高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題集錦略。也就是在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，沒(méi)有注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文通過(guò)幾個(gè)例子，剖析致錯(cuò)原因，希望能對(duì)讀者的學(xué)習(xí)有所幫助，加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練。忽視等價(jià)性變形，導(dǎo)致錯(cuò)誤。，但與不等價(jià)。【例】已知a，若的范圍。3f3f(2)f求3ab0①錯(cuò)誤解法由條件得b②26a15②×2－①③2①×2－②得④3333b+得③④33x錯(cuò)誤分析f(x)ba和b制約的。當(dāng)取最大（?。┲禃r(shí)，不一定取最大（?。┲担蚨麄€(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。ab正確解法由題意有2b5faf(2)f.把和ff(2)的范圍代入得f.39933基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。●忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤?！纠拷庀铝懈黝}(1)設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則(的最小值是、x22kxk60思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：222k,k6,有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和，這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如4果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。原方程有兩個(gè)實(shí)根、k2∴4k4(k6)0或k3.2當(dāng)時(shí)，(的最小值是8；k322當(dāng)時(shí)，(的最小值是18k222這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。(2)已知(x+2)+=1,求x+y的取值范圍。22283錯(cuò)解由已知得y－4x－16x－12，因此x+y－3x－16x－12=－3(x+)+2222223∴當(dāng)－時(shí)，x+y有最大值，即x+y的取值范圍是－∞,]。2222分析沒(méi)有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。事實(shí)上，由于(x+2)+=1(x+2)=1－≤1≤≤－1，22從而當(dāng)－1時(shí)x+y有最小值122∴x+y的取值范圍是[1,]。22注意有界性：偶次方x≥，三角函數(shù)－≤sinx≤，指數(shù)函數(shù)a>0，圓錐曲線有界性等。2x●忽視不等式中等號(hào)成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤?！纠恳阎篴>0,b>0,a+b=1,求(a+)+(b+)的最小值。22112111錯(cuò)解(a+)+(b+)=a+b+++4≥2ab++4≥4?+4=8,∴(a+)+(b+)的最小222222ababab22值是8.分析上面的解答中，兩次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二12221次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。1111112原式=a+b+++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)－2ab]+[(+)－]+42222222221=(1－2ab)(1+)+4，11111由ab≤()=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，221422a2b2a2b21∴原式≥×17+4=當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立，22211∴(a+)+(b+)的最小值是。22ab●不進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致錯(cuò)誤【例】已知數(shù)列a的前項(xiàng)和，求a.nS21nnnn錯(cuò)誤解法SS(2(2222.ann1nn1n1nnn1n1錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)時(shí)，aS321。111錯(cuò)誤原因：沒(méi)有注意公式aSS成立的條件是。nnn1S(n1S(nnN)n1因此在運(yùn)用aSS時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：a。nnn1nn●以偏概全，導(dǎo)致錯(cuò)誤出思維的不嚴(yán)密性。【例】(1)設(shè)等比數(shù)列a的全項(xiàng)和為S.若SS2S，求數(shù)列的公比.nqnn369aq)aq)aq9)36錯(cuò)誤解法SS2S,2，1111q1q1q36943由q0得方程2qq10.(2qq或q1。6333236錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由1111qa0q1整理得q(2qq）＝0時(shí)，應(yīng)有和。3631a0在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情q11況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。q1a0正確解法若，則有S3a,S6a,S9a.但，即得SS2S,與題設(shè)矛盾，故3161911369q1.36又依題意SSq(2qq）＝0,即11136336943(2qq因?yàn)閝q11，所以所以q.33332說(shuō)明此題為199621）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。