軸D直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出【詳解】由題意得：，所以，即，又，所以時(shí)，故對(duì)A，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即故選：AD18（2021全國(guó)高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，則（）ABCD【答案】AC【解析】【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)

12、，即可判斷正誤.【詳解】A：，所以，故，正確；B：，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，正確；D：由題意得：，故一般來說故錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題19（2022全國(guó)高考真題（理）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解： 因?yàn)椋?，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)；故答案為：20（2022全國(guó)高考真題（理）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，當(dāng)取得最小值時(shí)，_【答案】#【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【

13、詳解】設(shè)，則在中，在中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.21（2021全國(guó)高考真題（文）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_.【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當(dāng)時(shí)，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點(diǎn)睛】已知f(x)Acos(x)(A0，0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令x00(或x0)，即可求出.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解

14、析式，再結(jié)合圖形解出和，若對(duì)A，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.22（2021全國(guó)高考真題（理）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為_【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以.因?yàn)?，；所以由可得或；因?yàn)?，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題

15、求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點(diǎn)求解.23（2021全國(guó)高考真題（理）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.四、解答題24（2022全國(guó)高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知(1)求的面積；(2)若，求b【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，

16、整理得，則，又，則，則；(2)由正弦定理得：，則，則，.25（2022全國(guó)高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出(1)因?yàn)椋?，而，所以?2)由（1）知，所以，而，所以，即有所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為26（2022全國(guó)高考真題（文）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】【分析】

17、（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出； （2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出(1)由，可得，而，所以，即有，而，顯然，所以，而，所以(2)由可得，再由正弦定理可得，然后根據(jù)余弦定理可知，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立27（2022全國(guó)高考真題（理）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)【答案】(1)見解析(2)14【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.(1)證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以?2)解：因?yàn)?，由?/p>

18、1）得，由余弦定理可得， 則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.28（2021全國(guó)高考真題）在中，角、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、，.（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則，故，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，故.29（2021全國(guó)高考真題）記是內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即又因?yàn)椋裕?）方法一【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，在中，由得，整理得又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）當(dāng)時(shí)，所以方法二：等面積法和三