電磁場(chǎng)導(dǎo)論主講仲慧2009年春電磁場(chǎng)導(dǎo)論主講仲慧1學(xué)習(xí)內(nèi)容靜電場(chǎng)1恒定場(chǎng)2時(shí)變電磁場(chǎng)3平面電磁波的傳播4學(xué)習(xí)內(nèi)容靜電場(chǎng)1恒定場(chǎng)2時(shí)變電磁場(chǎng)3平面電磁波的傳播42先修課程

大學(xué)物理電磁學(xué)矢量分析與場(chǎng)論電磁場(chǎng)導(dǎo)論梯度grad散度div旋度rot亥姆霍茲定理先修課程

大學(xué)物理矢量分析電磁場(chǎng)梯度grad3什么是電場(chǎng)？

有電荷接近或周圍磁場(chǎng)強(qiáng)度有變化的區(qū)域,這個(gè)區(qū)域?qū)σ氲碾姾墒┘訖C(jī)械力。任意一點(diǎn)的電場(chǎng)方向就是置于該點(diǎn)的一個(gè)小正電荷的受力方向。

電荷之間的相互作用是通過電場(chǎng)發(fā)生的.只要有電荷存在,電荷的周圍就存在著電場(chǎng)，是物質(zhì)存在的一種形式。電場(chǎng)的基本特性是對(duì)靜止或運(yùn)動(dòng)的電荷有作用力，其作用力的大小為，正電荷受力方向與場(chǎng)強(qiáng)的方向相同，負(fù)電荷受力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相反。場(chǎng)強(qiáng)是描述電場(chǎng)特性的物理量。什么是電場(chǎng)？有電荷接近或周圍磁場(chǎng)強(qiáng)度有變化的區(qū)域,這個(gè)區(qū)域4電場(chǎng)是一切物理、工業(yè)、化學(xué)、能源、電子、信息、生物等學(xué)科研究的本質(zhì)對(duì)象1、壓力、推力、彈力、摩擦力的本質(zhì)是電場(chǎng)；

2、分子之間的力由電場(chǎng)力組成；

3、生化反映的動(dòng)源泉是電場(chǎng)；

4、電流，電壓由電場(chǎng)力引起；

5、光、電磁波由電場(chǎng)引起；

6、信息技術(shù)也是研究電場(chǎng)的特性。電場(chǎng)是一切物理、工業(yè)、化學(xué)、能源、電子、信息、生物等學(xué)科研究5電場(chǎng)的本質(zhì)我們所見到的一切運(yùn)動(dòng)，反應(yīng)，變化都是電場(chǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，相互作用的結(jié)果。電場(chǎng)就是原子核對(duì)核外電子的吸引力。當(dāng)這種力分布不均勻時(shí)，物質(zhì)就會(huì)對(duì)外界體現(xiàn)一些宏觀力。我們就會(huì)感覺到有電場(chǎng)的存在。比如靜電、電勢(shì)等。這樣我們就可以說原子核對(duì)電子的引力是世界上一切運(yùn)動(dòng)的力量來源（當(dāng)然外有引力除外）。

電場(chǎng)的本質(zhì)我們所見到的一切運(yùn)動(dòng)，反應(yīng)，變化都是電場(chǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，6為什么原子核會(huì)對(duì)電子有引力？

目前認(rèn)為自然界中一共有四種力：分別是電場(chǎng)力，萬有引力、強(qiáng)相互作用力、弱相互作用力。茫茫宇宙，有物質(zhì)存在的空間是極少數(shù)，絕大多數(shù)都是空空的，就連有物質(zhì)存在的地方也是稀疏的分布著一些原子核、電子。原子核與電子之間的空曠也比他本身占的空間大得多。這里所說的空是什么？當(dāng)然不是真空，更不是空氣。它是指什么都沒有。什么都沒有，什么都沒有的兩個(gè)東西之間（原子核與電子）有一個(gè)引力。這是一個(gè)十分奇妙的物理現(xiàn)象。

