1、第十一章 曲線積分與曲面積分11-1 對(duì)弧長的曲線積分定義：設(shè) L 為 面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù) 上有界，在 上任意插入一點(diǎn)列 把 L分成 n 個(gè)小段，設(shè)第 個(gè)小段的長度為 為第 個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)， 第十一章 曲線積分與曲面積分11-1 對(duì)弧長的曲線作乘積 并作和 如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值 時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在曲線弧上 L 上對(duì)弧長的曲線積分或第一類曲線積分， 其中 叫做被積函數(shù)，L 叫做積分弧段。作乘積 例1計(jì)算 ，其中L為圓周 ，直線 及軸在第二象限內(nèi)所圍成的扇形整個(gè)邊界。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例2計(jì)算 ，其中 為折線 ，這里依次為點(diǎn)例2計(jì)算

2、 ，其中 例計(jì)算 ，其中L為曲線 。例計(jì)算 例4計(jì)算 ，其中L為折線 所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界 例4計(jì)算 例5計(jì)算半徑為R，中心角為 的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（設(shè)線密度 ）。例5計(jì)算半徑為R，中心角為11-2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義：設(shè) L 為 面內(nèi)從點(diǎn) A 到點(diǎn) B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù) 上有界，在 L 上沿 L的方向任意插入一點(diǎn)列把 L 分成 n 個(gè)有向小弧線段11-2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義：設(shè) L 為 設(shè) 為 上任意取定點(diǎn)，如果當(dāng)各小弧段長度的最大值 時(shí)，的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo) 的曲線積分，記作 ，類似地，如果 總存在，則稱此極限為函數(shù) 在

3、有向曲線弧L 上對(duì)坐標(biāo) 的曲線積分，設(shè) 記作其中 叫做被積函數(shù)，L 叫做積分弧段。以上兩個(gè)積分也稱為第二類曲線積分。記作(一)定理：設(shè) 在有向曲線弧 L 上有定義且連續(xù)，L 的參數(shù)方程為 ，當(dāng)參數(shù) 單調(diào)地由變到 時(shí)，點(diǎn) 從 L 的起點(diǎn) A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) B，(一)定理：設(shè) 在以 為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 則曲線積分 存在，且 在以 為端例1計(jì)算 ，其中 L 為拋物線 上從點(diǎn) 到點(diǎn) 的一段弧。例1計(jì)算 ，其中 L 為拋例2計(jì)算 ，其中L為（1）半徑為 ，圓心為原點(diǎn)，按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周。（2）從點(diǎn) 沿 軸到點(diǎn) 的直線段。例2計(jì)算 ，其中L為例3計(jì)算 ，其中 L為（1）拋物線 上從

4、 的一段弧。（2）拋物線 上從 的一段弧。（3）有向折線 ,這里O,A,B依次是 點(diǎn)（0，0），（1，0），（1，1）.例3計(jì)算 例4計(jì)算 其中 為橢圓若從 軸正向看去， 的方向是順時(shí)針的。例4計(jì)算例5設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在 處受到力F的作用，F(xiàn)的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比，F(xiàn)的方向恒指向原點(diǎn)，此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn) 沿橢圓 按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn) ，求力F所做的功W。例5設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在 處受到例6將對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長的曲線積分，其中L為沿拋物線 從點(diǎn) 到點(diǎn) 。例6將對(duì)坐標(biāo)的曲線積分11-3 格林公式及其應(yīng)用例1求橢圓所圍成圖形的面積。11-3 格林公式及其應(yīng)用例1求橢圓例2設(shè) L 是任意一條分段光滑的閉曲線

5、，證明：例2設(shè) L 是任意一條分段光滑例3計(jì)算 ，其中D是為頂點(diǎn)三角形閉區(qū)域。例3計(jì)算 例4計(jì)算 ，其中 L為一條無重點(diǎn)分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線，L 的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。例4計(jì)算 例5計(jì)算其中 L 是曲線及 所圍成的區(qū)域的邊界，按逆時(shí)針方向。例5計(jì)算例6計(jì)算 ，其中L是以為頂點(diǎn)的三角形正向邊界曲線。例6計(jì)算 例7計(jì)算 ，其中 L 為（1）圓周 的正向。（2）正方形邊界 的正向。例7計(jì)算 例8計(jì)算其中L為曲線 按 增大的方向。例8計(jì)算定理2 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù) 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是 在G內(nèi)恒成立

6、。定理2 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù)例9計(jì)算曲線積分 其中L是以點(diǎn) 為中心，R為半徑的圓周 取逆時(shí)針方向。例9計(jì)算曲線積分定理3 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù) 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在G內(nèi)為某一函數(shù) 的全微分的充分必要條件是 在G內(nèi)恒成立。定理3 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù)推論 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù) 在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必要條件是：在G 內(nèi)存在函數(shù) ， 使推論 設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù)例10驗(yàn)證 在右半平面 內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。例10驗(yàn)證 在右半平例11驗(yàn)證：在整個(gè) 面內(nèi)， 是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的

