高一數(shù)學(xué)函數(shù)分析式、定義域、值域解題方法高一數(shù)學(xué)函數(shù)分析式、定義域、值域解題方法高一數(shù)學(xué)函數(shù)分析式、定義域、值域解題方法個(gè)性

化輔

導(dǎo)教

案授課時(shí)間：科目：數(shù)學(xué)

課題：函數(shù)

授課時(shí)段：學(xué)生：

授課老師：

M授課目標(biāo)聽課及知識(shí)掌握情況反響：課堂檢測(cè)授課需：加快□保持□放慢□增加內(nèi)容□授課反思及下節(jié)課內(nèi)容安排學(xué)生建議授課過程（內(nèi)容）高一數(shù)學(xué)函數(shù)分析式、定義域、值域解題方法.求函數(shù)的定義域與值域的常用方法求函數(shù)的分析式，求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的值域，求函數(shù)的最值二.求函數(shù)的分析式3、求函數(shù)分析式的一般方法有：1）直接法：依照題給條件，合理設(shè)置變量，搜尋或構(gòu)造變量之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y。2）待定系數(shù)法：若明確了函數(shù)的種類，能夠設(shè)出其一般形式，爾后代值求出參數(shù)的值；3）換元法：若給出了復(fù)合函數(shù)f［g（x）］的表達(dá)式，求f（x）的表達(dá)式時(shí)能夠令t＝g（x），以換元法解之；4）構(gòu)造方程組法：若給出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一個(gè)方程，則能夠x代換－x（或1/x），構(gòu)造出另一個(gè)方程，解此方程組，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表達(dá)式；5）依照實(shí)責(zé)問題求函數(shù)分析式：設(shè)定或采用自變量與因變量后，搜尋或構(gòu)造它們之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y的表達(dá)式；要注意，此時(shí)函數(shù)的定義域除了由分析式限制外，還受其實(shí)質(zhì)意義限制。（二）求函數(shù)定義域1、函數(shù)定義域是函數(shù)自變量的取值的會(huì)集，一般要求用會(huì)集或區(qū)間來(lái)表示；2、常有題型是由分析式求定義域，此時(shí)要認(rèn)清自變量，其次要觀察自變量所在地址，地址決定了自變量的范圍，最后將求定義域問題化歸為解不等式組的問題；3、如前所述，實(shí)責(zé)問題中的函數(shù)定義域除了受分析式限制外，還受實(shí)質(zhì)意義限制，如時(shí)間變量一般取非負(fù)數(shù)，等等；4、對(duì)復(fù)合函數(shù)y＝f［g（x）］的定義域的求解，應(yīng)先由y＝f（u）求出u的范圍，即g（x）的范圍，再?gòu)闹薪獬鰔的范圍I1；再由g（x）求出yg（x）的定義域I2，I1和I2的交集即為復(fù)合函數(shù)的定義域；5、分段函數(shù)的定義域是各個(gè)區(qū)間的并集；6、含有參數(shù)的函數(shù)的定義域的求解需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類談?wù)摚魠?shù)在不一樣的范圍內(nèi)定義域不一樣樣，則在表達(dá)結(jié)論時(shí)分別說(shuō)明；7、求定義域時(shí)有時(shí)需要對(duì)自變量進(jìn)行分類談?wù)?，但在表達(dá)結(jié)論時(shí)需要對(duì)分類后求得的各個(gè)會(huì)集求并集，作為該函數(shù)的定義域；一：求函數(shù)分析式1、換元法：題目給出了與所求函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)表達(dá)式，可將內(nèi)函數(shù)用一個(gè)變量代換。例1.已知f(x1x2x1x)x2，試求。解：設(shè)tx11x，則xt1，代入條件式可得：f(t)t2t1，t≠1。故得：f(x)x2x1,x1。說(shuō)明：要注意變換后變量范圍的變化，必定保證等價(jià)變形。2、構(gòu)造方程組法：對(duì)同時(shí)給出所求函數(shù)及與之有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的條件式，能夠據(jù)此構(gòu)造出另一個(gè)方程，聯(lián)立求解。2例2.（1）已知f(x)2f(x)3x4x5，試求；（2）已知f(x)2f(x)3x24x5，試求；11115，解：（1）由條件式，以x代x，則得f(x)2f(x)3x24x12824x5與條件式聯(lián)立，消去f3。x，則得：fxx23xx3（2）由條件式，以－x代x則得：f(x)2f(x)3x24x5，fx，則得：f25與條件式聯(lián)立，消去xx4x3。說(shuō)明：本題誠(chéng)然沒有給出定義域，但由于變形過程素來(lái)保持等價(jià)關(guān)系，故所求函數(shù)的定義域由分析式確定，不需要?jiǎng)e的給出。例4.求以下函數(shù)的分析式：（1）已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)2,f(x1)f(x)x1，求f(x)；2）已知f(x3）已知f(x1x4）已知3f(x)【思路分析】