為什么原子核會(huì)對(duì)電子有引力？目前認(rèn)為自然界中一共有四種力：7你覺得這里所說的“空”真的是什么都沒有嗎？如果真的是什么都沒有的話。原子核和電子之間就什么聯(lián)系都沒有啦。你能想象兩個(gè)實(shí)體之間什么聯(lián)系都沒有卻能有相互吸引的力嗎？因此，有人認(rèn)為在這里所說的“空”中并不是什么都沒有，而是一種物質(zhì)。這種物質(zhì)不是顆粒，而是彌漫在整個(gè)空間。原子核和電子就像泡在這種物質(zhì)中似的。這種物質(zhì)沒有質(zhì)量，但卻能夠讓兩個(gè)有質(zhì)量的物質(zhì)產(chǎn)生引力。如果這樣的話分子之間并不是什么都沒有；如果這樣，也許萬有引力的本質(zhì)也是電場(chǎng)。你覺得這里所說的“空”真的是什么都沒有嗎？8

電場(chǎng)分為兩種：一種是靜電場(chǎng)，另外一個(gè)為感應(yīng)電場(chǎng)。靜電場(chǎng)是由靜止電荷激發(fā)的電場(chǎng)。靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線起于正電荷終止于負(fù)電荷，或從無窮遠(yuǎn)到無窮遠(yuǎn)，其電場(chǎng)力移動(dòng)電荷做功具有與路徑無關(guān)的特點(diǎn)變化磁場(chǎng)激發(fā)的電場(chǎng)叫感應(yīng)電場(chǎng)或渦旋電場(chǎng)。

電場(chǎng)分為兩種：一種是靜電場(chǎng)，另外一個(gè)為感應(yīng)電場(chǎng)。9磁場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁力的空間存在著磁場(chǎng)。磁場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)。磁體周圍存在磁場(chǎng)，磁體間的相互作用就是以磁場(chǎng)作為媒介的。電流、運(yùn)動(dòng)電荷、磁體或變化電場(chǎng)周圍空間存在的一種特殊形態(tài)的物質(zhì)。由于磁體的磁性來源于電流，電流是電荷的運(yùn)動(dòng)，因而概括地說，磁場(chǎng)是由運(yùn)動(dòng)電荷或變化電場(chǎng)產(chǎn)生的。磁場(chǎng)的基本特征是能對(duì)其中的運(yùn)動(dòng)電荷施加作用力，磁場(chǎng)對(duì)電流、對(duì)磁體的作用力或力矩皆源于此。而現(xiàn)代理論則說明，磁力是電場(chǎng)力的相對(duì)論效應(yīng)。

磁場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁力的空間存在著磁場(chǎng)。磁場(chǎng)10磁現(xiàn)象磁現(xiàn)象是最早被人類認(rèn)識(shí)的物理現(xiàn)象之一，指南針是中國古代一大發(fā)明。磁場(chǎng)是廣泛存在的，地球，恒星(如太陽)，星系（如銀河系），行星、衛(wèi)星，以及星際空間和星系際空間，都存在著磁場(chǎng)。為了認(rèn)識(shí)和解釋其中的許多物理現(xiàn)象和過程，必須考慮磁場(chǎng)這一重要因素。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和人類生活中，處處可遇到磁場(chǎng)，發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)、變壓器、電報(bào)、電話、收音機(jī)以至加速器、熱核聚變裝置、電磁測(cè)量?jī)x表等無不與磁現(xiàn)象有關(guān)。甚至在人體內(nèi)，伴隨著生命活動(dòng)，一些組織和器官內(nèi)也會(huì)產(chǎn)生微弱的磁場(chǎng)。地球的磁級(jí)與地理的兩極相反.

磁現(xiàn)象磁現(xiàn)象是最早被人類認(rèn)識(shí)的物理現(xiàn)象之一，指南針是中國古代11中國是磁的故鄉(xiāng)

中華民族很早就認(rèn)識(shí)到了磁現(xiàn)象，磁學(xué)是一個(gè)歷史悠久的研究領(lǐng)域。指南針是中國古代四大發(fā)明之一，古代中國在磁的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和應(yīng)用上還有許多都居于世界首位，可以說中國是磁的故鄉(xiāng)。中國是磁的故鄉(xiāng)

