1、PAGE6二分法的應用函數(shù)與方程的思想貫穿了高中數(shù)學的始終，而且函數(shù)與方程緊密聯(lián)系，函數(shù)的零點就是相應方程的實數(shù)根，研究二分法求方程的近似解問題，首先是通過估算，數(shù)形結合借助計算器、計算機等手段來確定一個零點所在的大致區(qū)間。本文通過幾個具體例子來看看二分法有何應用。一、求方程的近似解=2在區(qū)間1,2內有唯一一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解（精確到證明:設函數(shù)使f=23-6fl=-10,又f是增函數(shù)，所以函數(shù)f=23-6在區(qū)間1,2有唯一的零點，則方程6-3=2在區(qū)間1,2有唯一一個實數(shù)解設該解為0，則01,2，取1=，f=0，F(xiàn)1f0，01,取2，f0，f1f0，01,取3，f0，ff0，0,取4

2、,f0，ff0，0,1,25|，可取0，則方程的實數(shù)解為0=點評：用二分法求方程實數(shù)解的思想是非常簡明的、但是為了提高解的精確度，用二分法求方程實數(shù)解的過程又是較長的，有些計算不用計算工具甚至無法實施，所以需要借助科學計算器二、判斷方程解的個數(shù)在其定義域上是單調函數(shù)，證明f至多有一個零點分析:不妨設f在R上是增函數(shù)，為證明f=0至多有一個實根，考慮用反證法證明證明:假設f=0至少有兩個不同的實根1,2，且不妨設12，由題意得f1O,f2=0,f1f2f在定義域上是單調菌數(shù)，不妨設為增函數(shù)，由12，則f1f2例3題圖1-2-10例3題圖1-2-10y三、求一定條件下的函數(shù)的零點=32-2-2的一

3、個為正數(shù)的零點（精確到）分析：用二分法，要注意到初始區(qū)間的選取。解：由于f1=-20,可取區(qū)間1,2作為計算的初始區(qū)間。用二分法逐次計算，列表如下：端點（中點）坐標計算中點的函數(shù)值取區(qū)間f1=-201,21=12/2=f1=01,X2=1/2=f2=0,X3=/2=f3=0,X5=/2=f5=0由上表的計算可知，區(qū)間,的長度小于，所以這個區(qū)間的中點5=32-2-2的圖象如圖實際上還可用二分法繼續(xù)算下去，進而得到這個零點精確度更高的近似值點評：給定精確度，用二分法求函數(shù)f零點的近似值應該按課本P73的三個步驟進行四、確定函數(shù)零點的個數(shù)例4二次函數(shù)y=a2bc中,ac0，則函數(shù)零點個數(shù)為分析:c=

4、f0,ac=af00,a與f0異號即或函數(shù)必有兩零點或ac0b2-4ac0,函數(shù)有兩個零點答案:2點評：用二分法求方程近似解，關鍵是判斷近似解所在的區(qū)間（a,b），用二分法選定初始區(qū)間時，往往通過分析函數(shù)圖象的變化趨勢，并通過試驗確定端點。五、求一些無理數(shù)的值二分法不僅僅用于求函數(shù)零點或方程的根，它還有很多應用，例如求一些無理數(shù)的值，解決實際問題等例5求的近似值（精確到分析：若設=，則3-2=0，因此的近似值就是方程3-2=0的根的近似值，也就是函數(shù)y=3-2的近似零點解：設=，則3-2=0,令f=3-2,則函數(shù)f的零點的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零點的近似值由于f1=-10,故可以

5、取區(qū)間1,2為計算的初始區(qū)間用二分法逐步計算，列表如下：區(qū)間，的長度，所以這個區(qū)間的兩個端點的近似值都可以作為函數(shù)f零點的近似值是,即的近似值是六、解決實際應用問題二分法不僅僅用于求函數(shù)零點或方程的根，它在現(xiàn)實生活中也有許多重要的應用例5在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條10 km長的線路，如何迅速查出故障所在如果沿著線路一閘門（待查）指揮部一小段一小段查找，困難很多每查一個點要爬一次電線桿子，10 km長，大約有200多根電線桿子呢想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理如圖，他首先從中點C查用隨身帶的話機向兩端測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，算一算，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50100 m左右，即一兩根電線桿附近，要查多少次解:用簡便易行的方法最多測試7次就能找到故障，方法是：10km線路共有200根電桿第一次測試第100根，第二次測試有故障的一側中的第50根，第三次再測有故障的一側中的第25根，去掉一根，（有可能故障在這里）再側有故障的一段中的第12根，第五次測有故障一段中的第6根，第六次側試有故障段中的第三根第七次側故障段