x2x21)x22f(x)

x，求f(x)，f(x1)，f(x2)；，求f(x)；x3，求f(x)?！绢}意分析】（1）由已知f(x)是二次函數(shù)，所以可設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，想法求出a,b,c即可。2）若能將x2x合適變形，用x1的式子表示就簡(jiǎn)單解決了。（3）設(shè)x1為一個(gè)整體，不如設(shè)為t，爾后用tx表示x，代入原表達(dá)式求解。（4）x，x同時(shí)使得f(x)有意義，用x代替x建立關(guān)于f(x)，f(x)的兩個(gè)方程就行了?！窘忸}過程】⑴設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2,得c2，由f(x1)f(x)x1，得恒等式2axabx1，得a22。1,b3故所求函數(shù)的分析式為f(x)1x23x2。22（2）f(x1)x2x(x)22x11(x1)21，又x0,x11,f(x)x21(x1)。（3）設(shè)x1t,則x1,t1，xt1則f(t)f(x1x2111111(t1)2(t1)t2)2x2xt1xxx所以f(x)x2x1(x1)。4）由于3f(x)2f(x)x3①用x代替x得3f(x)2f(x)x3②解①②式得f(x)x35?！绢}后思慮】求函數(shù)分析式常有的題型有：（1）分析式種類已知的，如本例⑴，一般用待定系數(shù)法。關(guān)于二次函數(shù)問題要注意一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)，極點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k和標(biāo)根式y(tǒng)a(xx1)(xx2)的選擇；2）已知f[g(x)]求f(x)的問題，方法一是配湊法，方法二是換元法，如本例（2）（3）；3）函數(shù)方程問題，需建立關(guān)于f(x)的方程組，如本例（4）。若函數(shù)方程中同時(shí)出現(xiàn)f(x)，f(1x)，則一般將式中的x用1代替，構(gòu)造另一方程。x特別注意：求函數(shù)的分析式時(shí)均應(yīng)嚴(yán)格考慮函數(shù)的定義域。二：求函數(shù)定義域1、由函數(shù)分析式求函數(shù)定義域：由于分析式中不一樣的地址決定了變量不一樣的范圍，所以解題時(shí)要認(rèn)真分析變量所在的地址；最后經(jīng)常是經(jīng)過解不等式組確定自變量的取值會(huì)集。例3.求yx2x3x4的定義域。x20解：由題意知：x4，從而解得：x>－2且x≠±4.故所求定義域?yàn)椋簕x|x>－2且x≠±4}。例2.求以下函數(shù)的定義域：（1）5x；（2）f(x)x11xf(x)【思路分析】【題意分析】求函數(shù)的定義域就是求自變量的取值范圍，應(yīng)試慮使函數(shù)分析式有意義，這里需考慮分母不為零，開偶次方被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)。【解題過程】（1）要使函數(shù)有意義，則5x0x5，在數(shù)軸上標(biāo)出，即x3,或3x3,或3x5。x3,即0x3故函數(shù)的定義域?yàn)?,3)(3,3)(3,5].自然也可表示為xx3,或3x3,或3x5。（2）要使函數(shù)有意義，則x10x1，從1x,即,所以x10x1而函數(shù)的定義域?yàn)閤|x1?！绢}后思慮】求函數(shù)的定義域的問題能夠歸納為解不等式的問題，若是一個(gè)函數(shù)有幾個(gè)限制條件時(shí)，那么定義域?yàn)榻飧飨拗茥l件所得的x的范圍的交集，利用數(shù)軸可便于解決問題。求函數(shù)的定義域時(shí)不應(yīng)化簡(jiǎn)分析式；定義域是一個(gè)會(huì)集，要用會(huì)集或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能夠用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“”連接。2、求分段函數(shù)的定義域：對(duì)各個(gè)區(qū)間求并集。例4.已知函數(shù)由下表給出，求其定義域X123456Y2231435－176解：{1，2，3，4，5，6}。3、求與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的定義域：由外函數(shù)（fu）的定義域能夠確定內(nèi)函數(shù)g（x）的范圍，從而解得x∈I1，又由g（x）定義域能夠解得x∈I2.則I1∩I2即為該復(fù)合函數(shù)的定義域。也可先求出復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式后再行求解。例8已知f(x)x3,g(x)xf(g(x))的定義域.,求yx24x3由f(x)x3x3g(x)3x解：x234x3又由于x2－4x＋3>0聯(lián)立*、兩式可解得：933或x933x1344故所求定義域?yàn)?33或933x|4x13x4例9.若函數(shù)f（2x）的定義域是［－1，1］，求f（log2x）的定義域。解：由f（2x）的定義域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定義域?yàn)椋?－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得2x4，故定義域?yàn)?,4。三：求函數(shù)的值域與最值求函數(shù)的值域和最值的方法十分豐富，下面經(jīng)過例題來(lái)研究一些常用的方法；隨著高中學(xué)習(xí)的深入，我們將學(xué)習(xí)到更多的求函數(shù)值域與最值的方法。1、分別變量法2x3例11.求函數(shù)yx1的值域。解：y2x32x112110，故y≠2，x1x1x1，由于x1所以值域?yàn)閧y|y≠2}。說(shuō)明：這是一個(gè)分式函數(shù)，分子、分母均含有自變量x，可經(jīng)過等價(jià)變形，讓變量只出現(xiàn)在分母中，再行求解。2、配方法例12.求函數(shù)y＝2x2＋4x的值域。解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域?yàn)閧y|y≥－2}。說(shuō)明：這是一個(gè)二次函數(shù)，可經(jīng)過配方的方法來(lái)求得函數(shù)的值域。近似的，關(guān)于能夠化為二次函數(shù)的函數(shù)的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、鑒識(shí)式法x22x3的值域。例13.求函數(shù)y4x25x6x22x3解：y4x25x6可變形為：（4y－1）x2＋（5y－266326632）x＋6y－3＝0，由y71,71?！?可解得：說(shuō)明：對(duì)分子分母最高次數(shù)為二次的分式函數(shù)的值域求解，能夠考慮采用此法。要注意兩點(diǎn)：第一，其定義域一般僅由函數(shù)式確定，題中條件不再別的給出；若是題中條件別的給出了定義域，那么一般情況下就不能夠用此法求解值域；第二，用鑒識(shí)式法求解函數(shù)值域的理論依照是函數(shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，所以將原函數(shù)變形為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程后，該方程的解集就是原函數(shù)的定義域，故≥0。4、單調(diào)性法2例14.求函數(shù)yx3，x∈［4，5］的值域。2解：由于函數(shù)yx3為增函數(shù)，故當(dāng)x＝4時(shí)，5,13ymin＝；當(dāng)x＝5時(shí)，ymax＝，所以函數(shù)的值域?yàn)?5。5、換元法例15.求函數(shù)y2x41x的值域。解：令t1x0，則y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域?yàn)閧y|y≤4}。例3.求以下函數(shù)的值域：（1）y2x1,x1,2,3,4,52）3）