中華民族很早就認(rèn)識(shí)到了磁現(xiàn)象，磁學(xué)是一個(gè)歷12公元前3世紀(jì)，戰(zhàn)國時(shí)期，《韓非子》中這樣記載：“先王立司南以端朝夕”?！豆砉茸印分杏涊d：“鄭人取玉，必載司南，為其不惑也”。公元1世紀(jì)，東漢王充在《論衡》中寫道：“司南之杓，投之于地，其柢指南”公元11世紀(jì)，北宋沈括在《夢(mèng)溪筆談》中提到了指南針的制造方法：“方家以磁石磨針鋒，則能指南......水浮多蕩搖，指抓及碗唇上皆可為之，運(yùn)轉(zhuǎn)尤速，但堅(jiān)滑易墜，不若縷懸之最善?！蓖瑫r(shí)，他還發(fā)現(xiàn)了磁偏角，即：地球的磁極和地理的南北極不完全重合。公元前3世紀(jì)，戰(zhàn)國時(shí)期，《韓非子》中這樣記載：“先王13磁石的發(fā)現(xiàn)、磁石吸鐵的發(fā)現(xiàn)、磁石指南和最早磁指南器(司南)的發(fā)明、指南針的發(fā)明和應(yīng)用、地球磁偏角的發(fā)現(xiàn)、地球磁傾角的利用、磁在醫(yī)藥上的應(yīng)用，北極光地球磁現(xiàn)象和太陽黑子太陽磁現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和最早最多的記載等，都是中國最早發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、應(yīng)用和記載的，或者居于世界的前列。磁石的發(fā)現(xiàn)、磁石吸鐵的發(fā)現(xiàn)、磁石指南和最早磁指南器(司南14電磁場(chǎng)學(xué)習(xí)內(nèi)容電磁場(chǎng)學(xué)習(xí)內(nèi)容15場(chǎng)論復(fù)習(xí)場(chǎng)論復(fù)習(xí)160.1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量值或矢量.例如,在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場(chǎng)如溫度場(chǎng),電位場(chǎng),高度場(chǎng)等;矢量場(chǎng)如流速場(chǎng),電場(chǎng),渦流場(chǎng)等.0.1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),例如17形象描繪場(chǎng)分布的工具--場(chǎng)線矢量場(chǎng)--矢量線標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面).其方程為其方程為三維場(chǎng)在直角坐標(biāo)下:二維場(chǎng)圖0.1.2矢量線圖0.1.1等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？形象描繪場(chǎng)分布的工具--場(chǎng)線矢量場(chǎng)--矢量線標(biāo)量場(chǎng)--等值線180.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度一.梯度設(shè)當(dāng),即與方向一致時(shí),為最大.設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(x,y,z),若函數(shù)在點(diǎn)P可微,則

在點(diǎn)P沿任意方向

的方向?qū)?shù)為:梯度(gradient)哈密頓算子式中則有:式中，，，分別是與x,y,z軸的夾角0.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度一.梯度設(shè)當(dāng)19例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢(shì)升高的方向。電位場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；指向電位增加的方向。數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；二.梯度的物理意義標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);圖0.2.1三維高度場(chǎng)的梯度圖0.2.2電位場(chǎng)的梯度例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與20梯度的解釋假設(shè)有一個(gè)房間，房間內(nèi)所有點(diǎn)的溫度由一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)φ給出的，即點(diǎn)(x,y,z)的溫度是φ(x,y,z)。假設(shè)溫度不隨時(shí)間改變。然后，在房間的每一點(diǎn)，該點(diǎn)的梯度將顯示變熱最快的方向。梯度的大小將表示在該方向上變熱的速度?？紤]一座高度在(x,y)點(diǎn)是H(x,y)的山。H在一點(diǎn)的梯度是在該點(diǎn)坡度（或者說斜度）最陡的方向。梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。梯度也可以告訴我們一個(gè)數(shù)量在不是最快變化方向的其他方向的變化速度。再次考慮山坡的例子?？梢杂袟l直接上山的路其坡度是最大的，則其坡度是梯度的大小。也可以有一條和上坡方向成一個(gè)角度的路，例如投影在水平面上是60°角。則若最陡的坡度是40%，這條路的坡度小一點(diǎn)，是20%，也就是40%乘以60°的余弦。這個(gè)現(xiàn)象可以如下數(shù)學(xué)的表示：山的高度函數(shù)H的梯度點(diǎn)積一個(gè)單位向量給出了表面在該向量的方向上的斜率。這稱為方向?qū)?shù)。梯度的解釋假設(shè)有一個(gè)房間，房間內(nèi)所有點(diǎn)的溫度由一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)φ給21上面兩個(gè)圖中，標(biāo)量場(chǎng)是黑白的，黑色表示大的數(shù)值，而其相應(yīng)的梯度用藍(lán)色箭頭表示。上面兩個(gè)圖中，標(biāo)量場(chǎng)是黑白的，黑色表示大的數(shù)值，而其相應(yīng)的梯220.3矢量場(chǎng)的通量與散度一、通量矢量E