7、函數(shù)。例11驗(yàn)證：在整個(gè) 面例12驗(yàn)證：在整個(gè) 面內(nèi)，是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。例12驗(yàn)證：在整個(gè) 面內(nèi)，例13求解方程例13求解方程11-4 對(duì)面積的曲面積分定義 設(shè)曲面 是光滑的，函數(shù) 在 上有界，把 任意分成 小塊 （ 同時(shí)也代表第 小塊曲面的面積），設(shè) 是 上任意取定的一點(diǎn)，作乘積 11-4 對(duì)面積的曲面積分定義 設(shè)曲面 是光并作和 ，如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值 時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) 在曲面 上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面積分，記作 即其中 叫做被積函數(shù)， 叫做積分曲面。并作和 例1計(jì)算曲面積分 ，其中 是球面 被平面 截出的頂部。例1計(jì)算曲面積分

8、 ，其中例2計(jì)算曲面積分 其中 是介于之間的圓柱面 。例2計(jì)算曲面積分 例3計(jì)算 ，其中 是由平面 及 所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面。例3計(jì)算 ，其中 是例4計(jì)算 ，其中 是圓錐面 被柱面 所截的部分。例4計(jì)算 例5設(shè) 為橢球面 的上半部分,點(diǎn) （為 在點(diǎn)P處的切平面） 為點(diǎn) 到平面的距離，求例5設(shè) 為橢球面 11-5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義 設(shè) 為光滑的有向曲面，函數(shù) 在 上有界，把 任意分成 塊小曲面 （ 同時(shí)又表示第 塊小曲面的面積）， 在 面上的投影為 上任意取定的一點(diǎn)，如果當(dāng)個(gè)小塊曲面的直徑的最大值 時(shí)，11-5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義 設(shè) 為光滑的有向總存在，則稱此極限為函數(shù) 在有向曲

9、面 上對(duì)坐標(biāo) 的曲面積分，記作 即其中 叫做被積函數(shù)， 叫做積分曲面。總存在，則稱此極限為函數(shù) 類似地可以定義函數(shù) 在有向曲面 上對(duì)坐標(biāo) 的曲面積分 及函數(shù) 在有向曲面 上對(duì)坐標(biāo) 的曲面積分 分別為 類似地可以定義函數(shù) 以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面積分。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例1計(jì)算曲面積分 其中 是長方體 的整個(gè)表面的外側(cè)，例1計(jì)算曲面積分 例2計(jì)算曲面積分其中 是球面 外側(cè)在 的部分。例2計(jì)算曲面積分例3計(jì)算 ，其中 為錐面 及平面 所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。例3計(jì)算 例4計(jì)算曲面積分其中 是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面 之間的部分的下側(cè)。例4計(jì)算曲面積分例5計(jì)算其中

10、是平面在第一卦限部分的上側(cè)。例5計(jì)算11-6 高斯公式 通量與散度一、高斯公式（一）定理1 設(shè)空間閉區(qū)域 是由分布光滑的閉曲面 所圍成，函數(shù) 在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有11-6 高斯公式 通量與散度一、高斯公式 這里 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)， 處的法向量的方向余弦，上面公式叫做高斯公式。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例1利用高斯公式計(jì)算曲面積分其中 為柱面 及平面 所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。例1利用高斯公式計(jì)算曲面積分例2利用高斯公式計(jì)算曲面積分 其中 為錐面 介于平面 之間的部分的下側(cè)， 在點(diǎn) 處的法向量的方向余弦。例2利用高斯公式計(jì)算曲面積分例3計(jì)算曲面積分其中 為上

11、半球面的上側(cè)。例3計(jì)算曲面積分例4設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)域 上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：其中 是閉區(qū)域 的整個(gè)邊界曲面 為函數(shù) 沿 的外法線方向的方向?qū)?shù)，符號(hào) 稱為拉普拉斯算子，這個(gè)公式叫做格林第一公式。例4設(shè)函數(shù) 二、通量與散度（一）通量定義 設(shè)某向量場(chǎng)由給出，其中 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 是場(chǎng)內(nèi)的一片有向曲面， 處的單位法向量，則二、通量與散度叫做向量場(chǎng) A 通過曲面 向著指定側(cè)的通量（或流量）第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例5求向量場(chǎng) 穿過曲面 流向上側(cè)的通量，其中 為柱面 ，被平面 截下的有限部分。例5求向量場(chǎng) 11-7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式（一）定理：設(shè) 為

12、分段光滑的空間有向閉曲線， 是以 為邊界的分片光滑的有向曲面， 的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù) 在曲面 （連同邊界 ）上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有11-7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式上面公式叫做斯托克斯公式。第十一章曲線積分與曲面積分例題課件-例1利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分 其中 為平面 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界，它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則。例1利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分例2利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分其中 是用平面 截立方體 的表面所得的截痕，若從 軸的正向看去取逆時(shí)針方向。例2利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分二、環(huán)流量與旋度（一）環(huán)流量設(shè)有向量場(chǎng) 其中函數(shù) 均連續(xù)， 的定義域內(nèi)的一條分段光滑的有向閉曲線, 處的單位切向量，二、環(huán)流量與旋度則積分稱為向量場(chǎng) A 沿有向閉曲線