三階幻方的構(gòu)方法洛陽市王城公園西門內(nèi)屹立著一橢圓形棕色巨石，那就是河圖洛書碑．所謂洛書，指的是用這個數(shù)字，組成三行三的方陣．它的每行每列及兩條對角線上的三個數(shù)字的和都等于古候稱九宮圖，數(shù)學(xué)稱為三階幻方．這一問題有許多解法．這里介紹七種解法．一

湊這個問題介紹給小孩子們，他們會用九張紙片，分別寫上九個數(shù)字（或者用九張撲克牌）在桌地）面上擺出來答案．此法是＂湊＂出來的．二

轉(zhuǎn)第一步把九個數(shù)字擺成圖一．第二步讓周圍的八個數(shù)字繞著中心的數(shù)字依次轉(zhuǎn)動一個位置，成二，第三步將對角的數(shù)字進行對換，成圖三．這個方法歸結(jié)為＂一排，二轉(zhuǎn)，三對換＂．這個方法可讓孩子作游戲，也是有趣的．134126437796圖一＂排＂

圖二＂轉(zhuǎn)＂

圖三＂換＂三楊法我國古代數(shù)學(xué)家在＂續(xù)古摘奇算法＂中，總結(jié)洛書幻方的構(gòu)造方法時寫到：＂九子排列，上下易，左右相更，四維挺出＂具體作法如圖四――圖七．

圖四九子排列

圖五6729

上下對易圖六左右相更四羅伯法

圖七

四維挺出［1中所舉的羅伯法也可以用來作三階幻．羅伯法是這樣講的．-1

居上行正中央次填且莫忘出往下寫出時左邊放重便在下格填上重一個樣伯法排出的三階幻方見圖八．81357

69

2949484圖八

圖九

圖十巴舍法先畫一個凸階梯形，先填成圖九，然后按＂上移下，下移上，左移右，右移左＂（作出的結(jié)果楊輝法完全相同）進行調(diào)整成為圖十．五行列交會法首先將九個數(shù)字排成圖十一，然后將中間行中間列不動，作為幻方的左右主對角線，如圖十二因每一個數(shù)都是一條左對角線與一條右對角線的交點．所以其它每一個數(shù)的行列位置按照：＂左對線與中間列的交點的行為行，右對角線與中間行的交點的列為列＂的法則確定．作出的結(jié)果如圖十三．1347圖十一

458圖十二

264935781

x1x4x6

xxx

258

xxx

369圖十三圖四六數(shù)學(xué)解法設(shè)圖十四構(gòu)成三階幻方，列出方程組

x...(1)13xx46x79x17xx15............(5)28xx360xx15xx357由(

3

5

知

30455

得

x55-2

由(得

xxx.....x2515

代入得

.....(9)2若

1

則

1824

矛盾

所以

1若得

只有或x或x或x1244x矛盾所31

只考慮其中一種

以

x612

代入令

1

代入（）

24

則只有

7,或24

或

或x72

不妨取則x24

以以以以以

x2,x9代x412x2,7代（得613xx5代入（得x8159x入（得28x代入1)得x46從而得到三階幻方的解．七奇分析法在＂六＂中得到

x55

以后，將其代入2),(5),(7),(8)得到：x10.........(10)xxx10.........(12)9x由以上四個方程可以看出

xxxxx與x4213

7

的奇偶性相同幻方交換一三兩行后仍然是幻方，交換一三兩列后仍然是幻方，所以四個角的奇偶性是相同的．今斷言，四個角上的數(shù)不能是奇數(shù)，如果四個角上的數(shù)字是奇數(shù)，那么

xxx462

只能是偶數(shù)于是

xx＋奇123矛盾．所以

x.x1937

只能是偶數(shù)．由可知，而且只有不x＝則x＝8取,x4則619

隨后便可