沿有向曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)圖0.3.1矢量場(chǎng)的通量圖0.3.2矢量場(chǎng)的通量若S為閉合曲面，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):0.3矢量場(chǎng)的通量與散度一、通量矢23二、散度如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方式縮小為點(diǎn)P時(shí),通量與體積之比的極限存在，即散度(divergence)計(jì)算公式三、散度的物理意義散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性?A=0(無源）?A=0(負(fù)源)?A=0(正源)在矢量場(chǎng)中，若?A=0，稱之為有源場(chǎng)，稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處?A=0，稱之為無源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；二、散度如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方24四、高斯公式(散度定理)高斯公式該公式表明了區(qū)域V中場(chǎng)A與邊界S上的場(chǎng)A之間的關(guān)系。矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。圖0.3.3散度定理由于是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì)體積分后，為穿出閉合面S的通量四、高斯公式(散度定理)高斯公式該公式表明了區(qū)域V中場(chǎng)A250.4矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度一、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環(huán)量例：流速場(chǎng)圖0.4.2流速場(chǎng)圖0.4.1環(huán)量的計(jì)算0.4矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度一、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大26二、旋度1.環(huán)量密度過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊界曲線記為L(zhǎng),面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。2.旋度旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。旋度(curl)它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下二、旋度1.環(huán)量密度過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊27三、旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。在矢量場(chǎng)中，若A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J

稱為旋度源(或渦旋源)；點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理

A是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為Stocke’s定理在電磁場(chǎng)理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域S中場(chǎng)A與邊界L上的場(chǎng)A之間的關(guān)系若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無旋場(chǎng)。圖0.4.3斯托克斯定理三、旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。280.5亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中電荷密度電流密度J場(chǎng)域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場(chǎng)的性質(zhì)=0=0=000=00.5亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的290.6三種特殊形式的場(chǎng)1.平行平面場(chǎng)：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為Z軸)的一族平行平面上，場(chǎng)

F的分布都相同，即F=f(x,y)，則稱這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。2.軸對(duì)稱場(chǎng)：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為Z軸)的一族子午面上，場(chǎng)

F的分布都相同，即F=f(r,)，則稱這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱場(chǎng)。3.球面對(duì)稱場(chǎng)：如果在一族同心球面上(設(shè)球心在原點(diǎn))，場(chǎng)

F的分布都相同，即F=f(r)，則稱這個(gè)場(chǎng)為球面對(duì)稱場(chǎng)。0.6三種特殊形式的場(chǎng)1.平行平面場(chǎng)：如果在經(jīng)過某30