x1x21x2（4）yx22x3,(5x2)【思路分析】【題意分析】求函數(shù)的值域問題第一必定明確兩點(diǎn)：一是值域的看法，即關(guān)于定義域A上的函數(shù)yf(x)，其值域就是指會(huì)集Cyyf(x),xA；二是函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)值的依照?！窘忸}過程】1）將x1,2,3,4,5分別代入y2x1受騙算，得出函數(shù)的值域?yàn)?,5,7，9,11。（2）x0,x11，即所求函數(shù)的值域?yàn)閇1,)或用換元法，令tx(t0),yt1(t0)的值域?yàn)閇1,)。（3）<方法一>y1x2122,函數(shù)的定義域?yàn)?x21xR。1x21,0222,y(1,1]。1x<方法二>y1x2yyx21x2(1y)x21y1x2x21y0,獲取y(1,1]。1y故所求函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?，1]。（4）<構(gòu)造法>yx22x3(x1)24,5x2,4x111(x1)216,124(x1)23.所以函數(shù)的值域?yàn)閇－12，3]?！绢}后思慮】求函數(shù)的值域問題要點(diǎn)是將函數(shù)的分析式變形，經(jīng)過觀察或利用熟知的基本函數(shù)的值域，漸漸推出所求函數(shù)的值域，有時(shí)還需要結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行分析。【模擬試題】(答題時(shí)間：30分鐘)一.選擇題1、函數(shù)y＝f（x）的值域是［－2，2］，則函數(shù)y＝f（x＋1）的值域是（）A.［－1，3］B.［－2］D.［－1，1］