(2)求過(guò)點(diǎn)(的直線，使它與拋物線y2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。2錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)(的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為ykx1ykx1，消去得(kx2x0.整理得kx(2k2)x10.y222y2x21所求直線為1直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得xk.y22錯(cuò)誤分析此處解法共有三處錯(cuò)誤：第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒(méi)有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線k0ykx1的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。系數(shù)不能為零，即而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。k0,正確解法①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)x，所以即y(x軸，它正好與拋物線y2x相切。2②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=1平行軸，它正好與拋物線y2x只有一個(gè)交點(diǎn)。x2③一般地，設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)(的直線為ykx1(k0)kx2(2k2)x10.令解得k=,∴y22x1.綜上，滿足條件的直線為：yxy2《章節(jié)易錯(cuò)訓(xùn)練題》1、已知集合直線}，圓，則∩N中元素個(gè)數(shù)是集合元素的確定性)(A)0(B)0或1(C)0或2(D)0或1或22、已知A=，若A∩R=，則實(shí)數(shù)t集合T=___。空集)tt23、如果kx+2kx－(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是等號(hào))2(A)－1≤k≤0(B)－1≤k<0(C)－1<k≤0(D)－1<k<04、命題等號(hào))＜0，若A是B的充分不必要條件，則的取值范圍是a(4,)4,,4（A）（B）（）（）5、若不等式x－log<0在(0,)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是等號(hào))2xaa(A)[,1)(B)(1,+)(C)(,1)(D)(,1)∪(1,2)6、若不等式－1)a<2+對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是等號(hào))na(A)[－2，)－2，)－3，)－3，)7、已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足：f(1)1；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；對(duì)于任意Rf(x)的實(shí)數(shù)、都有y。證明：f(x)為奇函數(shù)。特殊與一般關(guān)系)f(xy)f(x)f(y)x8、已知函數(shù)f(x)=，則函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間是_____。遞減區(qū)間－，－和－，)（單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間）9、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________。－，－1）（定義域）10、已知函數(shù)fx，fx的反函數(shù)fx)=。－1（漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域）11、函數(shù)fxlogxax+2)值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是正確使用△≥0和△<0)2－2,2)(B)[－2,2]－,－2)∪(2,+)－,－2]∪[2,+)12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y的最小值為隱含條件)2（A）2（B）（）（D）0x24x3x2x62213、函數(shù)y=的值域是________。－∞,∪(,1)∪(1,+∞（定義域）5514、函數(shù)sinx(1+tantan的最小正周期是（定義域）(A)(B)(C)2(D)3x15、已知fx是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，fx)=2，則flog對(duì)數(shù)運(yùn)算)(A)(B)－－x116、已知函數(shù)f(x)axbx3x在處取得極值。32（1）討論和是函數(shù)ff(的極大值還是極小值；f(x)（2）過(guò)點(diǎn)(0,16)作曲線yf(x)的切線，求此切線方程。(2004天津)（求極值或最值推理判斷不充分建議列表；求過(guò)點(diǎn)切線方程，不判斷點(diǎn)是否在曲線上。）17、已知tan－,5)則tan；。,2)、,3)（化齊次式）18、若sinsin－2sin=0，則coscos__隱含條件)222219、已知+cos，(0，則=_______隱含條件)20、在△ABC中，用、b、c和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對(duì)的角，若a=2、b2A466621、已知a>0,b>0,a，則a+)+(b+)的最小值是_______三相等)2222、已知≠k，函數(shù)y=sinx+的最小值是______5（三相等）22823、求y2228288錯(cuò)解1ysinxcosx|sinxcosx|2222錯(cuò)解228錯(cuò)誤分析在解法1中，的充要條件是y16xx且|2x|221即|x|且這是自相矛盾的。y16.|x|min2在解法2中，的充要條件是y16228且，即x，x22,這是不可能的。2222x2x2正確解法1y2cscx8secx22其中，當(dāng)cotx4tanx，即cotx時(shí)，y18.y18.222min正確解法2取正常數(shù)，易得k其中“”取“＝”的充要條件是1因此，當(dāng)2xy62kky18.2min24、已知a=1，a=a+2(n≥2)，則a=________。