作業(yè).2.3.式中：試證明下列各題1.作業(yè)2.3.式中：試證明下列各題1.31高斯簡(jiǎn)介高斯是德國數(shù)學(xué)家，也是科學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯簡(jiǎn)介高斯是德國數(shù)學(xué)家，也是科學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，32最小二乘法原理?！端阈g(shù)研究》（1801）中，是數(shù)論方面的劃時(shí)代之作證明了代數(shù)基本定理，存在性證明開創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理。復(fù)變函數(shù)，建立了一些基本概念發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理。發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發(fā)表出來。1828年高斯出版了《關(guān)于曲面的一般研究》，全面系統(tǒng)地闡述了空間曲面的微分幾何學(xué)，并提出內(nèi)蘊(yùn)曲面理論。高斯的曲面理論后來由黎曼發(fā)展。高斯一生共發(fā)表155篇論文，他對(duì)待學(xué)問十分嚴(yán)謹(jǐn)，只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來。其著作還有《地磁概念》和《論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。最小二乘法原理。高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域331801年高斯有機(jī)會(huì)戲劇性地施展他的優(yōu)勢(shì)的計(jì)算技巧。那年的元旦，有一個(gè)后來被證認(rèn)為小行星并被命名為谷神星的天體被發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)它好像在向太陽靠近，天文學(xué)家雖然有40天的時(shí)間可以觀察它，但還不能計(jì)算出它的軌道。高斯只作了3次觀測(cè)就提出了一種計(jì)算軌道參數(shù)的方法，而且達(dá)到的精確度使得天文學(xué)家在1801年末和1802年初能夠毫無困難地再確定谷神星的位置。高斯在這一計(jì)算方法中用到了他大約在1794年創(chuàng)造的最小二乘法（一種可從特定計(jì)算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法在天文學(xué)中這一成就立即得到公認(rèn)。他在《天體運(yùn)動(dòng)理論》中敘述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能適應(yīng)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的要求。高斯在小行星“智神星”方面也獲得類似的成功。

1801年高斯有機(jī)會(huì)戲劇性地施展他的優(yōu)勢(shì)的計(jì)算技巧。那年的元34亥姆霍茨（HermannvonHelmholtz，１８２１—１８９４）德國物理學(xué)家他的工作是把能量守恒定律納入力學(xué)的數(shù)學(xué)體系,在X射線的發(fā)現(xiàn)過程中，他對(duì)光的電磁本性進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)。亥姆霍茨35電磁場(chǎng)導(dǎo)論主講仲慧2009年春電磁場(chǎng)導(dǎo)論主講仲慧36學(xué)習(xí)內(nèi)容靜電場(chǎng)1恒定場(chǎng)2時(shí)變電磁場(chǎng)3平面電磁波的傳播4學(xué)習(xí)內(nèi)容靜電場(chǎng)1恒定場(chǎng)2時(shí)變電磁場(chǎng)3平面電磁波的傳播437先修課程

大學(xué)物理電磁學(xué)矢量分析與場(chǎng)論電磁場(chǎng)導(dǎo)論梯度grad散度div旋度rot亥姆霍茲定理先修課程

大學(xué)物理矢量分析電磁場(chǎng)梯度grad38什么是電場(chǎng)？

有電荷接近或周圍磁場(chǎng)強(qiáng)度有變化的區(qū)域,這個(gè)區(qū)域?qū)σ氲碾姾墒┘訖C(jī)械力。任意一點(diǎn)的電場(chǎng)方向就是置于該點(diǎn)的一個(gè)小正電荷的受力方向。

電荷之間的相互作用是通過電場(chǎng)發(fā)生的.只要有電荷存在,電荷的周圍就存在著電場(chǎng)，是物質(zhì)存在的一種形式。電場(chǎng)的基本特性是對(duì)靜止或運(yùn)動(dòng)的電荷有作用力，其作用力的大小為，正電荷受力方向與場(chǎng)強(qiáng)的方向相同，負(fù)電荷受力方向與場(chǎng)強(qiáng)方向相反。場(chǎng)強(qiáng)是描述電場(chǎng)特性的物理量。什么是電場(chǎng)？有電荷接近或周圍磁場(chǎng)強(qiáng)度有變化的區(qū)域,這個(gè)區(qū)域39電場(chǎng)是一切物理、工業(yè)、化學(xué)、能源、電子、信息、生物等學(xué)科研究的本質(zhì)對(duì)象1、壓力、推力、彈力、摩擦力的本質(zhì)是電場(chǎng)；

2、分子之間的力由電場(chǎng)力組成；

3、生化反映的動(dòng)源泉是電場(chǎng)；

4、電流，電壓由電場(chǎng)力引起；

5、光、電磁波由電場(chǎng)引起；

6、信息技術(shù)也是研究電場(chǎng)的特性。電場(chǎng)是一切物理、工業(yè)、化學(xué)、能源、電子、信息、生物等學(xué)科研究40電場(chǎng)的本質(zhì)我們所見到的一切運(yùn)動(dòng)，反應(yīng)，變化都是電場(chǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，相互作用的結(jié)果。電場(chǎng)就是原子核對(duì)核外電子的吸引力。當(dāng)這種力分布不均勻時(shí)，物質(zhì)就會(huì)對(duì)外界體現(xiàn)一些宏觀力。我們就會(huì)感覺到有電場(chǎng)的存在。比如靜電、電勢(shì)等。這樣我們就可以說原子核對(duì)電子的引力是世界上一切運(yùn)動(dòng)的力量來源（當(dāng)然外有引力除外）。

