高數(shù)習(xí)軸題解專

圓“線問【方法撥】1.涉及從圓外一點(diǎn)向圓引兩條切的相關(guān)線段長計(jì)算問題據(jù)對(duì)稱性,常將雙切線問題轉(zhuǎn)化為一條切線問題，抓住“特征直角三角形切點(diǎn)、圓心、圓外點(diǎn)為頂)，向點(diǎn)與圓心的距離問題轉(zhuǎn).2.圓上存在一點(diǎn)圓心與圓外一或圓上存在兩點(diǎn)與圓外一點(diǎn)張有最大值張最大時(shí)，直線與圓相切，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓心的距離問【典型示例】例（2020·新標(biāo)理11已知

2

2

y0

線

l

y

，為

l

上的動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)⊙的切線,PB切為,當(dāng)|PM

最小時(shí)直的方程為（）C.

2x2x

22x【答案D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四A,B,

共圓，且MP根據(jù)

PM

△PAM

可知，當(dāng)直線

MPl

時(shí)，

PM

最小，求出以MP為徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線的程．【解析的方程可化為l的離為l所以直線與圓相離．,PB,依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且MP，以

2

5

，/7

11212y1211212y12PM2

PAM

AM2PA

，而PA

MP，當(dāng)直線

MP

時(shí)，

MP

min

，

PA

min

此時(shí)PM最小．∴

111xMP:yx即x，由2xy

解得，．y所以以MP為徑的圓的方程為

，即

x

2y2

y0

，兩圓的方程相減可得：

y

，即為直線的程．例2在面直角坐標(biāo)系中已知直線l:=+6存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓:22=4的線，切點(diǎn)分別為Ax，，(，)且xx=，則實(shí)數(shù)k的值范圍【案(－∞，－

5]∪[，＋∞)22

642

BA

C

51015246【析由x+y=2的構(gòu)聯(lián)想“數(shù)量積”的定義兩次”得∠=1208

，雙切線問題利用對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化為特征直角△PAC易得，，故當(dāng)直線l:=+6上點(diǎn)P只滿足PC=4即滿足題.而點(diǎn)C與直線上點(diǎn)間的距離以垂線段最短，故只C到線的距離不大于/7

112112【析由x+yy=－得：xx=OAOB22

，則

AOB

2

，在△PACAPC，PC，當(dāng)直線l

上的點(diǎn)滿足PC即滿足題又因?yàn)辄c(diǎn)與線上點(diǎn)間的距離，以垂線段最短，故只需到線距不大于由點(diǎn)到直線的距離公式得：

61

，解之得

k

5k2所以k的值范圍(－∞－

55]∪[，＋∞).22例3過

(

作圓:(x

2

2

t

的切線,切分別為AB,則PA的最小值為_________.【答案】

【分析】為了求出PA

的最小值，需建立目標(biāo)函數(shù)，這里選擇使用數(shù)量積的定義作為突破口，選擇線段PC長為“元”設(shè)∠APC

2，cos2

2

，故PAcos

2

2)2PC2又點(diǎn)(tt

在直線

y，故PC2即

所以PA

/7

211221211221故PA

的最小值為

.點(diǎn)評(píng)）最值問題要牢固樹立建立目標(biāo)函數(shù)的意識(shí)；（2涉從圓外一點(diǎn)向圓引兩切線的相關(guān)線段長計(jì)算問題將雙切線問題轉(zhuǎn)化為一條切線問題，抓住“特征直角三角形點(diǎn)圓心的距離問題轉(zhuǎn).例4

已知圓Ox2＋y2＝1圓M(x＋＋＋(－a)21(a為數(shù))若與M上別存在點(diǎn)PQ使得＝30的值范圍為．【答案】[－，0]【分析】雙動(dòng)點(diǎn)問題先轉(zhuǎn)化為一點(diǎn)固定不動(dòng)，另一點(diǎn).這里，先將Q固定不動(dòng)，則點(diǎn)在運(yùn)時(shí)，當(dāng)為圓O的線時(shí)，最，故滿足題意，需OQP

角范圍轉(zhuǎn)化為OQ間距離問，即需≤再定P不，易得只需OM≤3即，利用兩點(diǎn)間距離公式(＋3)＋(2)≤，解得5≤a≤點(diǎn)評(píng)：圓上存在一點(diǎn)（或兩點(diǎn)）與圓外一點(diǎn)的張角問題，張角最大時(shí)，直線與圓相切，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓心的距離問.例5

平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P在x軸，從點(diǎn)P向：＋－25引切線，切線長為，點(diǎn)P向C：x－5)＋(＋＝7引切線，切長為d，d＋的小值為_____．【答案】5【分析】求切線長問題再利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問./7

12112121211211212121【解析】設(shè)點(diǎn)P(，，則＝

＋(－3)

－5，＝(－5)＋4－7d＋＝x＋4(x－5)2

＋，幾何意義：點(diǎn)P(x，0)到點(diǎn)M，2)，N(5，3)距離和．當(dāng)，，N三共時(shí)d＋d有最小值5，此時(shí)P，0).【鞏固練】在平面角坐標(biāo)系xOy中已知圓C：x＋(y－2，是x軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)AP，別切圓于，Q兩，則線段的的取值圍_．已知圓M－＋(y－

＝4直線l＋－＝0，A為線l一點(diǎn)．若圓M存在兩點(diǎn)BC，得BAC°，則點(diǎn)橫標(biāo)的取值范圍是．3.已知橢圓：

x2（＞b0與圓C：xb2

b

，若在橢圓C上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是4.在平面直角坐標(biāo)系中已知圓:x2

+=r2r＞0)與圓:(x－2+(－2=4，圓上意一點(diǎn)作C的線，切點(diǎn)分別為A，，

PAPB

，則實(shí)數(shù)r的值范圍為.在平面直角坐標(biāo)中已知圓C

x3)

2

16

，若對(duì)于直線x

上的任意一點(diǎn)，圓C上總存在Q使＝

，則實(shí)數(shù)m的取值范為．6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知圓Ox＋y＝1直線l：x＋ay－3＝0(a>0)過直線l上點(diǎn)→→作圓O的條切線，切點(diǎn)分別為，若MPN，則正實(shí)數(shù)a取值范圍是．7.過線l：y＝x－上任意一點(diǎn)圓C：2y21的條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)切線最短時(shí)，△的面積．已圓－2(－4)

＝10存在兩點(diǎn)BP為線＝5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿AP⊥BP，/7

OP12OP12那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍________．【答案與提示】【答案[2)【提示】直線與圓相切時(shí)，利用所得到的直角三角形，向點(diǎn)與圓心的距離問題轉(zhuǎn)案】，5]【提示】∠最大時(shí)，直線與圓相，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓心的距離問.【答案(0,)【分析】如圖，設(shè)過點(diǎn)P的條線與圓C分切于點(diǎn)2

，由兩條切線相互垂直，可知b6，題知，得3【解析】

，又e即可得出結(jié).如圖，設(shè)過點(diǎn)兩條直線與圓C分別切于點(diǎn)M，兩條切線相互垂直，2可知OP=b，又因?yàn)樵跈E圓上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P作的圓C的兩條切線互相垂直，所以O(shè)P，得

，以a3

，/7

21PO121PO1c所以橢圓的離心率e1

6

，又

e

3，所以0.3【答案【答案

,【答案[2，+∞]【解析