2－1(認(rèn)清項(xiàng)數(shù))n1－n1nn1－n25、已知－9、aa、－1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，－9、b、b、b、－1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，12123則ba－a)=符號(hào))221(A)－8(B)8－(D)26、已知{a是等比數(shù)列，S是其前n項(xiàng)和，判斷S，S－SS－S成等比數(shù)列嗎？nnk2kk3k2k當(dāng)－，k為偶數(shù)時(shí)，S=0，則S，S－S，S－S不成等比數(shù)列；kk2kk3k2k當(dāng)q≠－1或－1且k為奇數(shù)時(shí)，則S，S－S，S－S成等比數(shù)列。（忽視公比－）k2kk3k2k27、已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列a}滿足下列條件：n┄a為常數(shù)，f(a)f(a)=k(aa)(n=2,3,)aa,af(a)(n),aa，－nn1n21k為非零常數(shù)。（1）令baa，證明數(shù)列b}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列a}的通nnnn項(xiàng)公式；（3）當(dāng)時(shí)，求|k|1nn（等比數(shù)列中的0和，正確分類討論）28、不等式m－(m3m)<(m－4m+3)+10成立的實(shí)數(shù)m________隱含條222件)29、i是虛數(shù)單位，的虛部為（）概念不清)(A)－1(B)－i－3－3i30、實(shí)數(shù)，使方程x(mi)x12mi0至少有一個(gè)實(shí)根。m2錯(cuò)誤解法方程至少有一個(gè)實(shí)根，(m4i))m200m25,m22錯(cuò)誤分析而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。正確解法設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則aa2ma10am由于、都是實(shí)數(shù)，m,解得4a2m031、和a=(3,－4)平行的單位向量是_________；和a=(3,－4)垂直的單位向量是_________。，－或－，；，或－，－漏解)32、將函數(shù)－8的圖象L按向量a平移到La=(h，4h+8)(其中h漏解)，L的函數(shù)表達(dá)式為，則向量a=______。//33、已知||＝1，||＝，若//，求·。ab2abab①若，共向，則·＝||?||＝，ababab2②若，異向，則·＝－||?||＝－。漏解)ababab234A－BCD中，EF是ABBC的中點(diǎn)，EF⊥DEBC=aA－BCD的體積為____________。,24)a隱含條件)335、在直二面角－的棱AB上取一點(diǎn)P，過(guò)P分別在、兩個(gè)平面內(nèi)作與棱成45°的斜線PC、PD，那么∠CPD的大小為漏解)(A)45(B)60(C)120(D)60或12036、如圖，在四棱錐—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。（1）證明PA//平面；（2）證明PB⊥平面；（3）求二面角——D的大小。(2004)條件不充分漏平面EDB，DE平面，DE∩EF=E等；運(yùn)算錯(cuò)誤，銳角鈍角不分。)37y=1表示橢圓，則m的范圍是_______。，∪(1，漏解)238y=1的離心率為，則m的值為____。4或漏解)239、橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)FF組成的三角形12的周長(zhǎng)為4+2且∠FBF，則橢圓的方程是。y=1或x漏解)2212c040、橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為22，相應(yīng)于焦點(diǎn)（c0）的準(zhǔn)線與x軸相l(xiāng)交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若OPOQ0，求直線PQ的方程；（3）設(shè)APAQ（），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明lFMFQ。(2004天津)設(shè)方程時(shí)漏條件a，誤認(rèn)短軸是；要分析直線PQ斜率是否存在有時(shí)也可以設(shè)為x=ky+b)先；對(duì)一元二次方程要先看二次項(xiàng)系數(shù)為0否，再考慮△，后韋達(dá)定理。)x441、已知雙曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn)e2,離心率,求雙曲線方程。F錯(cuò)解xacabca60.故所求的雙曲線方程為xy2222222cc錯(cuò)解2由焦點(diǎn)知Fc10,eabca75.222ax2故所求的雙曲線方程為于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。正解1設(shè)P(x,y)x4，F(xiàn)e2(xy(x2)22y1.22由雙曲線的定義知2.整理得|x4|正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(m,0),a2m4a4c則解得,所以bca641648,c8cm222mcay故所求雙曲線方程為(x2)2y242、求與軸相切于右側(cè)，并與⊙C:xy6x0也相切的圓的圓心y22的軌跡方程。錯(cuò)誤解法如圖3－21所示，已知⊙C的方程為(xy9.22x設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙P與軸相切于M點(diǎn)，P(x,y)(x0)y與⊙C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得|CP|PM|3，即，化簡(jiǎn)得y12x(x0).(xyx3222錯(cuò)誤分析所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為xy0(x0x半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以且也是所求的方程。即動(dòng)圓