電場(chǎng)的本質(zhì)我們所見到的一切運(yùn)動(dòng)，反應(yīng)，變化都是電場(chǎng)錯(cuò)綜復(fù)雜，41為什么原子核會(huì)對(duì)電子有引力？

目前認(rèn)為自然界中一共有四種力：分別是電場(chǎng)力，萬有引力、強(qiáng)相互作用力、弱相互作用力。茫茫宇宙，有物質(zhì)存在的空間是極少數(shù)，絕大多數(shù)都是空空的，就連有物質(zhì)存在的地方也是稀疏的分布著一些原子核、電子。原子核與電子之間的空曠也比他本身占的空間大得多。這里所說的空是什么？當(dāng)然不是真空，更不是空氣。它是指什么都沒有。什么都沒有，什么都沒有的兩個(gè)東西之間（原子核與電子）有一個(gè)引力。這是一個(gè)十分奇妙的物理現(xiàn)象。

為什么原子核會(huì)對(duì)電子有引力？目前認(rèn)為自然界中一共有四種力：42你覺得這里所說的“空”真的是什么都沒有嗎？如果真的是什么都沒有的話。原子核和電子之間就什么聯(lián)系都沒有啦。你能想象兩個(gè)實(shí)體之間什么聯(lián)系都沒有卻能有相互吸引的力嗎？因此，有人認(rèn)為在這里所說的“空”中并不是什么都沒有，而是一種物質(zhì)。這種物質(zhì)不是顆粒，而是彌漫在整個(gè)空間。原子核和電子就像泡在這種物質(zhì)中似的。這種物質(zhì)沒有質(zhì)量，但卻能夠讓兩個(gè)有質(zhì)量的物質(zhì)產(chǎn)生引力。如果這樣的話分子之間并不是什么都沒有；如果這樣，也許萬有引力的本質(zhì)也是電場(chǎng)。你覺得這里所說的“空”真的是什么都沒有嗎？43

電場(chǎng)分為兩種：一種是靜電場(chǎng)，另外一個(gè)為感應(yīng)電場(chǎng)。靜電場(chǎng)是由靜止電荷激發(fā)的電場(chǎng)。靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線起于正電荷終止于負(fù)電荷，或從無窮遠(yuǎn)到無窮遠(yuǎn)，其電場(chǎng)力移動(dòng)電荷做功具有與路徑無關(guān)的特點(diǎn)變化磁場(chǎng)激發(fā)的電場(chǎng)叫感應(yīng)電場(chǎng)或渦旋電場(chǎng)。

電場(chǎng)分為兩種：一種是靜電場(chǎng)，另外一個(gè)為感應(yīng)電場(chǎng)。44磁場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁力的空間存在著磁場(chǎng)。磁場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)。磁體周圍存在磁場(chǎng)，磁體間的相互作用就是以磁場(chǎng)作為媒介的。電流、運(yùn)動(dòng)電荷、磁體或變化電場(chǎng)周圍空間存在的一種特殊形態(tài)的物質(zhì)。由于磁體的磁性來源于電流，電流是電荷的運(yùn)動(dòng)，因而概括地說，磁場(chǎng)是由運(yùn)動(dòng)電荷或變化電場(chǎng)產(chǎn)生的。磁場(chǎng)的基本特征是能對(duì)其中的運(yùn)動(dòng)電荷施加作用力，磁場(chǎng)對(duì)電流、對(duì)磁體的作用力或力矩皆源于此。而現(xiàn)代理論則說明，磁力是電場(chǎng)力的相對(duì)論效應(yīng)。