3，1］

C.［－

2，解∵函數(shù)y=f（x）的值域是[-2，2]，y=f（x）的最大值為2，最小值為-2又∵函數(shù)y=f（x+1）的圖象是由y=f（x）向左平移1個(gè)單位而得∴函數(shù)y=f（x+1）最大值是2，最小值是-2所以函數(shù)y=f（x+1）的值域仍是[-2，2]應(yīng)選C2、已知函數(shù)f（x）＝x2－2x，則函數(shù)f（x）在區(qū)間［－2，2］上的最大值為（）A.2

B.4

C.6

D.8解答：二次函數(shù)求最值3、一等腰三角形的周長(zhǎng)為20，底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，那么其分析式和定義域是（）A.y＝20－2x（x≤10）B.y＝20－2xx<10）C.y＝20－2x（4≤x<10）D.y＝20－2x5<x<10）解：Y=20-2XY>0，即20-2X>0，X<10，兩邊之和大于第三邊，2X>Y，即2X>20-2X4X>20X>5。本題定義域較難，很簡(jiǎn)單忽略X>5。54、二次函數(shù)y＝x2－4x＋4的定義域?yàn)椋踑，b］（a<b），值域也是［a，b］，則區(qū)間［a，b］是（）A.［0，4］B.［1，4］C.［1，3］D.［3，4］解：a，由于對(duì)稱軸為x=2，當(dāng)x=0或x=4時(shí)有最大值y=4，x=2時(shí)有最小值y=05、函數(shù)y＝f（x＋2）的定義域是［3，4］，則函數(shù)y＝f（x＋5）的定義域是（）A.［0，1］B.［3，4］C.［5，6］D.［6，7］解：y＝f（x＋2）的定義域是［3，4］，即3≤x≤4則3+2≤x+2≤4+2，所以5≤x+2≤6所以y=f(x)的定義域?yàn)閇5,6]則5≤x+5≤6，那么0≤x≤1所以y＝f（x＋5）的定義域?yàn)椋?，1］6、函數(shù)yx223x24x的值域是（）A.[317,317]B.317,3174444C.(317317D.(,317317,][,)4)(,)444解：鑒識(shí)式法7、（2007安徽）圖中的圖像所表示的函數(shù)的解析式是（）3x1(0x2)33x1(0x2)222C.y3x1(0x2)D.y1x1(0x2)2二.填空題8、若f（x）＝（x＋a）3對(duì)任意x∈R都有f（1＋x）＝－（f1－x），則（f2）＋（f－2）＝；解：∵對(duì)任意x∈R，總有f（1+x）=-f（1-x），∴當(dāng)x=0時(shí)，有f（1+0）=-f（1-0），即f（1）=-f（1）．∴f（1）=0．又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3．故有（1+a）3=0，解得a=-1．f（x）=（x-1）3．f（2）+f（-2）=（2-1）3+（-2-1）3=13+（-3）3=-26．29、若函數(shù)f(x)x2

的值域?yàn)?1，則其定義域3為；解：2/(x-2)≤-1/3=>1/3≤2/(2-x)當(dāng)x>2時(shí),2/(2-x)6≥2-x=>x≥-4∴定義域：[-4,2)三.解答題5x3x410、求函數(shù)yx2的定義域。11、已知值。

x22x1,x2f(x)，若f（a）＝3，求a的x,x212、已知函數(shù)f（x）滿足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，試求f（x）的表達(dá)式。解：2f(-x)-f(x)=-x2-4x4f(x)-2f(-x)=-2x2+8x相加得f(x)=-x2+4x/3習(xí)題講解：1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=log2(1x),x0，f(x1)f(x2),x0則f（2009）的值為()B.0D.2答案:C.【分析】:由已知得f(1)log221,f(0)0,f(1)f(0)f(1)1,f(2)f(1)f(0)1,f(3)f(2)f(1)1(1)0,f(4)f(3)f(2)0(1)1,f(5)f(4)f(3)1,f(6)f(5)f(4)0,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f2009）=f（5）=1,應(yīng)選C.【命題立意】:本題觀察歸納推理以及函數(shù)的周期性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算.2.設(shè)函數(shù)f(x)x24x6,x0則不等式f(x)f(1)的解集是x6,x0（）AC

(3,1)(3,)(1,1