磁場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁力的空間存在著磁場(chǎng)。磁場(chǎng)45磁現(xiàn)象磁現(xiàn)象是最早被人類認(rèn)識(shí)的物理現(xiàn)象之一，指南針是中國古代一大發(fā)明。磁場(chǎng)是廣泛存在的，地球，恒星(如太陽)，星系（如銀河系），行星、衛(wèi)星，以及星際空間和星系際空間，都存在著磁場(chǎng)。為了認(rèn)識(shí)和解釋其中的許多物理現(xiàn)象和過程，必須考慮磁場(chǎng)這一重要因素。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和人類生活中，處處可遇到磁場(chǎng)，發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)、變壓器、電報(bào)、電話、收音機(jī)以至加速器、熱核聚變裝置、電磁測(cè)量?jī)x表等無不與磁現(xiàn)象有關(guān)。甚至在人體內(nèi)，伴隨著生命活動(dòng)，一些組織和器官內(nèi)也會(huì)產(chǎn)生微弱的磁場(chǎng)。地球的磁級(jí)與地理的兩極相反.

磁現(xiàn)象磁現(xiàn)象是最早被人類認(rèn)識(shí)的物理現(xiàn)象之一，指南針是中國古代46中國是磁的故鄉(xiāng)

中華民族很早就認(rèn)識(shí)到了磁現(xiàn)象，磁學(xué)是一個(gè)歷史悠久的研究領(lǐng)域。指南針是中國古代四大發(fā)明之一，古代中國在磁的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和應(yīng)用上還有許多都居于世界首位，可以說中國是磁的故鄉(xiāng)。中國是磁的故鄉(xiāng)

中華民族很早就認(rèn)識(shí)到了磁現(xiàn)象，磁學(xué)是一個(gè)歷47公元前3世紀(jì)，戰(zhàn)國時(shí)期，《韓非子》中這樣記載：“先王立司南以端朝夕”。《鬼谷子》中記載：“鄭人取玉，必載司南，為其不惑也”。公元1世紀(jì)，東漢王充在《論衡》中寫道：“司南之杓，投之于地，其柢指南”公元11世紀(jì)，北宋沈括在《夢(mèng)溪筆談》中提到了指南針的制造方法：“方家以磁石磨針鋒，則能指南......水浮多蕩搖，指抓及碗唇上皆可為之，運(yùn)轉(zhuǎn)尤速，但堅(jiān)滑易墜，不若縷懸之最善。”同時(shí)，他還發(fā)現(xiàn)了磁偏角，即：地球的磁極和地理的南北極不完全重合。公元前3世紀(jì)，戰(zhàn)國時(shí)期，《韓非子》中這樣記載：“先王48磁石的發(fā)現(xiàn)、磁石吸鐵的發(fā)現(xiàn)、磁石指南和最早磁指南器(司南)的發(fā)明、指南針的發(fā)明和應(yīng)用、地球磁偏角的發(fā)現(xiàn)、地球磁傾角的利用、磁在醫(yī)藥上的應(yīng)用，北極光地球磁現(xiàn)象和太陽黑子太陽磁現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)和最早最多的記載等，都是中國最早發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、應(yīng)用和記載的，或者居于世界的前列。磁石的發(fā)現(xiàn)、磁石吸鐵的發(fā)現(xiàn)、磁石指南和最早磁指南器(司南49電磁場(chǎng)學(xué)習(xí)內(nèi)容電磁場(chǎng)學(xué)習(xí)內(nèi)容50場(chǎng)論復(fù)習(xí)場(chǎng)論復(fù)習(xí)510.1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量值或矢量.例如,在直角坐標(biāo)下,標(biāo)量場(chǎng)如溫度場(chǎng),電位場(chǎng),高度場(chǎng)等;矢量場(chǎng)如流速場(chǎng),電場(chǎng),渦流場(chǎng)等.0.1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),例如52形象描繪場(chǎng)分布的工具--場(chǎng)線矢量場(chǎng)--矢量線標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面).其方程為其方程為三維場(chǎng)在直角坐標(biāo)下:二維場(chǎng)圖0.1.2矢量線圖0.1.1等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？形象描繪場(chǎng)分布的工具--場(chǎng)線矢量場(chǎng)--矢量線標(biāo)量場(chǎng)--等值線530.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度一.梯度設(shè)當(dāng),即與方向一致時(shí),為最大.設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(x,y,z),若函數(shù)在點(diǎn)P可微,則

在點(diǎn)P沿任意方向

的方向?qū)?shù)為:梯度(gradient)哈密頓算子式中則有:式中，，，分別是與x,y,z軸的夾角0.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度一.梯度設(shè)當(dāng)54例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢(shì)升高的方向。電位場(chǎng)的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；指向電位增加的方向。數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；二.梯度的物理意義標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);圖0.2.1三維高度場(chǎng)的梯度圖0.2.2電位場(chǎng)的梯度例1三維高度場(chǎng)的梯度例2電位場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與55梯度的解釋假設(shè)有一個(gè)房間，房間內(nèi)所有點(diǎn)的溫度由一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)φ給出的，即點(diǎn)(x,y,z)的溫度是φ(x,y,z)。假設(shè)溫度不隨時(shí)間改變。然后，在房間的每一點(diǎn)，該點(diǎn)的梯度將顯示變熱最快的方向。梯度的大小將表示在該方向上變熱的速度?？紤]一座高度在(x,y)點(diǎn)是H(x,y)的山。H在一點(diǎn)的梯度是在該點(diǎn)坡度（或者說斜度）最陡的方向。梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。梯度也可以告訴我們一個(gè)數(shù)量在不是最快變化方向的其他方向的變化速度。再次考慮山坡的例子。可以有條直接上山的路其坡度是最大的，則其坡度是梯度的大小。也可以有一條和上坡方向成一個(gè)角度的路，例如投影在水平面上是60°角。則若最陡的坡度是40%，這條路的坡度小一點(diǎn)，是20%，也就是40%乘以60°的余弦。這個(gè)現(xiàn)象可以如下數(shù)學(xué)的表示：山的高度函數(shù)H的梯度點(diǎn)積一個(gè)單位向量給出了表面在該向量的方向上的斜率。這稱為方向?qū)?shù)。梯度的解釋假設(shè)有一個(gè)房間，房間內(nèi)所有點(diǎn)的溫度由一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)φ給56上面兩個(gè)圖中，標(biāo)量場(chǎng)是黑白的，黑色表示大的數(shù)值，而其相應(yīng)的梯度用藍(lán)色箭頭表示。上面兩個(gè)圖中，標(biāo)量場(chǎng)是黑白的，黑色表示大的數(shù)值，而其相應(yīng)的梯570.3矢量場(chǎng)的通量與散度一、通量矢量E

沿有向曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)圖0.3.1矢量場(chǎng)的通量圖0.3.2矢量場(chǎng)的通量若S為閉合曲面，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):0.3矢量場(chǎng)的通量與散度一、通量矢58二、散度如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方式縮小為點(diǎn)P時(shí),通量與體積之比的極限存在，即散度(divergence)計(jì)算公式三、散度的物理意義散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性?A=0(無源）?A=0(負(fù)源)?A=0(正源)在矢量場(chǎng)中，若?A=0，稱之為有源場(chǎng)，稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處?A=0，稱之為無源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；二、散度如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方59四、高斯公式(散度定理)高斯公式該公式表明了區(qū)域V中場(chǎng)A與邊界S上的場(chǎng)A之間的關(guān)系。矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。圖0.3.3散度定理由于是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì)體積分后，為穿出閉合面S的通量四、高斯公式(散度定理)高斯公式該公式表明了區(qū)域V中場(chǎng)A600.4矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度一、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環(huán)量例：流速場(chǎng)圖0.4.2流速場(chǎng)圖0.4.1環(huán)量的計(jì)算0.4矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度一、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大61二、旋度1.環(huán)量密度過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊界曲線記為L(zhǎng),面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。2.旋度旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。旋度(curl)它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下二、旋度1.環(huán)量密度過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊62三、旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。在矢量場(chǎng)中，若A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J

稱為旋度源(或渦旋源)；點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理

A是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為Stocke’s定理在電磁場(chǎng)理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個(gè)非常重要的公式。矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域S中場(chǎng)A與邊界L上的場(chǎng)A之間的關(guān)系若矢量場(chǎng)處處A=0，稱之為無旋場(chǎng)。圖0.4.3斯托克斯定理三、旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。630.5亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中電荷密度電流密度J場(chǎng)域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場(chǎng)的性質(zhì)=0